过圆顶点v=的小球做平抛运动吗
2014-05-25何勇高文清
物理通报 2014年12期
何勇 高文清
(新疆兵团二中 新疆乌鲁木齐 830002)
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何勇 高文清
(新疆兵团二中 新疆乌鲁木齐 830002)
【例题】半径为R的光滑半圆球固定在水平面上,顶部有一小物块质量为m,如图1所示.今给小物块一个水平初速度,则物块将
A.沿球而滑至M点
B.先沿球面滑至某点N再离开球面做斜下抛运动
C.按半径大于R的新圆弧轨道运动
D.立即离开半圆球做平抛运动
图1
分析:这道题是对圆周运动最高点速度v0=的考查.可以分析出,物块在最高点当v0=时,只受重力,对圆球无压力,故可以认为物块将做平抛运动.但是,再仔细想想这其中似乎有一定的问题:会不会物块此时不受压力,此后会与轨道有挤压呢?或者,物块先做一段平抛运动,随后再沿圆面滑下呢?物块究竟做什么运动呢?现对物块的运动进行如下分析.
方法1:利用函数方法求证
建立坐标系,用平抛运动和曲线运动轨迹的函数方程,证明物块运动轨迹(抛物线)与圆弧无交点(顶点除外).
证明:以O点原点建立平面直角坐标系,如图2所示.圆的轨迹方程
图2
若两运动轨迹有交点,则有y1=y2,即
可以推出x=0.
所以,两轨迹只于初始点抛物线和圆有交点,即小球在圆顶部v0=时做平抛运动至落地.
方法2:比较水平位移求证
选取任意相同水平高度,比较“平抛运动的水平位移总大于圆周运动的水平位移”.
证明:选取任意相同水平高度,设圆上A点与坐标原点的连线OA与x轴的夹角为θ,如图3所示.
图3
由小物块做平抛运动,可得
由圆上的A点的几何关系,可得
所以,小球离开半圆球顶部后做平抛运动至落地.
2014- 03- 12)