启发新知，开拓思维

陈德军

摘 要：对学生来说，教师的概念教学核心任务是引导学生认知新知、运用新知，并在一定范围内对学生开拓思维，注重新知的理解和思维的开拓便成为首选. 本文谈谈如何对学生启发新知和开拓思维，并产生一些思考.

关键词：新知；思维；课例；直线；圆；位置关系

近日，笔者参与了一次课例研究，选择的是《直线和圆的位置关系》这一课. 本课着重体现了解析几何中的数形结合思想，帮助学生树立“数形是一家，解题不分离”的意识，以及在课堂教学中采用一题多变、一题多解的教学方法，拓展学生的思维，培养学生深入思考、多角度思考的习惯. 笔者现把课堂实录整理如下，与大家探讨交流.

[?] 课堂实录

1. 复习回顾

教师：以前我们学习了哪些关于圆的知识呢？

学生1：有圆的标准方程、圆的一般方程，还有点和圆的位置关系. （体现数形结合的数学思想）

教师：很好，说明大家对前面的知识掌握很牢固，那么如何判断点和圆的位置关系呢？

学生2：比较圆心到点的距离d和圆的半径r的大小关系，如果d>r，点在圆外；d=r，点在圆上；d

教师：很好，对于点和圆的位置关系，大家已经有了很好的掌握，而我们学数学是为了用数学，用数学来解决实际问题，接下来我们试试看这个问题（多媒体展示实例——船是否会遭遇台风），船是否能安全到达呢？

学生：我觉得是直线和圆的位置关系问题.

教师：好，船是动点，表面上是点和圆的位置关系，再深入之后发现船沿直线走，所以是一个直线和圆的问题， 所以判断船是否要改变航线，就是要看船的轨迹这条直线是否会经过台风区域，这就是我们本节课所要学习的内容：直线和圆的位置关系. （给出课题）

设计意图：通过回顾知识，旨在引导学生从点和圆的位置关系去思考直线和圆的位置关系，通过旧知回顾、引导新知是教学常使用的一种手段，期间不断利用多媒体向学生渗透数形结合思想在解决直线和圆相关知识中的重要作用.

2. 建立新知

第一阶段 启发新知

教师：初中已经学过直线和圆总共有三种位置关系，分别是：相离、相切、相交.类比点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系如何判断呢？（图片展示直线和圆的三种位置关系）

学生：研究距离d和圆的半径r的大小关系：如果d>r，相离；d=r，相切；d

教师：这种方法从位置关系得出了数量关系，称之为“几何法”，几何法将贯穿本堂课，大家好好体会.

教师：如果把直线和圆的方程写出来，判断直线和圆的位置关系可以用什么知识？大家想想看，把两个方程联立后，转化成什么呢？

学生：方程组解的个数.

教师：这样就把几何问题和代数问题联系了起来，通过代数方法解决了几何问题，通过数形结合实现了转化，称之为“代数法”. 浏览一下两种方法的一般过程，然后解决本节课开始的引例. （分小组，分别用几何法和代数法解决，通过对比，让学生初步体会几何法的优点：计算量小，简便）

设计意图：以两种不同的视角引导学生，解决直线和圆的位置关系需要利用代数策略或几何策略，但哪种策略更是我们教学关注、运用的，还需下一阶段学生亲自尝试后进行有效总结，目的是多引导学生主动进行知识建构和形成知识系统.

第二阶段 新知运用

例1 已知直线L：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线和圆的位置关系. 若相交，求交点坐标及弦长.

教师：上述问题易知直线和圆相交，那么如何求相交弦长？

学生1：联立方程得到交点A、B坐标，利用两点间的距离公式即可.

教师：好，这是沿着代数法的思路，还有没有其他的方法呢？圆中哪些几何性质可以用？

学生2：过圆心做弦的垂线，形成一个直角三角形.

教师：我们称之为“弦心距三角形”，是有关半径、圆心到直线距离以及半弦长的一个等式，利用这个等式，可以很轻松地解出弦长. （展示求弦长的过程）

教师：通过引例和例1，哪种方法更简单一些呢？

学生：几何法.

学师：是，几何法在解决直线和圆问题时更轻快，思维清晰、计算量小.

设计意图：通过学生不同的尝试，使其明白在解决直线和圆的位置关系时尽可能多利用几何法，从此处体现数形结合思想在直线和圆位置关系解决中的优势，也进一步巩固了图形化策略直观、高效、简捷的特点.

第三阶段 拓展思维

变式1：判断直线mx+y-6=0与圆x2+（y-1）2=5的位置关系.

变式2：判断直线mx-y+1-m=0与圆x2+（y-1）2=5的位置关系.

教师：下面请两个同学来给我们解答一下变式1. （学生1用代数法，学生2用几何法，学生2要快很多，凸显几何法的优势）

教师：接下来我们一起解决变式2，先来看d=r的情况，发现方程组无解，接着d>r，还是无解，而d

学生：直线始终与圆相交.

教师：对比一下两个问题：同一个圆，两个含参数的直线，为什么第一条直线与圆三种位置关系都可以，而第二条只能相交呢？这两条直线区别在哪里？

学生：两条直线都含参数，我们发现两直线都过定点. 区别在于：第一条直线定点在圆外，第二条直线定点在圆内.

教师：来看一下过定点的直线和圆的位置关系究竟是怎么样的. （几何画板演示，使学生得到了直观的印象）

教师：因此判断含参直线与圆的位置关系，应该先做什么呢？

学生：研究直线的定点，利用定点然后判断点和圆的位置关系，进而得到直线和圆的位置关系.

教师：很好，判断含参数直线和圆的位置关系，要借助定点和圆的位置关系，注意前后知识的连贯性.

设计意图：在理解几何法运算简捷的基础上，通过变式问题进一步了解代数法在解决含参直线上的劣势. 本课到此处进入小结阶段：为什么学习直线和圆的位置关系？学习直线和圆的位置是从什么推广而来？解决其位置关系的两种常用方法是什么？通过学生参与对比，相对哪种方式更适合学生？最后以含参直线进行深入研究，进一步让学生感悟数形结合思想.

[?] 反思

对于教师来说，如果面对职业学校学生上好课，难，难在创新，难在师生互动，也难在学生真正地参与进去，并且也会出现“热闹有了，但深度降低了”的现象，对于教师，还必须时刻关注学生的“最近发展区”. 从最近发展区入手，符合学生的认知规律，能进一步提高课堂的效率. 对于本堂课，笔者有如下反思：

1. 主线明确，题题深入

一堂好的课，必定有一条明线一条暗线，如果教师能从整体上把握教材，从细微处着手分析，使得课堂有一条“牵一发而动全身”、“举一纲而众目张”的教学主线，那么一定会优化我们的课堂教学结构，提高课堂教学质量. 本堂课主线明确，以点和圆的位置关系引入，在接下来的分析中，处处注意点和圆的位置关系对直线和圆位置关系的影响，达到了“牵一发而动全身”的效果.

2. 注重变式，多维启发

例题教学是新授课必不可少的环节，不但能帮助学生深入感悟有关内容，还能开阔学生思维，培养学生的思维品质. 笔者认为，在例题教学中更应注视变式教学，一题多解. 在例题教学中，适当地改造题目的条件或结论，进行一题多变，实现举一反三，本堂课中例题的变式即源于例题又高于例题，如例1变式具有更一般的结论，看似相同，实则不同，通过两个变式对比，得到了过定点的直线和圆的位置关系如何简单、快速判断，例2则是进一步的深入，实现了知识的统一性.

3. 结尾升华， 紧靠主题

小结是教师和学生对整堂课内容的一次整理过程，是将前后知识纵横联系的一次过程，也是对数学思想方法的再应用提高过程，可以开拓学生思维，激发学生的求知欲，所以一堂课的小结时间虽短，但尤为重要.

在本堂课中，小结主要帮学生建立如下的思维过程：首先是坐标法思想的应用，将几何问题代数法，借助代数法来处理几何问题，分析代数结果可知几何意义，不断地帮助学生体会“数形结合”的思想. 重点突出几何法，数形结合，并尝试提出有关直线和圆的延伸问题.

4. 以形辅数，渗透思想

在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”. 在解析几何中，这一点体现得尤为明显. 圆是学生进入高中阶段所学的第一个解析几何图形，这里特别要着重培养学生的数形结合思想，让学生有意识地应用数形结合思想，简化计算，同时也能对以后学习圆锥曲线产生积极的影响.

笔者把这堂课以读书笔记的形式记录下来，以求抛砖引玉，记录中有总结，有反思，还有自己的思考，这样的课例研究对自己以后必将产生良好的推动作用，给自己以后的教学多一份心得，少一丝遗憾.