高中数学反思型习题教学策略探析
2014-05-30蒋丽丽
蒋丽丽
摘 要：学生解决数学问题的过程是提取数学知识、应用数学思想方法的过程，环顾当下的习题教学，我们的关注点总是放在学生做了多少习题，解题的结果对不对上面，缺少对学生分析问题、理解题意、解题过程的关注，习题课高耗低效，由于学生缺失反思过程，解题能力和数学素养都得不到最大的发展，本文基于“反思”，對高中数学习题教学提几点建议.
关键词：反思；学生；能力；效果
《高中数学课程标准》指出：“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质”. 而要想返璞归真和揭示本质，靠题海战术肯定是不行的，必须紧紧围绕知识点设置问题，引导学生从数学的学科特点和数学本质出发对原有认知进行反思，制定出合理的解题策略. 得到答案并非是解题的结束，还应引导学生自己去反思解题中的思维过程，体会蕴涵在问题中的数学知识和数学思想，并在解题过程中提高学生的反思能力.
注重学生审题过程的反思
学习是摸着石头过河的过程，是一个螺旋式上升的认知发展过程，仅仅凭借课堂上对教材进行分析学习数学概念是不够的，对于一个特定的数学概念，必须在具体的问题情境中应用才能内化学生的认知. 为了加深对数学知识的理解和掌握，我们在教学过程中要紧紧围绕知识点设置不同的情境，让学生通过审题过程的反思，实现数学知识与问题情境的融合，促进学生对知识的理解，同时培养正确的解题习惯.
拿“函数的单调性”这一知识点为例，函数单调性的直观表达无论是图象还是文字表述都比较熟悉，不过运用到问题情境中却往往不是那么顺溜，为此，我们在习题教学过程中应由浅入深，设置具有层次性的问题，引导学生思考，在具体的教学实践中，笔者选择了如下三道例题，目的在于引导学生透过问题情境对知识进行反思，深化认知.
例1 画出下列函数图象，并写出单调区间.
（1）y=-x2+2；（2）y=；
（3）f（x）=x2+1，x≤0，-2x+2，x>0.
例2 判断函数f（x）=x2-2ax+3在区间（-2，2）内的单调性.
变式1：判断函数f（x）=a≠在区间（-2，+∞）上的单调性.
变式2：判断并证明函数f（x）=x+，x∈（0，+∞）的单调性.
例3 已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，而且满足f=f（x）-f（y），
（1）求f（1）；
（2）若f（3）=1，解不等式f（x+5）<2.
评析：三个例子紧紧围绕函数单调性，从学生的解题实践来看，
（1）学生透过例题1能够很快地提取数学知识，问题的解决很轻松，大多数学生能够直接画出图象，得到函数的单调区间；
（2）例题2对学生提出了较高的反思要求，透过例题，学生首先需要提取脑海中单调性定义的数学表示：“如果函数的定义域为A，I？哿A，设x1，x2∈I，x1
（3）通过对例题3的第2问的分析，学生对单调性会有更进一步的理解，能够将认知深入到数学概念的本质，即“函数一一对应的关系”.
透过上述几个例题问题情境的反思，学生不仅仅打开了解决问题的大门，对单调性的理解甚至对函数概念的理解也很自然地上升了一个层次.
教师要了解学生的解答实际
学生解题的过程是独立思考的过程，教师不应该过多地参与学生的思维过程，但是必须关注学生的解题实际，课堂上学生解题时，我们应该通过课堂巡视的手段去收集学生的解法和出现的问题，学生的课后作业我们也要去细致分析其出现的问题在哪里，只有了解学生的解题实际，我们的习题讲评课才有鲜活的素材，才能进一步引导学生从问题出发去反思问题或解法下最为本质的数学元素和思想方法. 例如下面一道课后作业，笔者对学生的解题情况进行了收集，透过解题实际去发现学生思维的障碍点，为引导学生反思提供了依据.
例4 如图1所示，圆x2+y2=12与抛物线x2=4y有两个交点A和B，图中F为抛物线的焦点，直线l为过点F且斜率为1的直线，分别和圆与抛物线相交于不同的四个点，从左向右依次为P1，P2，P3，P4，试求出P1P2+P3P4的值.
图1
笔者透过学生的作业收集了如下4种实际情况：
（1）交了空白作业；
（2）计算出了P1，P2，P3，P4四个点的坐标，下面没了；
（3）写出了P1P2=x1-x2，P3P4=x3-x4；得到了P1P2=x1-x2，P3P4=x3-x4，接下来没了；
（4）能够进一步完成解题的，将待求的P1P2+P3P4表示出来，并去掉绝对值符号，P1P2+P3P4=x1-x2+x3-x4=[（x2+x4）-（x1+x3）]，转化为韦达定理进行求解.
从学生的解题实际可以看出，学生对数学知识的理解达到了什么层次，在发现学生个性的问题的同时又发现了具有共性的问题，为接下来是个别辅导还是集体讲评提供了依据.
引导学生回顾正确的解题过程
教学中，我们学生做出正确结果后其对该问题的思考也就终止了，笔者发现在学生做出正确答案的表面下，还存在着很多隐性问题，反思问题情境中涉及哪些数学知识是为了更好地理解题意，是解题的前提，学生对自己具体的解题过程的反思更是解题能力飞跃的主渠道.
我们应该引导学生反思自己的解题过程，回顾自己在解题过程中用到了哪些数学概念、知识与数学方法，是如何运用的，运用数学知识的过程中遇到了哪些障碍，反思自己的思维是否有序，解题是否规范，在解题过程中获得了哪些原来印象不深的且具有规律性的东西，问题有没有其他途径可以解决.
例5 已知二次函数y=f（x）满足f（2+x）=f（2-x），且y=f（x）的图象被x轴截得长为6的线段，f（0）=-5，根据已知条件，试求出该二次函数的解析式.
解法1 设f（x）=ax2+bx-5，由f（2+x）=f（2-x），得a（x+2）2+b（x+2）-5=a（2-x）2+b（2-x）-5，化简得（4a+b）x=0，所以4a+b=0. 再设ax2+bx-5=0，得x1+x2=-=4，x1·x2=， 由x1-x2=6，得a=1，b=-4，得到f（x）=x2-4x-5.
评析：解法1是大多数学生审题后提取相关数学知识比较容易上手的解法，而且答案是正确的，笔者在教学中要求学生自主回顾自己的解题过程，想一想自己在解题过程中哪些环节容易出错，有很多学生都反映在化简f（2+x）=f（2-x）和处理x1-x2=6时容易出错，而且都表示解答问题时计算量比较大，加上有一定的技巧，所以不小心就会出错. 学生在回顾自己的解题思路时，会很自然地对问题情境进行反思，由于解法1运算量大，有部分学生自然想着会不会有其他更巧妙的解法，于是第二种解法就在反思过程中产生了.
解法2：由f（2+x）=f（2-x）得二次函数y=f（x）的对称轴为x=2. 又因为函数图象被x轴截得长为6的线段，所以可以得f（x）的图象与x轴相交于（-1，0），（5，0）两点. 设f（x）=a（x+1）（x-5），由f（0）=-5，得a=1，进而得到答案f（x）=x2-4x-5.
再次引导学生将解法1与解法2进行对比分析，学生能够很清晰地看到后者解题过程更为便捷，不过也有较高的要求，必须对题意有深刻理解，除了要關注题目中f（2+x）=f（2-x）及图象被x轴截得长为6的线段这两个信息，还需要对这两个信息进一步分析，找到两者之间的联结，学生的思维缜密性达到了一个新的台阶. 如果学生用解法1得到正确答案后，再通过自主反思，仍是从原有认知中调动概念去解决同一个问题，这种新方法的发现印象更为深刻，对比前后两次解题的过程，学生获得了丰实的元认知体验和成功的满足感.
反思不同解法带来的差异性结果
在教学实践中我们可以发现，由于学生间客观存在的个体性差异，所以即使是同一个问题摆在不同的学生面前，解答不会唯一化，甚至有时还会有较大的差别，我们一起看下面一个案例. 此外，在数学解题的过程中，有些学生存在着各种各样的问题，有时还甚至是不容易发现的、具有隐蔽性的问题，因此，反思解题过程有利于问题被发现，下面举例来说明.
例6 判断函数f（x）=（x-1）的奇偶性.
对于这个问题，学生通常会根据如下两个解法得到不同的答案.
解法1：f（-x）=（-x-1）≠f（x）≠ -f（x），所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数.
解法2： f（x）=（x-1）= -，因为f（-x）==-f（x），所以f（x）为奇函数.
对于这两种不同答案，如果仅仅是从自己的解答去分析，学生是不容易看出破绽的，而将两个答案放在一块，让学生反思解题的过程，通过对比，学生应该可以看到问题出在哪里.
从解法上来看，解法1没有变形，而解法2变了形，进而陷入了思考，那么变形带来什么结果呢？问题是不是出在变形上了呢？是不是没有等价变形呢？有了这样的思考，关注点自然地转移到了x的取值范围上来了，变形之前-1≤x<1，而如果采用解法2，变形后x∈R，显然不是等价变形，进而反思正确的变形是什么呢？得到f（x）=-（-1≤x<1），反思到这里，学生就可以看出定义域存在明显的不对称，所以解法1是正确的，f（x）是非奇非偶的函数.
