从探究失败中寻找收获

朱佳

【摘要】 探究是数学课上学生活动的主要内容，探究不仅可以拓展学生的想象空间，提高学生学习数学的兴趣，还可以活跃课堂气氛，加强师生互动。但由于学生的知识水平有限，对一些问题的探究往往得不到期待的结果，或者以失败而告终，久而久之，学生就会失去探究的兴趣，使课堂重新回到教师的一言堂。为了避免这种情况的发生，我们教师不仅要在学生探究成功时给予充分的肯定，还要在学生探究失败时帮助他们寻找收获，提高学生探究的积极性。本文就一则案例，让学生从探究失败中寻找收获。

【关键词】 数学教学 探究 案例

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2014）11-001-01

解析几何中，由已知曲线方程和对称轴方程，求已知曲线关于对称轴对称的曲线方程的问题，这种问题实际上就是归结到求轴对称点的问题。即一个点的坐标M0（x0.y0），对称轴为l，求M0（x0.y0）关于l的对称点M（x，y）.根据两个点关于某条直线对称的定义，可以得到两个特征：一是这两点所在的直线与对称轴垂直，二是这两点所连线段的中点在对称轴上。

当对称轴的斜率不存在时：如对称轴方程为l：x=a，我们就根据轴对称点的两个特征并结合坐标系，在已知点是M0（x0.y0）的情况下，很容易得到轴对称点M（x，y）的坐标为 。

当对称轴的斜率为0时，如对称轴的直线方程为l：y=b，同样在已知点为M0（x0.y0）的情况下，可以得到对称点M（x，y）的坐标为 .

同学们很快想到，在对称轴方程的斜率存在且不等于的情况下，能否根据轴对称点的两个特征，并结合坐标系，由已知点的坐标，对称轴方程，推导出求轴对称点坐标的一个简单公式呢？笔者对学生的这种想法非常赞许，并随即鼓励学生对这一问题进行探究。

我们设已知点的坐标为M0（x0.y0），对称轴方程为l：y=kx+b（k≠0），M0（x0.y0）关于l的对称点为轴对称点M（x，y），根据轴对称点的两个特征，直线MM0的斜率■应该是对称轴方程的负倒数，即斜率等于-■，则线段MM0的中点（■，■）在对称轴方程l：y=kx+b（k≠0）上，根据这些，我们可得关于x，y的方程组

，

解之得

.

我们虽然根据已知点M0（x0.y0）对称轴方程l：y=kx+b（k≠0）得到了求对称点方程的坐标公式，但这个公式太繁了，在解决实际问题时，没有人愿意用这个公式进行求解。同学们很沮丧，觉得是一次探究失败。在这种情况下，笔者及时给同学进行总结。我们根据轴对称点的两个特征，推导了求轴对称点的公式。但由于这个公式比较繁，不适合于解题中的应用。但我们仔细观察公式的特点可以发现。当对称轴的斜率k=1时，得到 ，当对称轴斜率k=-1时，也可以得到 。也就是说，当对称轴方程的斜率是k=±1，我们只要将已知点的纵坐标y0替换对称轴方程中的y，就能求出对称点的横坐标x，将已知点的横坐标x0替换对称轴方程中的x，就能求出对称点的纵坐标y.

例：已知点M0（2，1），对称轴方程为l：x+y-5-0，求M0关于直线l对称的点的坐标M（x，y）

解：由x+y-5=0，得x=4

由2+y-5=0，得y=3

故 M（4，3）

这个结论还可以推广到求轴对称曲线方程的问题，如果曲线C的方程为f（x，y）=0，对称轴l的方程为y=x+b，则C关于l对称的曲线方程就为f（y-b，x+b）=0，同理，若对称轴方程为y=-x+b，则C关于l对称的曲线方程为f（-y+b，-x+b）=0.

在这节课的探究中，我们虽然没有得到关于求对称点的简单的公式，但我们通过观察，得到了一些特殊问题的简单的解决方法，探究虽然失败了，但是我们从失败中仍然得到了一些收获。今后我们凡是遇到对称轴方程的斜率为±1时，我们就有了快捷的方法。当然，当对称轴方程不为±1且不为0时，我们只能用轴对称点的两个特征，列方程组求对称点的问题了。

俗话说，失败是成功之母，失败不仅是成功的基础，在知识学习中，任何一次失败中也都有可收获的地方。只要我们教师在学生探究的失败中帮助他们寻找收获，就一定能够提高学生探究的积极性，提高学生学习数学的兴趣，从而进一步提高数学成绩。