善用模型思想提升解题能力

吴士根

解题是数学中一个极有生命力，极富独创性和充满诗情画意的工作，数学离不开解题，波利亚在《数学的发现》中认为：“中学数学教学的首要任务就在于加强解题训练”。解题在数学学习中有着不容置疑的重要性。在几何教学中，有许多图形需要学生熟练掌握，这些图形即包括定义、定理的代表图形，也包括在几何中经常遇到的图形，以及由一个实际问题抽象为用数学符号表示的数学问题，这些图形或数学问题我们都称之为数学模型。在平时的教学过程中，我们要善于引导学生将所学内容整理归纳出类型和方法，并把类型、方法和范例作为整体来积累，经过加工提炼，得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构与重要类型（数学模型）。当遇到一个几何图形问题时，我们能辨认它属于哪一类基本模型，或是由哪些基本模型复合而成。以此为索引，在记忆贮存中提取出相应的方法来加以解决，这就是利用数学模型的解题策略。

基本图形的模型一（“马饮水”问题）

浙教2011版八上第50页例2如图1，直线l表示草原上的一条河流。一骑马少年从A地出发，去河边让马饮水不，然后返回位于B地的家中。他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线。

分析如图设P是直线上任意一点，连结AP，BP。以直线l为对称轴，作与线段AP成轴对称的线段A/P，则AP+BP=A/P+BP。显然，当点A/，P，B同在一条直线上时，A/P+BP最短，即路程最短。（证明略）

应用（2013年绍兴市实验中学联谊学校九年级联考中考模拟试卷）如图2，四边形ABCD是边长为20的菱形，且∠DAB=60°，P是线段AC上的动点，E在AB上，且AE=〖SX（〗1〖〗4〖SX）〗AB，连PE，PB，问当AP长为多少时，PE+PB的值最小，并求这个最小值.

解析如图3，过B（或E）作AC的对称点，即为D，连结DE，线段DE的长即为PB+PE的最小值（证明略）.∵ABCD为菱形，∠DAB=60°，AB=CD=BD=20，过D作AB的垂线DH，垂足为H，则BH=10，EH=5，DH=5〖KF（〗3〖KF）〗，∴DE=5〖KF（〗13〖KF）〗，又∵△APE∽△CPD，且AE：CD=1：4，∴AP=〖SX（〗1〖〗5〖SX）〗AC=〖SX（〗1〖〗5〖SX）〗×20〖KF（〗3〖KF）〗=4〖KF（〗3〖KF）〗.故当AP=4〖KF（〗3〖KF）〗时，PE+PB的最小值为5〖KF（〗13〖KF）〗.

点评求平面内两线段之和有最小值问题，是学生较难掌握的一类题目，我们碰到的一般有二种情况：一是两条线段在动点所在的直线同侧，求两条线段和的最小值问题；二是两条线段在动点所在直线的异侧，求两条线段和的最小值问题.这两种情况都是可以用同一种方法来解决，那就是”接起来，拉直找交点”.所用的定理是”两点之间，线段最短”，因此，我们想到把几条线段连接成两点间的一条折线，当这条折线拉直，变成两点之间的线段时，必定是最短的时候.但是，如果题目中的动点在指定的直线上运动，我们拉直后的线段，必须要和指定的直线有交点，如果没有交点，就要进行线段的转移，转移的方法主要方法有作对称点进行相等线段代换。

基本图形的模型二（“最短距离”问题）

〖XC32.TIF〗

浙教2011版七上第172页，作业题6：如图4，直线l表示一段河道，点P表示集镇，现要从河l向集镇P引水，问沿怎样的路线开挖水渠，才能使水渠的长最短？本题可归为一个数学模型“在直线上找一点，使这点到直线外一定点的距离最短”。

分析过P作直线l的垂线PD，垂足为D，则线段PD就是直线l外一点P到直线l的最短距离（垂线段最短）。

应用（2013年绍兴市实验中学联谊学校九年级联考中考模拟试卷）如图5，在矩形ABCD中，AB=10〖KF（〗3〖KF）〗，CB=10，P、Q分别是线段AC，AB上的动点，问当AP长为多少时，PQ+PB的值最小，并求这个最小值。

解析作B关于AC的对称点B/，过B/作AB的垂线B/Q/，垂足为Q/。则PQ+PB的最小值就是BP/+P/Q/的值，即为B/Q/的值。（证明略）。∵AB=10〖KF（〗3〖KF）〗，

BC=10，∠ABC=90°，∴AC=20，∠CAB=30°，又∵∠ABE=90°，∴∠ABE=60°，BE=5〖KF（〗3〖KF）〗，BB/=10〖KF（〗3〖KF）〗，∴B/Q/=15，BQ/=5〖KF（〗3〖KF）〗，AQ/=5〖KF（〗3〖KF）〗，∴AP/=10。∴当AP=10时，PQ+PB的值最小，最小值为15。

点评作B关于AC的对称点B/后，BP/+P/Q/的值就是B/Q/的值。B/点到AB的距离要最短，那么只能过B/作AB的垂线。垂线段B/Q/的值就是所求的最短距离PQ+PB的值。

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基本图形的模型三（“蜘蛛和苍蝇”问题）。

浙教2004版八上第58页3.2节节前是图：杜登尼（Dudeney，1857-1930年）是19世纪英国知名的谜题创作者。“蜘蛛和苍蝇”问题：在一个长方形长、宽、高分别为3米，2米，2米长方体房间内，一蜘蛛在一面的中间，离天花板0.1米处（A点），苍蝇在对面墙的中间，离地面0.1米处（B点）（如图6）.试问：蜘蛛去捉苍蝇需要爬行的最短距离是多少？

解析把长方体的侧面展开后归纳起来可以分4种情况：

（1）如图7，AB=0.1+3+1.9=5（cm）；（2）如图8，AB=〖KF（〗1.82+52〖KF）〗=〖KF（〗28.24〖KF）〗≈5.314（m）。（3）如图9，AB=〖KF（〗4.12+2.92〖KF）〗=〖KF（〗25.02〖KF）〗≈5.022（m）。

（4）如图10，AB=〖KF（〗3.22+42〖KF）〗=〖KF（〗26.24〖KF）〗≈5.122（m）经过比较，可知第一种情况的路径最短.