数学分析课程中蕴含的数学思想方法探究

何天荣

【摘要】据笔者多年教授“数学分析”课程的经验，发现学生对本课程有畏难、抵触情绪.究其原因有两点：一是本课程是学生上大学后接触到的第一门分析学，其理论性、系统性很强；二是该课程所涉及的知识点很多，公式、概念太多.于是笔者一直在思考如何教好本门课程的理想方法，而思想方法是课程的灵魂，所以透彻研究其思想方法不失为一种理想的途径.

【关键词】数学思想方法；数学分析

一、关于“数学分析”课程

1.课程的性质

数学分析是数学专业最重要的一门专业基础主干课，是许多后续课程如微分几何、微分方程、复变函数、实变函数与泛函分析、计算方法、概率论与数理统计等课程必备的基础，是数学专业学生的必修课.

2.课程的特点

数学分析的理论方法和内容涉及几百年来分析数学的严谨性和逻辑性，又与现代数学的各个领域有着密切的联系，是从事数学理论及其应用工作的必备知识.

二、数学分析课程所蕴含的思想方法

数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题.数学分析课程主要蕴含以下几种思想方法：

1.极限思想

数学分析之所以能够解决初等数学不能解决的问题，其根本原因是在初等数学的基础上引进了一个新的思想方法，即极限思想方法.

所谓极限思想方法就是用联想变动的观点，把所考察的对象看作是对某对象在无限变化过程中变化结果的思想.极限思想方法是数学分析贯穿始终的思想方法，正是利用极限，实现了直与曲、近似与精确、有限与无限的矛盾转化.

例如导数的背景是求经过曲线上一点的切线的斜率，而就初等数学知识而言，我们能解决的问题是已知两点求斜率，于是在曲线上找一个动点，求出曲线割线的斜率，再令动点无限趋近于定点，可以看出此时可以用割线斜率代替切线斜率，即割线斜率的极限为切线斜率；同理，定积分、连续、无穷积分、无穷级数的收敛等概念都以极限来定义的.

极限的方法，正是对立统一规律、否定之否定规律、质变与量变规律等辩证思想在数学领域的具体体现与运用.借助极限思想，人们将用常量数学研究客观事物的时代发展到用变量数学研究客观事物的时代.

2.类比思想方法

所谓类比的思想方法是在两种不同的事物间进行比较，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也有可能存在相同或相似之处的思想方法.

类比在引导数学分析理论不断深化中有十分明显的作用.

类比对拓宽创新思维作用是很大的，但是应用类比时还必须重视猜测后的证明，因为并非所有的猜测都是正确的.

3.化归思想方法

所谓化归思想方法是指研究问题时，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类能解决或比较容易解决的问题中，最终获得原问题解决的一种思想方法.

化归思想方法是人们对事物间的“普遍联系”和矛盾在一定条件下“相互转化”的能动反映，它着眼于揭示联系、实现转化，通过矛盾转化解决问题.

例如极限的四则运算、重要极限、无穷小量等价代换求极限、复合函数求导法、换元积分法、反常积分、多元微积分学等都是化归思想的体现.

4.数形结合思想

数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决.“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一.

利用几何图形的形象直观、便于理解，代数方法的一般性，解题过程的程序化，可操作性强，便于把握，数形结合的思想方法是数学分析等许多数学课程的重要思想方法.

概念的严格定义结合几何直观解释，可使极限、连续、间断、导数、微分、积分等概念更加清楚易懂.

例：罗尔定理的证明、函数形态的研究、定积分的积分区间采用解析表达式结合图形表示更准确，更易于理解.

5.严密的逻辑推理方法

严密的逻辑推理方法要求对各种问题总是先给出确切的定义，然后从定义出发，利用逻辑推理，依次推出性质、引理、推论，甚至建设本类问题的整套体系为止.

例如基本初等函数所有求导公式的理论推导都来源于导数的概念及求导法则.定积分的基本积分公式的理论依据是求原函数是求导逆运算并依求导公式逆推而来.

肯定一个命题必须给出证明，否定一个命题必须给出反例来进行反驳.反例反驳是指用一个反例作为论据否定猜想的方法，数学分析在严密的数学推理中充分利用反例反驳的方法，尤其是证明命题B是命题A的必要非充分条件时，几乎完全用举反例的方法进行的.

三、结语

张奠宙先生说过：“每一门课程都有其特有的数学思想，赖以进行研究（或学习）的导向，以便掌握其精神实质，只有把数学思想方法掌握了，计算才能发生作用，形式演绎体系才有灵魂.”为此，笔者认为，作为数学分析的主讲教师，透彻研究本课程的思想方法是教授好本门课程的必要条件.