一叶而知秋，一题一世界

桂再安

“一叶而知秋，一题一世界.”

俗语说：“一叶而知秋”，这句话给我们提供了一种研究问题的思路，体现了微观和宏观之间的一种共通和互融的关系，是一种通过现象看问题本质的途径. 就我们数学教师而言，提高大家的解题能力是我们共同的目的，而实际上往往事与愿违，我们让题海包围，而同学们却让题海淹没，学习效率没有得到更大的改善和提高. 笔者认为，只有深入研究问题求解中的各种可能性和问题所呈现出的有利于学习的隐性资源，通过一题多解调动我们头脑中沉睡的知识链接，改善我们固化的思维习惯，让大家乐于思考，勇于探索，进而改善并提高大家学习的内驱动力，这才是我们所追求和倡导的. 下面以一道高考数学题为例进行说明和论述，该题如下：

设e1，e2为单位向量，非零向量b=xe1+ye2，x，y∈R，若e1，e2的夹角为 ，则 的最大值等于_________.

追本溯源，感知命题背景

该题考查了对平面向量的基本概念的综合运用，其“源”题来自于必修4平面向量一章的课本习题第4题（第102页），这道课本习题的条件和高考题非常相似，高考题就是以这道课本题为原型进行改编的. 题目文字虽然不多，却涵盖了单位向量、平面向量的基本定理、夹角、向量的模等反映向量特点的概念和定理，在一定程度上做到了知识点的有效覆盖. 该题已知条件平易近人，最值问题求解，体现了静中有动、动中有静的特点，题目简约而不简单，给考生在知识运用上留有足够的回旋余地.

一题多解，探析解题思路

解法1 由已知，b2=b2=（xe1+ye2）2=x2+y2+ xy，所以可得 = = = （令 =t∈R），则有 = = ≤2，所以 的最大值为2.

该解法从函数入手，通过相关运算得到一个二元函数，然后换元转换为一元函数求解最值，从这个角度而言，尽管是考查平面向量的有关内容，却没有放弃对主干知识函数的考查.

解法2 b2=x2+y2+ xy（ ）.

设 =t，则x=tb，代入（ ）式得y2+ tby+t2b2-b2=0.

上式可看做关于y的一元二次方程，方程有解，

所以Δ=（ tb）2-4（t2-1）·b2≥0，所以3t2b2-4（t2-1）b2≥0. 因为b≠0，所以t2≤4. 因为t≥0，所以0≤t≤2.

该解法运用了函数到方程的转换，利用判别式求得最值，体现了方程思想.

解法3  b2=b2=（xe1+ye2）2=x2+y2+ xy 1=  +  + ·  .

令 =m， =n，则上式可化为1=m2+n2+ mn 1= m2+ m+n ，利用三角换元 m=cosα， m+n=sinα，所以m的最大值为2.

该解法通过换元转化，利用三角函数的特性求出最值.

解法4 结合平面向量的基本定理可以从形的角度解决该问题（如图1）.

图1

利用平行四边形法则，考虑到x，y的符号，向量b可以是图中向量 ， ， ， 的某一个，其中 = =y， = =x，∠BOC=30°. 根据正弦定理，结合两个三角形观察（△OCG，△OCF）， = = ，所以 =2sinθ≤2.

解法5  不妨设x≠0，由b=xe1+ye2，x，y∈R可得： =e1+ e2，所以 =e1+ e2  ∈R，结合平行四边形法则（如图2）得 min= （垂直时），所以 的最大值为2.

图2

解法4和解法5利用数形结合，直观而简洁.

解法6 利用坐标化的思想，不妨将原题进一步特殊化，若e1，e2的夹角为 ，则向量b的坐标可以设为（y，x），则 =sinα，最大值转化为三角函数的最值问题，所以通过建立坐标系问题应该能得以解决（如图3）. 可得坐标A ， ，B（1，0），则向量b的坐标为 x+y， x. 若b的起点为原点O，设b与x轴正向所成角为α，则sinα= ，所以 =2sinα≤2.

从以上6种解法来看，该题在解答过程中呈现出了比较丰富的知识背景，就这一点而言，体现了高考的命题取向，使得考生在解答过程中有较大的选择余地，能够更好地反映同学们知识的掌握程度. 就数学学习而言，“解题方法的多样性，大大增强了同学们基础知识的运用能力，使得我们在有限的时间内仅仅通过一题就可以感受到整个高中数学的总体脉络，是对已有知识的一个凝聚和整合的过程，这样必将提高我们的学习效率，就好像从一滴海水可以看到整个海洋的秘密，从一道题感受到整个数学体系的魅力，可谓是“一题一世界”. 如果将该题的条件进一步一般化，可以给出更为一般性的结论，如下：

设e1，e2为两个不共线的非零向量，e1=a，e2=b，非零向量c=xe1+ye2，x，y∈R，若e1，e2的夹角为θ（θ∈（0，π）），则 的最大值等于 . （同学们可以利用以上的某种方法推导一下）

类题求解，感受共性特征

例1  设△ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0B= AB，且对于边AB上任意一点P，恒有 · ≥ · ，则（  ）

A. ∠ABC=90°

B. ∠BAC=90°

C. AB=AC

D. AC=BC

解：条件 · ≥ ·  { · }min= · ，以AB的中点O建立直角坐标系（如图4）.

设A（-b，0），B（b，0），C（s，t），P  ，0. 因为P为AB上任意一点，所以设P（x，0）， =（b-x，0）， =（s-x，t），則 · =x2-（b+s）x+bs.  · 取得最小值时，x= = ，所以s=0，可以得出AC=BC，故选D.

例2 已知a，b为单位向量，a·b=0，若向量c满足c-a-b=1，则c的取值范围是________.

图5

解：数形结合（如图5），C的轨迹是半径为1的一个圆，所以通过图形观察得出c的取值范围为[ -1， +1].

从以上两个类题和前面提及的各种解法和分析可以看出，平面向量的问题求解往往能够呈现出多样的解题方法，体现了四个方面的思想：函数思想、方程思想、数形结合思想、坐标化的思想. 因此，注重思想领会，淡化解题技巧，体现问题实质，深度挖掘习题背后的资源，增加必要的解题经验和反思能力才是我们平时学习中应当贯彻和执行的.