例谈2011版课标中核心概念“模型思想”的培养

吴士根

数学课程标准（2011版）在课程设计思路中指出：“……在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体会以实际情景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果，解决问题的过程”.建模思想是2011版课标新提出来的一个核心概念，修订版课标把“模型思想”作为核心概念理由是：其一，模型思想是一种基本数学思想；其二，模型思想及相应的建模活动与很多课程目标密切相关（如数感、符号意识、几何直观、发现、提出问题能力、数学应用意识、改善数学学习方式等等）；其三，模型思想本身就渗透于各课程内容领域中，突出模型思想有利于更好地理解、掌握所学内容；其四，数学建模已是高中数学课程的学习内容，义务教育阶段提出建模思想亦能更好与高中课程衔接.为落实课标精神，在教学中更好地在对学生进行建模思想的培养，在此谈点肤浅认识。

一、创设问题情境，渗透数学建模

“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程，体现了《标准》中模型思想的基本要求，也有利于学生在过程中理解、掌握有关知识、技能、积累数学活动经验，感悟模型思想的本质.这一过程更有利于学生去发现、提出、分析、解决问题、培养学生创新意识.

现行的义务教育课程标准教科书中，时常能遇到一些创设有关知识情境的问题，这些问题大多数可以结合数学思想、数学方法进行教学.在这个教学过程中进行数学建模思想的渗透，不仅可以使学生体会到数学并非只是一门抽象的学科，而且可以使学生感觉到利用数学建模的思想结合数学方法解决实际问题的妙处，进而对数学产生更大的兴趣.

案例1义务教育教科书（2012版）浙教版七年级（上）“有理数的加法法则”的教学中如何渗透数学建模思想.

“有理数的加法”这一节的第一部分就是学习有理数的加法法则，课本是按提出问题……进行实验……探索、概括的步骤来得出法则的.在实际教学中老师可以根据学生生活经验创设这样的情境：先给学生提出问题“一位同学在一条东西向的路上，先走了20米，又走了30米，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向，与原来位置相距多少？”，然后让学生回答出这个问题的答案.（结果在实际教学中我发现学生所回答的答案中包括了全部可能的答案，这时我趁势提问回答出答案的同学是如何想出来的，并把他们的回答一一写在黑板上，用1、2、3、4……来区分出不同的分类情况.）在学生回答完之后，就可以顺势介绍数学建模的数学思想和分类讨论的数学方法，并结合这个问题介绍数学建模的一般步骤：首先，由问题的意思可以知道求两次运动的总结果，是用加法来解答；然后对这个问题进行适当的假设：①先向东走，再向东走；②先向东走，再向西走；③先向西走，再向东走；④先向西走，再向西走；接下来根据四种假设的条件规定向东为正，向西为负，列出算式分别进行计算，根据实际意思求出这个问题的结果.最后引导学生观察上述四个算式，归纳出有理数的加法法则.这样一来，不仅可以使学生学习有理数的加法法则，理解有理数的加法法则，而且在这个过程中也使学生学习到了分类讨论的数学方法，并且对数学建模有了一个初步的印象，为今后进一步学习数学建模打下了良好的基础.利用课本知识的教学，在学生学习知识的过程中渗透数学建模的思想，能够使学生初步体会数学建模的思想，了解数学建模的一般步骤，进而培养学生用数学建模的思想来处理实际中的某些问题，提高解决这些问题的能力，促进数学素质的提高.

二、挖掘教材内容，强化数学建模

数学建模思想作为一种重要的数学思想方法，普遍渗透在初中数学教材的各个知识板块当中，其中方程、函数、不等式、三角函数等知识内容中较为常见，教学时教师要善于发掘，巧妙设计，让学生在学习活动中通过不断地经历、体会、感悟、内化、提升，最终形成思想方法.

案例2建立函数模型：其宾馆有50个房间供旅客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满，当每个房间的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，房价定为多少时，宾馆的利润最大？

分析：利润、房价和客房开住数量三者存在函数关系，若设每个房间在原价的基础上增加X元（X>0，且X为10的倍数），则客房每天可开住（50-〖SX（〗x〖〗10〖SX）〗）间，用y表示当天利润，可构建函数为：

y=（50-〖SX（〗x〖〗10〖SX）〗）（180+X-20），即y=-〖SX（〗1〖〗10〖SX）〗（X-170）2+10890

由二次函数知识可知，该函数存在最大值，当X=170时，函数最大值y=10890.所以，当房价定为：180+170=350（元）时，宾馆的利润最大（10890元）.

函数关系是普遍存在的，所呈现的函数关系也并非都是二次的.因此建立目标函数模型的应用十分广泛.

三、注重数学实验，体验数学建模

2011版《课标》指出：“……学生的学习应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”.这里所说的数学实验是指为获得某种数学理论，探求或验证某个数学猜想、解决某类问题、运用一定的物质技术手段，在特殊的环境中进行的一种数学实践活动.学生在这种实践活动中，通过观察、操作、实践、试验等活动，自己发现问题、提出问题、验证问题，总结新结论的过程.数学实验显然是一种学习方式，这种学习方式，不是让学生被动地接受教材上或教师讲授的现成结论，而是让学生从自己已有的“数学经验”出发，通过动手、动脑去获得新的数学经验，逐步构建并完善、发展自己的数学认知结构.实践证明，进行实验教学可以帮助学生加深对所学知识的理解，体验到知识被探究发现的过程；概括有关的数学知识；获得重要数学定理，发现和验证数学规律.

案例3客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长150米，货车长250米，如果两车相向而行，那么从两车车头相遇到车尾离开共需10秒钟；如果客车从后面追货车，那么从客车车头追上货车车尾到客车车尾离开货车车头共需1分40秒.求两车的速度.

本题由于两车同时在运动，且有相向与同向两种运动方式，学生的思维容易混乱，教学时可以就地取材，让学生拿出计算器和文具盒，模拟两车的行驶方向进行实验操作，借助摸拟实验，学生就容易发现（方程模型）：相向行驶时，客车行驶的路程与货车行驶的路程之和等于两车车身长之和；同向行驶时，客车行驶的路程减去货车行驶的路程等于两车车身长之和.这时问题就迎刃而解了.

数学实验可以使学生逐步掌握数学研究的规律，培养学生用数学观点、方法观察事物，从而提高他们发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.通过实验活动，学生能亲身感悟解决问题、应对困难的思想和方法，可以逐渐形成正确思考与实践的经验.数学实验既是一种有效的学习方式，也是引导学生建立数学模型的一种常用方法，我们在教学中应结合具体的教学内容，鼓励学生进行实验操作，引导学生在操作过程中发现知识，掌握知识，并发展他们的思维能力、理解能力，创造能力和用数学建模能力.

四、探求解题规律，感悟数学建模

解题是数学中一个极有生命力，极富独创性和充满诗情画意的工作，数学离不开解题，波利亚在《数学的发现》中认为：“中学数学教学的首要任务就在于加强解题训练”.解题在数学学习中有着不容置疑的重要性.在平时的教学过程中，我们要善于引导学生将所学内容整理归纳出类型和方法，并把类型、方法和范例作为整体来积累，经过加工提炼，得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构与重要类型——数学模型.数学模型实质是一个数学问题在剔除天关信息后的本质结构.当遇到一个新问题时，我们辨认它属于哪一类基本模型，联想起一个已知解决的问题，以此为索引，在记忆贮存中提取出相应的方法来加以解决，这就是数学模型的解题策略.

案例4基本图形的模型：