从生活中来，到生活中去

高烽

摘  要：“向量”是学生从未接触过的一个全新的概念，而《向量的加法》作为向量运算入门的第一课就显得尤为重要. 笔者设计本课时将生活情境贯穿于教学之中，通过一个生活情境把所有知识点串联起来，让学生从生活情境中观察、思考、自主探究知识的发生、发展、形成的过程，而后再让学生运用所学知识回到生活情境中去解决问题. 整节课以问题串的形式展开，通过巧妙设问，引导学生开展探究. 在学习知识以外，让学生深刻体会到数学源于生活，用于生活的本质.

关键词：向量;情境;探究

《向量的加法》是学生学习了向量的基本概念之后，进而开始学习向量运算的第一课，主要的教学目的是通过本课的教学使学生理解向量加法的定义;会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和;掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量运算.

“向量”的加法区别于学生已经习以为常的“数量”的加法，这种既有大小又有方向的特殊性让学生在学习的过程中不易适应. 为了让学生想得通，学得懂，笔者设计本节课时将生活情境贯穿于教学之中，通过一个生活情境把所有知识点串联起来，让学生从生活情境中观察、思考、自主探究知识的发生、发展、形成的过程，而后再让学生运用所学知识回到生活情境中去解决问题.整节课以问题串的形式展开，通过巧妙设问，引导学生开展探究. 在学习知识以外，让学生深刻体会到数学源于生活，用于生活的本质. 本文结合苏教版必修四《向量的加法》的教学设计，主要从以下几方面来谈谈对教学实施过程中的一些认识.

创设情境  生成概念

俗话说“万事开头难”. 在课堂教学中，教师若能有意识地创设一些与本节课紧密相关的生活情境，以此来激发学生的兴趣，调动学生的情感，那教学活动的开展势必会更加自然顺畅.本节课在导入部分创设了以下一个情境：

情境（一）：？摇一只蜘蛛从O点爬到A点再爬到B点吃蚊子（如图1）.

图1

问题1：从O点到A点过程中产生的位移可如何表示？从A点到B点呢？

问题2：从O点到A点再到B点的过程与从O点直接到B点的过程所产生的位移相同吗？

问题3：你能用等式刻画出问题2的结论吗？

+=，即向量是向量与向量的和.

设计意图说明：笔者在设计情境之前了解到学生在物理课上已经学过“位移”这样一个既有大小又有方向的向量，因而考虑在此基础上设计了以上情境引入新课. 通过三个问题，让学生顺理成章地发现蜘蛛的两种不同路径却是同样的位移，进而让学生思考用数学关系式来刻画这个结论，学生无意中已经引出了今天的课题.需要指出的是，笔者在前一节课《向量的概念及表示》中引入的也是这个情境. 若在条件允许的情况下，情境的使用具有一定的连续性是有利于学生理解教材，领会教师意图的.

问题4：你能总结如何作向量a与b的和吗？

问题5：对于两个尾首不相接的向量，我们怎么定义两个向量的和呢？（如图2）.

图2

学生：可以将向量a平移，使它的起点与向量b的终点重合，然后就和上面的一样了.

教师：能不能平移向量b呢？

学生：可以.

问题6：平移的过程中要注意什么？

学生：第二个向量的终点与第一个向量的起点重合.

教师：可以用四个字概括：首尾相接.你能说出完整的作法吗？

作法：（1）如图3，在平面内任取一点O;

（2）作=a，=b（多媒体动态演示平移的过程）;

（3）=a+b.

图3

两个向量和的定义：已知向量a，b，在平面内任取一点O，作=a，=b，则向量叫做向量a，b的和，记作：a+b，即a+b=+=.

向量的加法的定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法.

设计意图说明：在生成“向量的加法”概念的过程仍旧依托于之前用于引入的情境部分，让学生一脉相承，从情境中发觉到原来我们要学的概念就在其中. 两个向量和的定义其实就是给出向量加法的三角形法则. 这种生成概念的过程自然、流畅，让学生能深刻体会到生活中是可以提炼出数学的，也让整个课堂教学避免了杂乱无章，凸显出了主线.

依托情境  探究法则

新课程理念积极倡导自主、合作、探究的学习方式，然而笔者认为“探究”不等同于“放野马”，并非是撒手不管，教师依然是要完成教学目标的. 因而在引导探究的教学中，教师的预设就显得非常重要，要找到合适于学生的探究方法和路径，精心设计教学流程，要让学生有得探究、能够探究、能探究得下去. 笔者在设计向量加法法则的探究时，依然紧扣课堂伊始所设立的情境，准确抓住问题切入点，为学生铺设了合理的思维坡度和主线.

情境（二）：投影仪投放一只蜘蛛从O点到B点后旋转一圈的过程（如图4）.

问题7：蜘蛛从O点到B点运动所产生的位移是什么？

问题8：蜘蛛旋转所产生的位移是什么？

问题9：你能用向量的加法表示出蜘蛛两次运动的过程吗？

+0=.

情境（二）′：投影仪投放一只蜘蛛旋转一圈后从O点到B点的过程.

问题10：你能用向量的加法表示出蜘蛛两次运动的过程吗？

0+=.

问题11：你发现什么？

+0=0+=.

问题12：由此你能得到什么结论？

a+0=0+a=a.

情境（三）：投影仪投放一只蜘蛛从O点到C点后又回到O点的过程.

问题13：蜘蛛在这整个运动过程中所产生的位移是什么？

问题14：你能用向量的加法表示出蜘蛛运动的过程吗？

+=0.

问题15：与是什么关系？互为相反向量

问题16：由此你能得到什么结论？

（-a）+a=0;a+（-a）=0.

情境（四）：投影仪投放一只蜘蛛从O点到C点后再到B点的过程.

问题17：蜘蛛在这个运动过程中所产生的位移是什么？

问题18：你能用向量的加法表示出蜘蛛运动的过程吗？

+=.

情境（四）′：投影仪投放一只蜘蛛从O点到A点后再到B点的过程.

问题19：你能用向量的加法表示出蜘蛛运动的过程吗？

+=.

问题20：你发现什么？

？摇+=+.

问题21：与是什么关系？与呢？相等向量

问题22：由此你能得到什么结论？

a+b=b+a.

设计意图说明：以上的三个情境显而易见是从引入中延续下来的. 通过生动的情境，以三组问题串的形式让学生直观感受到向量加法的三个恒等式即a+0=0+a=a;a+（-a）=（-a）+a=0;a+b=b+a，在探究过程中也顺带着复习了相等向量、相反向量等知识点. 应该说这样的设计避免了学生对知识点的凭空想象，把知识融入情境中，合理地把握了学生的思维跨度，让学生真真切切地、顺理成章地感受到了这三个恒等式的存在性、合理性以及生活性. 在教学中笔者将学生要探究的内容巧妙地转化成环环相扣的问题，使学生的探究活动始终围绕着这些问题展开，从而较为顺利地完成探究任务，也有效地帮助学生树立了对探究学习的信心.

问题23：与a，b是什么关系？

a+b=

问题24：我们可以如何作a与b的和（如图5）？

图5

以OA，OC为邻边作平行四边形OABC，则以O为起点的对角线就是与的和.

教师：你能以此方法说出完整的a+b的作法吗？

学生：作法：（1）如图6，在平面内任取一点O;

（2）作=a，=b（多媒体动态演示平移的过程）;

（3）以OA，OB为邻边作平行四边形OACB;

（4）=a+b.

图6

教师：这种求和的方法称为平行四边形法则，在平移a，b的过程中要注意什么？

学生：让a的起点与b的起点重合.

教师：可概括为“共起点”.

设计意图说明：笔者在设计向量加法的平行四边形法则时是有一个整体构思的. 笔者并未采取大多数教师所考虑的在讲三角形法则时一并将平行四边形法则给出，这种设计不利于学生同时消化两个“法则”，笔者将平行四边形法则延后，转而承接上面的情境（四），利用在探究“a+b=b+a”时所呈现出的一个平行四边形并以此为平台挖掘出“平行四边形”法则，进而对法则加以完善，自然、清晰地生成了一个重要的知识点.

练习：（1）在图中先作a+b，再作（a+b）+c.

（2）在图中先作b+c，再作a+（b+c）.

图7

问题25：你能从作的图中得到什么结论？（a+b）+c=a+（b+c）.

教师：运算律：（1）交换律：a+b=b+a;（2）结合律：（a+b）+c=a+（b？摇+c）.

设计意图说明：在此处安插一个练习主要有两个方面的考虑：（1）依托简单的练习让学生能对前面学习的“法则”有一个实际操作的过程，通过运用体会法则;（2）在前面的情境设计中笔者让学生通过自主探究发现了向量加法其中的一个运算律——交换律，而设计这个练习则希望能实现让学生发现另一运算律即“结合律”的目的.

回归情境  运用新知

“为生活而教育”是陶行知先生的至理名言，告诫我们教育工作者要意识到生活是教育的中心. 高中数学教学理应要做到适应社会生活的需要，数学教学最终还是要以生活为落脚点，为生活所用. 要想把数学知识回归生活，让学生学以致用，就要求老师在教学过程中要创设出运用数学知识的条件，寻找数学模型与生活原型间的联系. 在新课程背景下，加强对现在高中学生应用能力和解决问题意识的培养已显得尤为重要.

例1 （投影投出）如图8，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：

（1）+;（2）+;（3）+.

图8

学生：+=.

教师：依据是什么？

学生：平行四边形法则. +=.

教师：对，是三角形法则的特殊情况. （3）呢？

学生：+=0.

教师：很好，本题主要考查三角形法则和平行四边形法则的理解和应用. 应用两个法则要记住：首尾相连;共起点.

设计意图说明：例1在设计时的背景仍然沿用了前面情境中涉及的“蜘蛛网”，在这个正六边形中利用所学新知解决一些向量加法的问题有利于让学生感受到知识的连贯性，同时由于学生对此图形已有接触，相对较为熟悉，也便于学生解决，增强学生应用新知的成就感，更重要的是此图形有利于学生感受后面的“结论”.

例2  （投影投出）在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h. 渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？

图9

教师：船头能不能按垂直于对岸的方向航行？

学生（齐答）：不能.

教师：应该怎样？

学生：考虑到水流，航向应北偏西（如图10）.

（师巡视，学生板演）

设计意图说明：设计这道应用题的目的是让学生意识到数学并非是束之高阁遥不可及的，相反数学是切实有用的，当学生发现在实际生活中果然有些问题需要依靠数学知识来解决并且数学知识还是解决这类问题的关键之所在，那么他对于学习数学是充满了自豪感和成就感的，而这种自豪感和成就感必然又会进一步地增强学生学习数学，应用数学的积极性.

梳理小结  双管齐下

好的课堂小结对一堂课能起到画龙点睛的作用，是针对课堂教学内容所做的概括性、系统性、延伸性的总结，其在教学中的作用是不容忽视的. 在传统教学中，教师包办代替式的总结时有发生，同时极易忽视对思维方法和数学思想的提炼，只注重对知识点的总结. 这种传统的课堂总结方式不利于学生暴露问题，不利于学生温故知新，也不利于学生提升思维，理应摒弃.

问题26：请同学们来谈一谈，这节课你学到些什么？

设计意图说明：课堂小结设计时主要有两个方面的考虑：第一，由学生自己来做课堂小结，根据学生的总结情况教师判断学生的知识漏洞，进而补充提醒，帮助学生完善知识网络. 第二，学生的课堂小结极大可能只注意到对知识点的梳理，笔者在设计时特别注意到从思想方法的角度总结课堂所学，并且笔者板书设计时也注意将“知识要点”与“思想方法”对应联系起来，这样的“双管齐下”能让学生更全面地认识课堂所学，提高数学素养，更好地学习数学.