大学解析几何教学中提升思维能力探讨

【摘要】现行高校的高等数学教材下册第一章是向量代数与空间解析几何的内容，而向量代数与下册后续章节没有联系.因此很多学生对于这一章的学习有些茫然，无法与其他内容建立紧密的联系，在接受上也产生了一些障碍.本文希望从能力提升的角度谈谈该部分的教与学.

【关键词】高等数学；向量代数；空间解析几何；思维能力和品质；空间想象力

同济版《高等数学》下册的第一章就是向量代数与解析几何的内容.从多年教学来看，同学们在学习这部分内容时经常被一些问题所困扰.本文谈谈普遍的一些问题并给出一些学习建议.希望能提升学生的思维能力和品质，主要包含几何问题和代数手段相互转化的能力以及空间想象能力.

首先，让学生注意本章可分为两块内容：向量代数和解析几何.向量代数是解析几何的基础（特别是直线、平面、线面关系等内容需要向量代数）.有了向量的运算规则，很多几何问题可以非常方便的用代数化手段来解决.

书本对向量代数这一块的安排是先看几何直观（有向线段、四边形法则等），然后是向量的坐标表示，即代数化.这样的次序是人们认识理解事物的自然次序.

需要让学生领会代数化的好处，可以让直观的东西变为更加理性、精确、定化.

避免直观的粗糙和不严谨.有了坐标表示，就知道向量的精确位置.通过向量加减法的坐标表示即可知道向量运算之后的精确位置.

向量的点积与叉积需要从物理背景开始引入.这样，学生不会感觉太突兀，学习起来也更有兴趣，成为有源之水.接着是点积与叉积的坐标表示.点积很简单，容易计算.关键是叉积，借助行列式的形式便容易记忆.而学生在这个阶段还没学到行列式，因此有必要在课堂上补充一下二阶与三阶行列式的知识，磨刀不费砍柴功，此处不可省略.

另外，对于点积和叉积的运算性质要特别注意异同点.点积有交换律，而叉积是反交换律；它们的结合律都是指常数与向量乘积时常数的位置灵活；而向量直接做点积叉积时运算次序不可随意变化！

其次，让学生注意解析几何中的平面与直线这两块内容离不开向量的运算.对平面关键是法向量，直线的关键是方向向量.线线（面）的平行、垂直都通过法向量和方向向量来判断，即通过坐标的运算判断.会利用已知条件求直线和平面方程.

对于直线有两种主要的形式：点向式和一般式.学生应该掌握两者的相互转换.其中包含了向量的重要运算.有一类问题是关于线线有交点或线面有交点的情形，需要让学生掌握此类问题的通用做法是设出交点坐标，通过参数形式来设，这样只有一个参量t需要求，大大地简化了计算.

最后，对于解析几何中常见曲面的方程和图形的学习，老师需要利用这部分内容有意识引导学生多做空间想象.基于曲面方程，利用截痕法、旋转法、坐标拉伸法粗略画出示意图.掌握常见图形的基本形状对于后面积分的学习是非常必要的.所以这里是提高空间想象力的好机会，对于今后的一些工程作图、图纸设计等工作也是有很大的促进作用.

总之，需要引导学生重视《高等数学》下册的这一章内容的学习，以提升能力为根本目标，掌握基本理论和方法，塑造良好的思维品质.学生意识到该部分对能力提升的意义便会提高学习兴趣和自主性，从而提高学习效果，教与学互相促进，有利于整个高等数学的学习.达到真正教书育人的目的.

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