谈数学知识与思想方法融合的教学设计

韩俊

摘 要：知识是数学的基础，思想方法是从数学知识中提炼出来的学科精髓，知识的产生过程蕴涵着思想和方法的产生，而怎樣融合知识和思想方法的教学设计是新课程改革的一个重要课题，本文主要探讨怎样以问题解决作为载体，以数学元的知识为主线，以高水平问题为延续来设计高三复习课，逐步锻炼学生解决问题时从操作层面往观念层面的转化能力.

关键词：知识；思想方法；载体；主线；延续；数学元；提升思想

■知识与思想方法融合教学的思考

关注数学思想方法教学已成为我国数学教育的重要特色，在新课程改革中，教师的教学目标已经不仅仅是知识，几乎都包含了渗透某种思想或者熟练掌握某种方法的要求，虽然教师在知识的传授过程中不乏数学思想或者方法，但是一些学生在遇到新问题时还是会不知所措，想不到合适的方法解决问题，这说明知识虽已掌握，但思想方法还不能被学生所内化，自然也就谈不上灵活运用.

1. 融合教学设计的载体

方法是数学的行为，思想是数学的灵魂，而问题是数学的心脏，即思想方法的教学离不开问题. 问题解决的过程不仅是一个认知的过程，更是体验思想方法产生过程的心理活动. 问题作为思想方法教学的载体在课堂中举足轻重，教师应根据学生的认知顺序和心理发展顺序设计问题，在知识的传授中融合思想发展线索以及方法产生线索，才能引导学生反复探究和积极思考.

2. 融合教学设计的主线

教学主线是指围绕教学重点目标铺设的、贯穿课堂教学首尾的主要发展脉络，一些教师以“为学生好”为出发点，加大课堂容量，一节课包含了多种方法，但没有突出重点，学生是囫囵吞枣，不能体会个中缘由，在遇到新问题时还是无从着手，思想方法的收获更无从谈起. 思想方法教学的主线可以是某一种方法解决多个问题，也可以是一个问题的多种方法，或者是针对某一个知识点的拓展提升，让学生能体会到这节课都在围绕着某个主题探究、体验、总结，自然就能杜绝“高耗低效”的课堂模式.

3. 融合教学设计的延续

思想方法的形成过程是学生主动参与、积极思维的过程，没有深层次的思维活动，是不可能形成数学思想方法的，要改变以往“一个知识（公式）→一个例题→多个练习”的“经典”授课模式，往往教师精心设计的知识点的引入，让学生思维的动力逐渐增加，但随着例题的开始慢慢减小，到完成练习的时候思维动力已几乎为零，所以教师应该重视思想方法教学的延续，将教学目标的问题设置到新的情境中，转化为高水平问题，继续激发学生的主动探索，实现知识的深层理解、思想方法建构间的有效转化.

■知识与思想方法融合教学的案例

在高三数学复习中，很多思想方法如换元法、消元法等，学生已经非常熟悉，但却不能灵活运用，经常出现问题自己不会解决，教师一提醒就恍然大悟的情景，针对这一情况，笔者在学校公开课活动中开设了《关于“数学元”的思想方法复习课》以作探讨.

1. 研究“数学元”的意义

“数学元”是构成数学问题的一个基础元素，它可以是函数中的自变量x，也可以是数列中的某一项a■，也可以是一个多元不等关系式中的某个变量，很多重要的方法都是建立在对“数学元”合理把握的基础之上，只有重视微观的“数学元”的研究，才能透过知识的表层，深入挖掘隐含在知识中的思想方法，引导学生形成自己的思想方法体系，为应对新问题做好准备.

2. 教学片段

设计意图：通过一个易错题，感受“数学元”的重要性.？摇

问题1 数列{an}中，满足a1+2a2+……+nan=2n， 求an的通项公式.

学生1：写出前n-1项的和，a1+2a2+……+（n-1）an-1=2n-1（※），

两式相减得an=■（原式中每一个项都看成一个“数学元”，数列的和中就有n个元，（※）式中就变成n-1个元，再相减，实现消元，但是结果对吗）

学生2：不对，我用n=1代入，求出了a1=2，显然有矛盾. （数列通项的特点，可以通过具体值检验）

学生3：an-1作为数列中的项，应该注意n-1≥1，所以n≥2，即an=■，n≥2，an=2，n=1.

学生4：我写的是数列前n+1项的和，再相减得到an+1=■，①

故an=■.②

学生：此时将①中n+1看成整体数学元，替换为n，所以②中n的取值范围应该是和①中n+1的取值范围一致，所以还是有n≥2，n=1需单独讨论（通过一个易错题的讨论体验消元，在用整体换元时要注意新元的取值范围，数列中的很多问题都可以借助函数中与“数学元”相关的方法去解决）.

设计意图：通过一个问题串，感受“数学元”的可变性.

问题2 （1）已知不等式ax+1>0对于任意的x∈[-1，2]恒成立，求a的取值范围.

学生5：把x看成“数学元”，即为x的一次函数，只需保证端点-1，2代入大于零即可.

（2）已知不等式ax+1>0对于任意的a∈[-1，2]恒成立，求x的取值范围.

学生6：把a看成主“数学元”，即为a的一次函数，结果与上题相同.

（3）已知sinθ·x2+2x-1>0，θ∈0，■，求x的取值范围. （有学生开始迷茫）

学生7：令sinθ=t，则t∈[0，1]，再把t看成是主“数学元”，即为t的一次函数，可求解.

（4）已知三次函数f（x）=■x3+■x2+cx+d（a

学生8：f ′（x）=ax2+bx+c≥0对于x∈R成立，有a>0且b2-4ac≥0，即S≥■，①

（提醒：此时有三个“数学元”，该怎么办呢）

学生：要消元，除以a或者b. （怎么消元最简捷呢）

学生9：将①式中右边的分子和分母都除以a，得到S≥■，只要研究关于“数学元”■的函数即可.

令■-1=t，t∈（0，+∞），可解. （引导学生总结）

学生：“数学元”不一定是最熟悉的变量x，而是以最适合解决问题的变量为“主数学元”，可以通过变化得到一个新的“数学元”来解决问题. 例如第四问经历了从“a，b，c三个元”→“a，b两个元”→“■一个元”→“■-1新元”的过程. （利用问题串的设计，让学生思维动力逐渐上升，从多元变为一元，利用“数学元”可变性解决问题）

设计意图：通过一个高考题，感受“数学元”的特殊性.

问题3 （2011年浙江省高考数学试题）设函数f（x）=a2lnx-x2+ax，a>0.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）求所有的实数a，使e-1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立.

（1）利用导数知识，可得函数的递增区间是（0，a），递减区间是（a，+∞） ；

（2）根据单调性，求f（x）在x∈[1，e]内的最值，而f ′（x）=0，得x=a，所以f（x）的單调性与a的取值有关，需要分三种情况讨论：①a≤1；②1

学生12：首先x取端点处的两个特殊元就应该符合要求，f（1）≥e-1，得到a≥e，只要讨论第三种情况即可.

■知识与思想方法融合教学的反思

1. 将知识与思想方法融为一体

作为高三第一轮的复习课，本节课的教学设计思路是以问题串为载体，“数学元”的核心知识为主线，以高考试题的解决为延续，教学过程中学生用已有的知识和方法在教师的引导下去探究新的情境，并在探究过程中目标知识和方法得到系统的消化和增强. 另一方面，知识和方法的增长不是课堂的唯一目的，通过本节课的复习，要让学生在头脑中形成分析、解决此类问题的一般思路和方法，转化为自己有意义的经验，从而生成解决新问题的能力.

2. 控制问题的难度与开放度

本节课的三个重要的环节都是以问题为中心组织教学，教师通过预先创设的问题情境，引发学生思考.

问题1是教师有意识地让学生从较小难度开始，目的是“唤醒”学生在函数中比较熟悉的消元法和整体换元法；问题2是逐渐加大难度和开放度的问题串，围绕着“数学元”产生的由简到难的问题，而且第四小问转变“数学元”的途径不是一种，可让学生在尝试中自己选择，具有一定的开放性，目的是让学生体会到问题解决是一个“熟悉——陌生——熟悉”的过程；问题3是一个高水平问题，仅仅研究两个数学元x和a，利用他们的关系进行讨论并不能解决问题，利用这个“故障点”引发学生反复探究和积极思考，引导学生利用特殊元解决问题，调动了学生解决问题的主观能动性，激发了学生思维的潜能，一节课才能让学生印象深刻，回味无穷.

3. 重视数学思想的提升

？摇教育部最新颁布的《义务教育数学课程标准》（2011版）中已将“基本数学思想”列入了“四基”，在数学方法的形成过程中要重视数学思想的提升，而不能只是让学生掌握方法，或是领悟方法，笔者在授课时总结，三个问题为什么都要去研究“数学元”呢？消元法、换元法、特殊元等方法都只是解决问题的“路径”，而隐匿其中的“导航”是化归的思想，从多元到一元，从复杂到简单，从陌生到熟悉. 课堂教学目标是要让学生在掌握知识、体验方法的过程中悟得思想，教师在适当时间应带领学生总结思想，提升思想，这样的思想方法课堂对学生的影响才会更有效，更长久.