重视合情推理教学，培养学生创新思维能力

吴新建

摘 要：数学中的推理包括演绎推理和合情推理. 以往数学课中忽视合情推理.合情推理对培养学生的创新思维具有重要的价值. 在教学中，通过整合教材的典型案例，让学生通过归纳、类比、猜想等合情推理方式让学生经历数学结论的发现过程， 发散学生的思维，培养学生的创新能力.

关键词：整合；合情推理；创新能力

“为什么我们的学校总是培养不出杰出人才？”这就是著名的“钱学森之问”. 这是我们每一位教育工作者面临的共同课题. 我国的基础教育过分强调了逻辑思维与演绎推理，却忽视了对学生进行创新能力的培养. 而合情推理则是培养学生创新能力最有效的途径之一.《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称为《新课标》）将合情推理作为一个重要内容列入选修2-2，就是一种十分理性的选择了.

[?] 什么是合情推理

合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程. 归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理. 猜想是合情推理的最普遍、最重要的一种思维方法，归纳与类比首先都包含有猜想的成分，所以我们在教学中提到的直觉、猜想、归纳与类比都属于合情推理的范畴.

[?] 例析如何利用教材培养学生的合情推理能力

怎样教学生猜想？怎样教学生合情推理？这里并没有现成的、模式化的教学方法.波利亚说：“教学中最重要的就是选取一些典型数学结论的创造过程，分析其发现动机和合情推理，然后再让学生模仿范例去独立实践，在实践中发展合情推理能力.”

1. 类比推理与数学直觉

在传统数学课程内容设计中，数学家发现问题、解决问题的思维轨迹往往被掩盖，以至学生在学习过程中常常会问，当初的数学家是怎样想到这个问题的？他们是怎样发现证明方法的？新课标指导下的《普通高中课程标准实验教科书》在此方面则有很大的改善.

案例1 在苏教版必修1第14页的阅读材料中，介绍了德国数学家康托尔运用“一一对应”思想给出了两个集合“等势”的概念：若两个无限集的元素之间能建立起一一对应，则称这两个集合等势.

这是正整数集与正偶数集两个无限集之间的一一对应，它们也等势. 由这两个例子可以得出一个令你大吃一惊的结论：N*与N这两个集合中的元素个数一样多， 而正整数集与正偶数集这两个集合中的元素也一样多，即在无穷大的世界里，部分可能等于全部！关于这一点，德国著名数学家希尔伯特（David Hilbert）在一次讨论无穷大的演讲中，曾讲过一个旅店的故事来说明无穷大的这种似是而非的性质.

这时，数学直觉会使学生自然地产生这样的联想：既然在无穷数集中，部分可能等于全部，那么在无穷点集中，是否也存在类似的结论呢？为了发散学生思维，我们再来看一个点集中的例子：

①两条长度不等的线段上点的个数一样多；

②两个相似的正方形上点的个数一样多.

我们可以类比数集中的方法，运用“一一对应”思想说明上面两组无穷点集也“等势”. 有了上面的成功，有些学生则会得寸进尺地想：线段上的点与平面图形以及立体图形内的点的个数也一样多吗？

解决这个问题，同样需要找到两个点集间的一一对应，而这个问题很具有挑战性，若是能克服这个障碍，则会有一个重大的突破. 在此基础上，我们会惊讶地发现：一个线段上的点的个数居然与整个宇宙空间内的点的个数是一样多的. 这无疑会极大地激发学生探索该问题的兴趣.

让学生通过实例——类比——猜想——证明，也即由合情推理——逻辑推理的方法，得到一个激动人心的数学结论，可使学生深刻体会到研究数学的乐趣，并发现自己也能沿着数学家的思维轨迹来研究问题，这对提高学生的创新思维能力是大有帮助的.

事实表明，如果我们研究的问题越是新颖，结论越具有强烈的对比度，则越容易诱发学生的认知冲突，学生的注意力就越容易被吸引，就越容易激发他们的好奇心，从而产生强烈的探索欲望.

2. 归纳推理与猜想

数学中的许多结论，都是经历了一个不断地提出猜想——验证猜想——提出新猜想——再验证新猜想的过程. 在这个过程中，一方面通过观察、猜想得出结论，另一方面要对所得结论进行验证和证明.

案例2 在苏教版必修5数列这一章中，我们知道：正整数列an=n的前n项和公式为S1=1+2+3+…+n=，再利用正整数数列前n项的平方和以及前n项的立方和公式：12+22+32+…+n2=，13+23+33+…+n3=

学生经过归纳，不难猜测出结果为S=. 怎样证明上述猜测结果的正确性呢？我们不妨联想数列

的前n项和的求法.

由上述案例可以看出，归纳推理与类比推理作为合情推理的两个主要方面，它们在发现问题与解决问题的过程中不是相互独立的关系，而是相互联系、有机结合的一个整体.

[?] 合情推理的作用——发散学生思维能力

发散思维又名辐射性思维，是创造性思维的一种基本形式，它是从一点向四面八方联想出去的思维. 而归纳推理与类比推理则是根据某些对象已有的事实或结论，通过个人的经验和直觉，推测与之相关的或更为一般的对象也会具有相同或相似的结论，因而合情推理具有发散学生思维的作用. 例如苏教版必修5解三角形这一章中，对正弦定理的引入与证明，就很好地体现了这一点.

根据直角三角形中三角函数的定义：sinA=，sinB=，sinC=1=，由此可知，在直角三角形中，存在一个很有对称美的公式==，并由此引发联想：是否对任意三角形，该公式都能成立？接下来教材通过实验的方法，任意画一个三角形，测量出其三条边的长以及三个内角的大小，再计算每条边的长与其对角的正弦之比.经测量与计算后可得三个比值相等，并且在改变三角形的形状之后三个比值仍然相等.

归纳上述情况后，可以自然如下猜想：对于任意三角形ABC，都有==.

而对于该定理的证明，教材的处理也体现了发散性思维，介绍了四种证明思路：

（1）转化为直角三角形中的边角关系；

（2）建立直角坐标系，并利用三角数的定义；

（3）通过外接圆，将任意三角形问题转化为直角三角形问题；

（4）利用向量的投影或向量的数量积.

[?] 发散思维的意义——提高学生创新能力

数学上的新思想、新概念和新方法，大都来源于发散思维. 按照现代心理学家的见解，数学家创新能力的大小应和他的发散思维能力成正比. 也就是说，任何一位数学家的创新能力都可用如下的公式来估计：

创新能力=知识量×发散思维能力

这里的知识量，指的是“科学数学”，是原有的课程标准所重视与强调的. 而发散思维则是“教育数学”（此术语出自张景中院士）的主要内容，是“新课标”所大力倡导的.

回顾数学的发展历程，数学结论的发现主要靠的是实验、观察、类比、归纳、直觉、猜想等合情推理，而逻辑推理只是真理在手后的论证，如费尔马大定理、哥德巴赫猜想、庞加莱猜想、欧拉定理等莫不如是. 第斯多惠说过：“一个差的教师奉送真理，一个好的教师教人发现真理.” 让我们响应波利亚的号召，在课堂中重视合情推理的教学与研究，真正为提高学生的创新思维能力作出自己的贡献.