基于APOS理论下的中职数学概念教学策略探析

2014-05-30申海滨

数学学习与研究 2014年5期

申海滨

【摘要】概念是认识的起点，是思维的基本单位.数学概念教学是数学教学的重要内容.掌握数学知识的前提是正确地理解数学概念.学习数学概念的过程其实是学生自我建构的过程.APOS理论认为学生概念学习的自我建构阶段就是活动阶段、过程阶段、对象阶段和图式阶段.本文从APOS理论四阶段出发，结合教学实践，探索中职概念教学.

【关键词】数学概念；数学教学；APOS理论

概念是对客观事物的本质特征的认识，每个概念都有内涵和外延，形成的心理过程大致可分为以下几个步骤：识别不同事例，从同类事件中抽出共性，将这种共性与记忆中的观念相联系，同已知的其他概念分化，将本质属性一般化，下定义.概念的形成实质上可以概括为两个阶段：从完整的表象升华为抽象的规定，使抽象的规定在思维形成中导致具体的再现.而“数学概念”则反映了思考对象空间形式和数量关系本质属性的思维方式.所谓“本质属性”就是指构成某种事物的基本特征，这种属性只为这类事物所具有，它是一种事物区别于另一种事物的基本依据.《中学数学教学大纲》明确指出：“正确理解和掌握数学概念是学好数学基础知识、掌握基本技能和培养基本方法的前提.”在中职的课堂教学中，常有一部分学生对数学学习缺乏兴趣甚至心怀恐惧，这部分同学在课堂上的有效参与度不高，数学基础普遍较差，尤其是在概念的理解和应用方面.在数学教学过程中，数学概念之所以有如此重要的地位，原因在于学生在分析题目、理解和解决问题的过程中发挥的重要指导性作用，因此，数学概念的教学，是整个数学教学的重要内容.正确理解数学概念是运用数学知识的前提，可见概念的重要性.

一、中职概念教学现状及原因分析

从数学概念学习的心理过程分析来看，影响数学概念学习的心理因素主要有：（1）原有的认知结构；（2）感性材料和感性经验；（3）抽象概括能力；（4）语言表达能力.研究表明，优生与中下生在（1）（3）两点的差距较为明显，而在（2）（4）两点则区别不大.究竟怎样才能有效提高中下生对数学概念的学习水平呢？笔者认为：“以学生现有的思维发展水平为依据进行教学”，采用符合中下生认知水平的概念教学方法和策略，优化教与学的环节，将有效提高概念教学的水平.因此，更多地通过感性材料和感性经验来组织概念教学，遵循学生的认知规律，化难为易，逐步培养中下生的抽象概括能力和语言表达能力，有效促进概念的自主建构.

一方面是学习方法不适应数学的学习.数学具有高度抽象性和形式化的特点——数学中的形式化，就是用特定的数学语言，包括数学的符号语言、图像语言和文字语言表达自然现象和社会现象的空间结构和数量关系.数学的表达方式大多是形式化的思想材料，这通常导致这些学生对概念学习产生障碍.另一方面是教师不太注重传授概念学习的策略，相关的策略训练就更少.一些教师照搬照抄，方法简单，在教学中凭经验备课，对概念的背景、内涵和外延没有引起足够的重视，很多数学概念教师往往一带而过或直接要求学生记住结论，然后通过解题来理解概念，题海战术是理解概念的常法，让学生在练习中去领悟概念.“只重结果不重过程”，学生学到的概念是机械的、零碎的，不利于知识迁移形成能力，更不用说掌握其中的数学思想方法.这种让学生背概念、背题目、背结论的做法，其恶果让学生彻底对数学反感，最终放弃数学.

二、APOS理论溯源

APOS理论是针对于数学概念学习过程研究的一种建构注意的学习理论，该理论是美国数学教育家杜宾斯基在数学的实践中提出的一种观念理论模式.该理论认为：学生学习数学概念的过程其实是一种自我心理建构的过程，在这个过程中学生只有调整自己的认知结构或改造外部的认知结构，使得主客观彼此一致，才能建构起新的认知结构.一般来说，这一建构过程要经历四个阶段：活动阶段（Action）、过程阶段（Process）、对象阶段（Object）和图式階段（Scheme）.取这四个阶段英文单词的首个字母，故命名为“APOS理论”，“APOS理论”的科学性和实用性为数学概念教学提供了有力的理论支持.APOS理论对特定的数学概念学习过程作出了切实分析，它解释数学学习心理活动的核心概念和概念框架，揭示了数学概念学习的本质.APOS理论的四个阶段反映了学习数学概念过程中的思维过程，体现了数学概念形成的规律性，为教师如何进行数学概念教学提供了一种具体而实用的教学策略.

三、APOS理论下的概念教学策略

数学概念是数学知识的基础，概念教学相当重要.只要遵循认知规律，就可以使学生理解抽象的概念，从而学生在轻松愉快的氛围中获得知识、掌握知识.所以概念的教学策略应注意以下几个方面：

（一）注重概念的背景

在学习概念时，APOS理论强调学生首先需要处理的数学问题应具有现实生活情境，并认为概念的理解始于在情境中活动.因此，在概念教学时，教师应注意概念的情境，组织学生开展数学活动，通过活动，学生获得概念的初步认识.

1.以“问题”的形式引入新概念

以“问题”的形式引入新概念是概念教学中常用的方法.一般来说，用“问题”引入概念的途径有两条：①从现实生活情境问题引入数学概念；②从数学问题或理论本身的发展引入概念.

例如“函数的概念”的导入利用问题情境进行：①学校为了鼓励学生多参加体育锻炼，以便增强体质，购置一批运动器材.经询问一个足球大概需要110元，列出需要足球个数x与应付钱数y的关系式；②要组建一支队伍，要购置一批队服，每件需要84元，且取货需要路费20元，列出购买件数x与应付款数y之间的关系式.

这是一个“导入”材料，以“设问”的形式出现，主要作用是容易引起学生的注意，引发学生思考.创造生活情境，让学生形成函数意识！

2.以直观材料为基础引入新概念

以日常生活中的事物或模型、图形、图表等直观材料，引导学生观察、分析、比较、归纳、概括去获取概念.数学概念是从现实生活中抽象出来的，如集合、函数、二面角、异面直线等都是因实践的需要而产生的，这类概念的直观材料很多.

例如，学习“二面角”的概念时，可以让学生辨认一些熟悉的实例，像翻盖式的课桌、门板与门框、相邻的两面墙面、打开的电脑灯等，然后分化出各例的属性，从中找出共同的本质属性.翻盖式课桌可以看成是两个半平面，相邻的墙面也可以看成两个半平面，并且都有公共的棱.它们的共同属性是：都可以抽象地看成从一条直线出发的两个半平面，得到二面角的定义.

以直观材料为基础引入新概念，是用概念形成的方式进行教学，因此，在教学中，应选择能充分显示被引入概念的共同属性的事例，引导学生观察和分析，使学生从事例中概括出共同的本质属性，形成概念.

3.从概念的发生过程引入新概念

有些概念是用发生式定义的，这类概念的教学可以采用演示活动的直观教具或演示画图说明的方法去揭示事物的发生过程.这种方法直观形象，体现了运动的观点，导入的过程自然地阐明了概念的客观存在性.教师要根据概念产生的背景，选定最佳的引入路径，让学生尽快触及概念的本质特点，体现概念建立过程的高效化，而不应为了追求形式上的新颖，模糊概念产生的背景，把简单的问题复杂化，把清晰的问题混乱化.如，等差数列概念一直是学生学习代数过程中的难点，有很多学生学过后只能记住等差数列的形式特征，不能理解公差、首项的真正意义与关系.等差数列的本质在于按照一定的规律递增或递减.认识这一点，需要通过操作活动，理解具体的等差数列的意义.

4.以新、旧概念之间的关系引入新概念

大部分数学知识的连贯性是很强的，概念不是孤立产生或存在的，概念之间往往有着密切的联系，特别是那些具有相似或相同关系的概念，我们可以根据新旧知识的连接点、相似点用类比法引入概念.这样有利于学生在思维中将知识和技能从已知的概念迁移到未知的概念上来，有利于培养学生的探索能力.

例如，由“椭圆”的概念类比“双曲线”的概念、抛物线的概念，并且把学过的二次曲线的概念做系统的归纳总结，形成知识链，同时，把这个系统比喻成家庭成员表利于加强学生对概念的掌握.

（二）注重概念的形成过程

APOS理论指出，学生是在“过程”中对“活动”进行抽象反省，得到概念的本质属性.由此出发，在概念教学时，教师应当注重学生的分析探究，让学生经历概念的形成过程.教师应提出合理的问题来引导学生对“活动”进行反思，学生的思维活动朝着概念本质属性的方向进行，初步形成概念.这样学生获得的不仅仅是概念，更重要的是经历了抽象概括的思维过程.

1.抓住概念的重难点

概念的形成过程往往带着许多无关特征，因此，教师应抓住重点引导学生.这样学生便能把握概念的实质，尽量减少乃至消除不利因素的干扰.如“圆的标准方程”的公开课教学中，通过“剪圆—在直角坐标系贴圆—找圆心、半径—写出圆方程”的活动，让学生经历学习过程，体验在“直角坐标系”中圆的标准方程这一概念形成成因.教师在听取学生的意见后，因势利导，概括出大家的意见，引导学生得出确定圆的标准方程的方法.

2.抓住概念的关键词

数学中包含着大量的数学概念，而有些概念往往是由若干个词或词组组成的定义.这些数学语言表述精确，结构严谨，对这一类事物的本质属性作了明确的阐述.我们在教学时就要“抓”住这些本质的东西不放，让学生建立起正确的概念.如，在学习“首尾顺次连接不共面的四点所构成的图形，叫作空间四边形”这一概念时，就应抓住“不共面”和“首尾顺次连接”不放，用长短不同的一些木条，让学生搭出空间四边形，从而让学生明确组成空间四边形的两个基本条件，加深对空间四边形及性质的理解.

3.抓住概念间的内在联系

对于有内在联系的概念，要做好比较，加深学生对概念本质的理解.

例如，“一元二次不等式”的概念，是建立在“元”“次”“不等式”这三个概念基础之上的.“元”表示未知数，“次”表示未知数的最高次數，次数是就整式而言的，“一元二次不等式”是在学习一元一次不等式基础上的整式不等式的学习.这样的学习方式在一元一次不等式中，学生已有类似的经历，便于知识的迁移，同时有利于学生便于抓住“一元二次不等式”与“一元一次不等式”的关系.并为以后学习其他不等式的概念打下基础.

4.抓住概念内涵与外延的揭示

概念的内涵和外延是概念的本质特征，是理解和把握概念的基础.只有充分理解和把握概念的内涵和外延才能清楚、准确地界定某一概念，区分概念间的差异.因此，揭示概念的内涵与外延是概念教学中必不可少的.比如：在讲授一元二次不等式时，其概念的内涵是“只含有一个未知数（x）且未知数的最高次数是二次的不等式”这个性质，其外延是一切形如一元二次不等式的全体.

（三）重视概念的对象化

APOS理论强调，数学概念只有在学习者头脑中呈现出“过程—对象”一体化时，才算真正形成.这体现了概念形成实质上的两个阶段：从完整的表象中分离出抽象的规定，使抽象的规定在思维中具体地再现.在数学概念教学时，教师要帮助学生抽象出定义，还应考虑如何使数学概念转化学生思维中的具体.学习数学概念的目的就是实践.学生对概念的掌握是在头脑中主动地进行思维.它能使已有知识再一次具体形象化，能使概念的理解更全面化、深刻化.数学家波利亚说过：“一个有责任心的教师与其穷于应付繁琐的数学内容和过量题目，还不如适当地选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生解题的过程中，提高他们的才智与推理能力.”这一思想与我国的变式教学相吻合.变式数学能提供一定的学习前景，能激发学生思考问题，指导学生对各种信息进行加工和转换.学生进行归纳总结能发现各种变式的实质联系.在解决变式的过程中，学生对概念、原理形成深刻的理解有利于建立良好地知识结构.因此，在概念的教学中运用变式巩固强化概念，可以使学生从多角度认识概念，良好地实现知识的迁移，从而掌握概念的本质属性.在数学概念的教学中，巧用变式，对于学生形成清晰的概念有明显的促进作用，它有利于开发学生的思维，使学生透过现象看本质，可以使概念的本质属性更加突出，达到化难为易的效果.同时也有利于激发学生学习兴趣，调动学生的积极性、主动性.

如，函数概念表示的多样性，一方面表现在定义域、值域表示的多样性，可以用集合、区间、不等式等不同形式来表示；另一方面表现在它可以用图像、表格、对应、解析式等方法表示，从每一种表示中都可以独立地抽象出函数的概念来.认识学习函数概念一般有三个角度：用变量的依赖关系认识函数、用图像认识函数、用对应关系认识函数.

（四）重视概念图式的建构

APOS理论指出，数学的建构还要上升到“图式阶段”，即在知识的整体结构中深化概念的认识和理解.“图式阶段”是一个循序渐进的建构过程，首先是数学概念的结构，包括数学概念的抽象过程、定义、实例、形式化表示、子概念（如定义域、值域、对应法则）；在此基础上，加强概念与其他概念的区别和联系，建构起概念网络.教师应加强引导学生在知识体系的整体中深化对概念的理解.

例如，在著名的建筑物或公园中代表性景点等实物中寻找几何图形，发现重要几何特征和性质，通过学生动手绘制和测量这些几何体中相关的量，老师带领学生发现、运用公式进行练习，并在其中尝试体验数学在生活中的运用，认识它的优越性.这样在学生头脑中建立棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的心理表征、直观的实例、概念形成过程、定义形式（抽象的）四者之间的联系与区别.老师引导学生思考它们的联系与区别，然后帮助学生建立合理的图式，让学生自主建构知识，帮助学生在头脑中建立知识网络.当然学生建构概念的图式层面是学习的最高阶段，在现有教学环境下很多学生难以达到这一层面.例如，为什么要学习二次函数？学习二次函数的本质是什么？

四、结束语

数学概念的教学是教师教学研究的一个重要课题.虽然数学概念种类繁多，但在APOS理论指导下，注重概念的背景、概念的形成，注重概念的对象化和图式的建构，采用符合学生认知水平的概念教学方法和策略，优化教与学的环节，有效提高概念教学的水平，从而在数学知识与数学思想方法之间建立有机的结合，形成完整的系统.

【参考文献】

[1]王华民，郑宝生.对数学概念形成过程实施局部探究的实践与思考[J].数学通报，2011（7）.

[2]陈雪梅，王梅.关注教学法表征的数学归纳法教学设计[J].数学通报，2011（4）.

[3]李求来，昌国良，编著.中学数学教学论[M].長沙：湖南师范大学出版社，2006.

[4]涂荣豹，著.数学教学认识论[M].南京：南京师范大学出版社，2003.

[5]刘长春，张文娣.编著.中学数学变式教学与能力培养[M].济南：山东教育出版社，2001.

[6]濮安山，史宁中.从APOS理论看高中生对函数概念的理解[J].数学教育学报，2007（2）.

[7]张伟平.基于APOS理论的数学概念教学探究[J].数学通讯，2006（15）.

[8]唐艳.基于APOS理论的数学概念教学设计[J].上海中学数学，2005（12）.

[9]张耀.数学概念教学研究综述[J].运城学院学报，2005（2）.