深刻理解数学真正领会题意

胡永斌

【摘要】教师对数学理解的深度，在例题教学中表现出来的是解题方法的适度，也就是挖掘出题目的本来意图，真正领会题意，从而找到与题目的相关信息最近最密切的知识去解决，才是最佳的解决方案.

【关键词】理解；领会；题目的相关信息；最佳； 简洁

反比例函数y=kx（k≠0）中，比例系数k除了可以确定图像位置、图像特征、增减性等外，k还有其几何意义：如图，过双曲线y=kx（k≠0）上任意一点P（x，y）作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，则S矩形PAOB=PA·PB=︱y︱·︱x︱=︱xy︱.∵y=kx，∴xy=k.∴S矩形PAOB=︱k︱.即过双曲线y=kx（k≠0）上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积为︱k︱.

这一核心知识的考查最近十几年来在全国各地的中考中从未间断过，在《中小学数学》（初中版）上先后刊登了文＼[1＼]、文＼[2＼]、文＼[3＼]，对同一道题用了不同解法.此题与这一核心知识相关，但文章作者都没有运用它去解决，在此笔者对他们的解题思路及方法做简要分析，并给出运用k的几何意义的简洁解法.

原题：如图所示，一次函数y=kx-2（k>0）与双曲线y=kx在第一象限内的交点为R，与x轴、y轴的交点分别为P，Q，过点R作RM⊥x轴于M点，若△OPQ与△MPR的面积相等，则k的值等于多少？

文＼[1＼]中肯定地说：“假若不证明或不利用△OPQ≌△MPR，借助其他条件，是绝对求不出k值的.”笔者认为这个观点太武断.作者看到题目中△OPQ与△MPR面积相等，又易证△OPQ与△MPR相似，由此想到了用全等知识来解决.笔者妄加推测，文＼[1＼]中补充判定定理（相似且面积相等的两个三角形全等）的由头可能从此而起，是为了解决这道题才补充了一个“能当定理用，可教材中找不到出处”的真命题.作者却感到无可奈何.

文＼[2＼]对文＼[1＼]的观点进行了否定，“不用△OPQ≌△MPR，是可以求出k的值”.我同意此观点.文＼[2＼]的解题思路是联立一次函数y=kx-2和双曲线y=kx的解析式，求得R的坐标，同时根据已知可求得P，Q的坐标和线段OP，OQ，RM，PM的长.根据△OPQ与△MPR的面积相等列出方程，2×2k=1+k2-1k×（1+k2-1），由此解得k值.笔者以为这种解法思路还算自然但运算量大，列的方程超出了教材要求（无理方程教材中已删），此方法并不适合于学生，忽视了学生的可接受性.

文＼[3＼]中利用△OPQ∽△MPR 得 OP·RM=PM·OQ ①，又 S△OPQ=S△MPR，得OP·OQ=PM·RM②，由 ①÷②得到RM=OQ.以此作为突破口，进而得到k值.这个解法比文＼[2＼]的运算量小，但通过相除消元得到RM=OQ的思路和文＼[1＼]利用全等得到RM=OQ相比，显得偏难.

以上三文从不同角度寻求解决问题的方法，我们教师可以借鉴，但从学生的接受角度讲，都不尽如人意，对题目中“若△OPQ与△MPR的面积相等”条件领会不深刻，对反比例函数y=kx（k≠0）中比例系数k的几何意义挖掘不够.笔者利用k的几何意义略解如下：

过点R作RN⊥y轴于N点，设R点坐标（m，n），由y=kx-2与坐标轴相交，得Q（0，-2），即OQ=2， P2k，0.由k的几何意义知，S矩形OMRN=RN·RM=mn=k.利用已知S△OPQ=S△MPR，可得 S△QNR=S△QOP+S四边形ONRP=S△MPR+S四边形ONRP=S矩形OMRN=k，又S△QNR=12QN·NR=12（OQ+ON）·NR=k， ∴12（2+n）m=k， ∴n=2.又因为R（m，2）在y=kx-2和y=kx上，∴2=km-2，2=km.∴2=k·k2-2， 又k>0， ∴k=22.

利用反比例函数y=kx（k≠0）中比例系数k的几何意义解此类题要运用“数形结合”的数学思想方法，其解法具有简洁性、直观性.总之，教师在例题教学时不能只给学生一个解法，要真正领会题意，解法简单自然学生易接受为好.

【参考文献】

＼[1＼]毛立武.给三角形全等补充一个判定定理＼[J＼].中小学数学（初中版），2012（5）：26-26.

＼[2＼]曾飞鹏.我的两点意见＼[J＼].中小学数学（初中版），2013（1-2）：38-38.

＼[3＼]胡从华.我再提供一个解法＼[J＼].中小学数学（初中版），2013（3）：23-23.