运用数学思想 提高学习效率

卢林山

【摘要】 在数学学习和数学教学中，我们能体会到许许多多的数学思想方法，它们对数学的学习起着“指路灯”的重要作用. 把它们从数学教学中抽象、概括出来，加深对这些数学思想的认识和理解，有助于学生快速而准确地解答数学问题，从而达到提高学习效率的目的.

【关键词】 转化；整体；分类讨论；数形结合；提高

转化思想、整体思想、分类讨论思想和数形结合思想，是初中数学中应用最广泛的四种基本思想.

一、转化思想

在初中数学中，经常要运用转化思想，这一思想是上述四种思想中应用最多且伴随数学学习始终的重要思想. 转化思想就是要化复杂为简单，化未知为已知. 我们知道，一元一次方程的最简形式是ax = b，因此解一元一次方程时，就要把所给的方程逐步地转化为这种最简的形式，其一般过程是去分母、去括号、移项、合并同类项，经过这四步以后，所给的方程就可转化成一元一次方程的最简形式，即ax = b的形式，此时只要再把系数化成“1”，便可得到方程的解. 同样的道理，解二元一次方程组时，要先把不会解的二元一次方程组转化成会解的一元一次方程. 为实现这种转化，可运用代入消元法或加减消元法消去一元，得到一个会解的一元一次方程，解这个一元一次方程，即可求得一个未知数的值，把这个值代入二元一次方程组中的任意一个方程，便能求出另一个未知数的值，从而实现了解二元一次方程组的目的.

二、整体思想

在解答数学问题时，有时问题中会有多个未知数，在一定条件下，我们可以不求每个未知数的值，而只求出含有这些未知数的整体的值，或依据题意构造出一个整体，从而达到化难为易、化繁为简的目的.这种有意识地放大观察问题的视角，将要解决的问题看做一个整体，注重从全局着眼，全面地、整体地观察、分析和思考问题的思想，就是整体思想.

1. 整体思想在计算中的应用

计算7300 - 619 - 1381时，可把减数619和1381构造成一个整体，容易看出它们的和是2000，从7300中减去这个和2000，便能简便地求出其答案为5300，这相当于运用了加法的结合律. 也说明了我们从小学阶段的早期就在运用整体思想这一数学武器.

2.整体思想在二元一次方程组中的应用

例 已知二元一次方程组3x + 4y = 13，4x + 3y = 8，求（x + y）的值.

解 两个方程相加，得7x + 7y = 21，

即7（x + y） = 21，两边都除以7，得x + y = 3.

本题的解法没有按照习惯上求x与y的和，先求x和y的值分别是多少，再求它们的和是多少，而为了求x与y的值，就要先解二元一次方程组这一思路来解，而是抓住了两个未知数的系数的和相等这一特点，把x与y的和看做了一个整体，直接求出了这个整体的值，避免了繁琐的解二元一次方程组，充分地显示了整体思想在数学应用中的神奇作用. 三、分类讨论思想

分类讨论思想既是一种重要的数学思想，又是一种重要的解题策略，它贯穿于整个数学教学过程之中. 经常运用分类讨论思想，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性和科学性，所以它在中学数学中占有十分重要的地位.

1. 分类讨论思想在有关三角形计算中的应用

例 已知等腰三角形的周长是7厘米，它的两条边的长分别是a厘米、3厘米，求它的腰长和底边长.

分析 已知中3厘米长的边可能是腰，也可能是底边，所以本题有两种情况.

解 略.

2. 分类讨论思想在绝对值化简中的应用

例 化简 |a + 3| + |7 - a|.

分析 有理数的绝对值可归纳为两种情况：非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，因此本题应分四种情况.

解 当a + 3 ≥ 0且7 - a ≥ 0，即-3 ≤ a ≤ 7时，

原式 = a + 3 + 7 - a = 10.

当a + 3 ≥ 0且7 - a < 0，即a > 7时，

原式 = a + 3 + a- 7 = 2a - 4.

当a + 3 < 0且7 - a ≥ 0，即a < -3时，

原式 = -a - 3 + 7 - a = -2a + 4.

容易看出，a + 3 < 0且7-a < 0的情况是不存在的.

四、数形结合思想

数形结合的思想，就是将复杂或抽象的数量关系与直观形象的图形在方法上相互渗透，并在一定的条件下相互补充、转化的思想，也就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形之间的相互转化来解决数学问题的思想方法，或由数思形，或以形助数.用数形结合思想，可以化复杂为简单，化抽象为形象，因此能使许多复杂问题迎刃而解且解法简洁.

1. 数形结合思想在学习有理数中的应用

数轴是学习有理数时实现数形结合的最好工具，无论是相反数、绝对值，还是有理数大小的比较，都能借助数轴，运用数形结合思想，使学生深刻地理解并掌握这些知识，学生在学习绝对值和有理数大小的比较时，都能在数形结合思想的指引下，实现知识的迁移和内化.

2. 数形结合思想在解不等式中的应用

我们知道，不等式的解集是不等式中未知数的取值范围，或比某一个数大，或比某一个数小，有时还会包括相等关系，而在数轴上，右边的数大于它左边的数，因此每个不等式的解集都可以在数轴上表示出来，这样我们就能对不等式的解集有了更加形象而清晰的认识，尤其是在解不等式组时，运用数形结合的思想，利用数轴表示不等式的解集就显得更加简洁明了，更容易快速而准确地确定不等式组的解集，并能防止错误的发生.

数学思想在数学中的地位非常重要，在我们的日常教学中要高度重视数学思想方法的渗透，使学生在每天的学习中感受数学思想方法的神奇，下定掌握数学思想的决心，从而大幅度地提高自己的数学水平.