从高考模拟试题中窥探二阶导数

唐鹰　骆妃景

摘 要：二阶导数尽管是高等数学微积分的内容，但二阶导数可以理解为“对函数的导数再求导”，作为体现数学应用思想的方法，并没有超出高中课程的要求. 二阶导数在用来解决函数、导数综合性题目时往往会达到事半功倍的效果，本文探讨二阶导数在函数凹凸性、极值、不等式恒成立问题中的作用.

关键词：二阶导数；函数凹凸性；极值；不等式；恒成立

近几年高考试题或者模拟试题中出现越来越多具有高等数学微积分背景的考题. 虽然高中试题的解法主要是基于高中所学的内容，但是作为中学数学教师，必须要对高等数学微积分中所蕴涵的数学思想方法有较好的认识和把握，要有用微积分观点去认识初等数学的意识，这样才有助于我们对高考命题有全面、深刻的理解和把握. 本文试从几个例子来看二阶导数在函数凹凸性、极值以及不等式恒成立问题中的运用.

2. 函数凹凸性的直观性

设函数f（x）在区间I上单调递增，我们可以这样理解，随着自变量x的稳定增加，当函数f（x）的增量增加越来越快时，函数图形是凹的；当函数f（x）的增量越来越慢时，函数图形是凸的；当函数f（x）的增量保持不变时，函数图形是直线. 如果f（x）在区间I上单调递减，同样可以类似分析.

显然解法2比解法1简洁许多，解法1对考生的计算能力要求非常高，一旦化简不到位，本题就解不出来，而化简是现在高中生的一大弱项，这与初中弱化了因式分解等知识有关，倘若学生能掌握函数凹凸性与二阶导数的关系，那么这道题就会信手拈来！

[?] 二阶导数与函数极值

在高中阶段，判断函数在x0处是否取得极值并判断是极大值还是极小值时，经常是利用函数的导数在x0的两侧的符号来判断，通常需要列表，但列表相对麻烦，而且容易计算错误，特别是对于基础相对较差的文科生，常常会出现列表不完整、计算错误、格式书写不规范等问题. 实际上，我们可以用二阶导数的符号比较快速简便地判断x0是函数的极大值点还是极小值点.

[?] 二阶导数与不等式恒成立问题

不等式恒成立问题是高考试题中常考的内容之一，主要考查学生分析问题、解决问题的能力以及逻辑思维能力，不等式恒成立问题的转化过程中出现的难点主要是分离常数和最值的求解，因为如果题目中涉及ex或者lnx时，很难分离常数，就算能够分离，求最值也会遇到困难，这时可以考虑用二阶导数来解决不等式恒成立问题.

分析：本题在解决第2问时也可以利用第1问中的结论得到不等式ex≥x+1，但是如果不能根据第1问中的结论得出ex≥x+1这个抽象不等式的话，第2问就无从谈起，束手无策，那么现在我们抛开第1问中的结论，直接从第2问出发，第2问可以转化为当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围，此时分离常数后得a≤，即转化为求g（x）=的最小值，难度相当大，那么下面采用二阶导数的知识解决此问题.

强，是高考中的重点和难点，要求学生具备很强的逻辑思维能力，导致很多学生“望题却步”，但往往一般采用二阶导数甚至三阶导数进行研究，有时解法会很简洁，出现“柳暗花明”的局面，使解题事半功倍.

总之，二阶导数尽管是高等数学微积分的内容，但二阶导数可以理解为“对函数的导数再求导”. 作为体现数学应用思想的方法，并没有超出高中课程的要求. 二阶导数在用来解决函数、导数结合的综合性题目时往往会达到解题事半功倍的效果，所以二阶导数也是高中生可以且应该掌握的知识.