不同学生数学解题差异的比较研究

杨海霞

摘 要：解决问题在数学教学中占有重要地位，本文通过实例分析数优生和数困生在解决数学问题中的差异，并分析差异产生的原因.

关键词：解题；差异；分析

数学学习过程给人留下深刻印象的是不断地提出问题、研究问题.衡量学生学习数学的成效也主要通过解决数学问题的水平来评价. 数学家波利亚曾说过这样一段话：“掌握数学意味着什么呢？这就是说善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独特和有发明创造的题.” 这就意味着，解题是掌握数学的一个重要途径.解题是一个重要手段. 通过解题活动获取知识，培养良好的思维品质，不断提高思维能力和思维水平，形成数学的思维方式，促使学生的身心全面发展. 正因为数学问题及解题活动具有多种功能，所以在中学数学教学中，它成为学习的主要内容和重要形式.

问题是指某个给定过程，对对象认知的当前状态与智能主体所要求的目标状态之间差距或矛盾的主观反映. 解决问题是认知主体寻求从初始状态到目标状态的合理途径、方法的活动，这是一个主动的过程. 问题和解题都不能脱离解题者而独立存在，这是因为不同的人已具备的知识和经验及掌握知识的水平不同. 在同一教学要求和进度下，由于教学对象个别差异的客观性，学生在理解知识、掌握技能和方法、解题等方面往往存在很大的差异. 以下主要通过实例对数学学习中优等生与困难生在解决问题中的差异作简要的分析，并寻找产生这种差异的原因.

[?] 优等生和困难生在解决数学问题中的差异比较

数学领域中的问题解决，与其他科学领域用数学解决问题不同. 数学领域里的问题解决不但关心问题解决的结果，而且更关心求得结果的过程. 数优生和数困生在解题过程中存在很大的差异，主要表现在以下几个方面.

下文中，T表示笔者；A1：男生，头脑灵活，数学成绩良好；A2：女生，比较踏实，数学成绩不错；B1：男生，踏实，但反应比较慢；B2：男生，思维活跃，但不爱学习数学；B3和B4均是女生，数学成绩比较差.

1. 将实际问题转化成数学问题的能力不同

下面是笔者与学生之间的一段对话.

B1：题看完了，感觉一团糟，理不出头绪.

T：你能说出该题已知哪些，要求哪些吗？

B1通过仔细阅读，理出已知及未知，但不能和学过的数学问题联系起来.

数优生在遇到一个实际问题时，能够很快地将题目经过适当的“翻译”、加工，从而抓住问题的关键和实质，建立相应的数学模型. 而数困生在看题时往往一见到题就发憷，望而生畏，认为高不可攀，感觉到无从下手，都弄不清已知什么，要求什么，常常轻易放弃.

2. 在理解题设条件时存在较大差异

理解题设条件是解题的第一步，细致深入地理解题设条件是解题的必要前提.解题所需要的信息首先是由题目提供的，但题目本身不会主动、有序地向我们大脑输入信息，它需要解题者积极主动地去获取. 因此，分析题设条件就是解题者对题目信息的发现、辨认、转移的过程. 它是主体的一种有目的、有计划的知觉活动，并有思维的积极参与.

（n+1）（n-1）， n为正奇数时，

其中，n为正奇数时，n+1，n-1均为偶数，因此（n+1）（n-1）一定能被4整除，所以（n+1）（n-1）是正整数或零，但不一定是正偶数，所以填（1）.

B2：因为A表示非负偶数集，B：b=0， n为正偶数时，

（n+1）（n-1）， n为正奇数时.

当n为正奇数时，n+1与n-1表示两个连续的偶数，其中必有一个是4的倍数，所以（n+1）（n-1）表示非负偶数，所以填（3）.

A2：集合A是非负偶数集，即A={0，2，4，6，8，…}，集合B中的元素b=0， n为正偶数时，

（n+1）（n-1）， n为正奇数时.

（n+1）（n-1）（n为正奇数时）表示非负偶数，但是不表示所有的正偶数，取n=1，3，5，7，…，由（n+1）（n-1）依次得到0，2，6，12，20，…，即B={0，2，6，12，20，…}，因此填（2）.

数优生在分析题设条件时，分析比较透彻，能充分地获取题目的信息，如上题中A2对B的元素的分析较其他三位学生更深入. 他们能对所获取的信息通过分析、联想、比较、想象等一系列思维活动，去伪存真，由表及里寻找内在规律，排除干扰信息，巧妙地捕捉求解信息. 而数困生在分析题设条件时不能透彻理解其内在含义，没有看清题目，没有慎重分析，就草率地下结论，如B3的解答. 他们不能很好地理解概念、术语、符号，认识比较肤浅. 如B4、B2在对n为正奇数时，b到底表示怎样的数认识错误. 在明确问题空间时，分析综合能力是关键，而数困生在这方面与数学学习能力强的学生有明显差距.

3. 在解题思路方面也大有不同

任何数学题目在求解时都要形成解题思路.解题思路有成功的，也有失败的，常因解题者自身知识不同，观察角度不同等造成解题思路不同.

题目3：已知a，b，c都是正数，求证：++=（a+b+c）.

B2是这样想的：由于a，b，c都是正数，所以有+（b+c）≥2a，+（c+a）≥2b，+（a+b）≥2c，从而+（b+c）++（c+a）++（a+b）≥2（a+b+c）.

B2接着说这样下去好像得不出所要求证的结论.

笔者再让A2分析B2的思路，A2是这样分析的：

（?）式等号成立的条件，当且仅当=b+c，=c+a，=a+b同时成立，即a=b+c，b=c+a，c=a+b同时成立，即a=b=c=0时才能成立，显然不合题设条件.

数困生在寻求解题思路时往往易受思维定式的消极影响而造成解题思路受阻，如上例中，在推理过程上出现了漏洞. 另外，数困生往往凭借自己过去对有关知识的认知和经验，通过直觉思维认为可行的想法事实上往往行不通. 如上例中，碰到不等式，且a，b，c均大于零，就认为用基本不等式应该能得证，但直觉思维不是胡思乱想，这种解题念头是一种未经证实的想法，是不严密的. 数困生还常忽略隐藏在题设背后的隐含条件，导致不能寻得有效可行的解题途径.而数优生能克服以上缺点，认真分析，及时调整解题思路.

4. 解题过程的表述上存在很大的差异

笔者问B3，由=如何得出AQ·BR=QR2，B3能准确地说出其理由. 尽管B3会解这道题，但事实上B3的解题过程是不完整的.

数困生解题过程的表述往往出现不少漏洞，如理由不充分、逻辑错误、解题过程表述不当等，而数优生的解题过程的表述条理清晰、简洁完整.

[?] 数优生和数困生解题差异的原因分析

数优生和数困生在解题方面的差异是有原因的，主要表现在个体的认知、情感等方面.

1. 数困生的基础差

数困生对课本的基础知识、公式、定理都不熟悉，有的甚至根本不知道课本上有些什么内容，他们的数学信息存储量偏少. 数学知识结构零乱无序，这就造成他们的记忆缺陷，因而影响他们在相互作用阶段有序地组织知识、存储知识、提取知识. 所以在解题的时候，没有工具可用. 因此，基础知识的缺乏，是学好数学的一大障碍.

2. 数困生的逻辑思维能力偏低

数困生认知加工的逻辑障碍主要表现为逻辑的不严密性：（1）混淆概念. 用同一概念去表达几个不同的对象，或者用几个不同的概念去表达同一对象. 违反同一律，破坏思维的一贯性、确定性而陷入逻辑错误. （2）虚假论据. 他们会以虚假的命题作为推理的论据，违反逻辑思维的充足理由. （3）循环论证.数困生由于其逻辑论证能力弱，特别容易发生循环论证错误. 他们在命题的证明中，论题通过论据推出，而论据又通过论题推出，最后这个循环论证并没有真正证明要证的命题，而使自己陷入逻辑混乱.

3. 数困生的数学思维方式也呈劣势状态

一方面，数困生的思维单一机械. 一般情况下，数困生的解题策略只限于套用现成的公式或者从条件便能直接得到的结论的问题，而一个数学问题如果就从条件出发，往往是很难得到结论的，最起码需要一些逆向或发散思维. 数优生不用进行特别的练习就能解决逆向的问题，而对于数困生来说，只有在最简单的条件下，特别是所给的第二个问题和第一个问题完全相同，仅仅把条件和结论互换一下时，他们才会把第二个问题看成第一个问题. 所以对于许多数困生来说，从正向思维转向逆向思维，形成可逆心理的过程显得非常困难.另一方面，数困生的思维杂乱无序. 数困生在解题过程中看到的问题空间是孤立的、无层次的状态，他们一开始盯在具体数据上，认识不到问题空间的种种联系. 他们的解题过程总具有盲目的特点，杂乱无章地试着找出一个解答，或者说企图猜测，而不是靠合情推理得到一个解法，所以他们的思维是模糊和不成熟的.

4. 数困生在解题方面与优生的差距还有心理方面的因素

学生解题的过程也是一个不断尝试解题途径的过程，一旦不能很快地找到正确的解题方法时，就会产生焦虑心理. 过度的焦虑会使人产生高度注意定向而强化思维定式，冲淡学生的记忆，产生暂时的遗忘. 于是，公式、定理的前提条件甚至平时熟知的“分母不为零”等常识性知识也会随着尝试的深入和高度注意定向而被暂时遗忘，忽视对解题时所用手段的必要检查和批评性的回顾.