巧学一次函数

张坤山

摘 要：一次函数的概念、图像、性质、应用以及与其它数学知识的联系。

关键词：一次函数 概念 应用

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）04（a）-0086-01

函数是一种数学思想，也是一种双向方法，比较抽象。想学好一种函数，要从定义、图像、性质、应用和其他数学知识的联系五个方面学习。结合教与学，对一次函数做如下总结。

1 概念

形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数。kx+b是关于自变量x的一次式，故叫一次函数。象y=2x-1，y=-0.3x+5，y=100x等都是一次函数，而y=2x2-3x，y=1/x等都不是一次函数。另外一次项系数k不能为零，而常数b可以为零。

2 图像

（1）图像：一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是经过（0，b）、（-b/k，0）的一条直线。它与y轴交于（0，b），与x轴交于（-b/k，0），因此，一次函数y=kx+b（k≠0）也叫做直线y=kx+b（k≠0）。另外，结合实际问题，一次函数的图像也可能是一条射线、一条线段或是一些点，这是由函数的定义域决定的。

（2）系数与图像位置的关系（见表1）。

3 性质

（1）当k>0时，y随x的增大而增大，简称增函数，直线在坐标系中是左低右高。例如，直线上两点p1（x1，y1）、p2（x2，y2），当x1>x2时，y1>y2。

（2）当k<0时，y随x的增大而减小，简称减函数，直线在坐标系中是左高右低。例如，直线上两点p1（x1，y1）、p2（x2，y2），当x1>x2时，y1

4 一次函数与其它知识的联系

（1）与一元一次方程的关系。

求关于x的方程ax+b=0的解和当x为何值时，一次函数y=kx+b（k≠0）的值为零是同一个问题。①从数的角度看，函數值y为零时的自变量x的值就是方程ax+b=0的解；②从形的角度看，直线y=kx+b（k≠0）与x轴的交点横坐标就是方程ax+b=0的解。

（2）与一元一次不等式的关系。

解关于x的不等式ax+b>0（ax+b<0）和当x为何值时，函数y=kx+b（k≠0）的函数值y>0（或y<0）是同一个问题。①从数的角度看，函数值y>0（或y<0）对应的自变量的取值范围就是不等式ax+b>0（ax+b<0）的解集；②从形的角度看，直线y=kx+b（k≠0）在x轴上方（或下方）的部分所对应的自变量的取值就是不等式ax+b>0（ax+b<0）的解集。

（3）与二元一次方程（组）的关系。

一个二元一次方程就是一个一次函数；一个一次函数就是就是一个二元一次方程，二者本质是相同的。方程y-ax=b的每一个解对应的点在直线y=kx+b（k≠0）上，而直线y=kx+b（k≠0）上的每一个点的坐标都是方程y-ax=b的解。①从数的角度看，两个一次函数的值相等时的x、y的值就是对应的方程组的解；②从形的角度看，两条直线的交点的坐标就是对应方程组的解。

5 一次函数的应用

（1）建立一次函数模型，解决象课题学习中节约费用、调配方案、方案选择等问题。象这次月考中的24小题，A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）。一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离之和最小，如果有请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，并求出它的坐标。要解决这个问题，先要根据轴对称作出点A（或点B）关于x轴的对称点A′，并求出坐标，根据两点式求出直线A′B的解析式，最后求出直线A′B与x轴的交点坐标即可。

参考文献

[1] 刘增利，主编.倍速学习法：8年级数学（上）（人教版）[Z].

[2] 薛金星，主编.金星教育系列丛书·中学教材全解：8年级数学（下）（配套人民教育出版社教科书）[Z].