数学有效复习“四步曲”

郑小青

“找准切入点、把握关键点、选好着力点、重视延伸点”是小学数学实施有效复习的“四步曲”。下面结合“立体图形的体积复习”，谈谈进行有效复习的一些实践与思考。

一步曲：创设情境，激趣导入——找准有效复习的切入点

学生学习兴趣是否被激发起来，直接影响复习课的学习效果。因此，教师在复习课始阶段要根据所复习的教学内容，找准有效复习的切入点，创设能激起学生学习兴趣的情境，激起学生搜索回忆知识、解决问题的欲望，让学生积极参与到复习课中。

[案例描述一]

师：同学们，大屏幕上的金鱼漂亮吗？

生齐：漂亮？

师：假如我想知道这条金鱼的体积，你有什么办法？

生4：老师，我明白了，这里的“等积变形”就是把金鱼的体积转化成形状不同、体积相等的上升水柱的体积。

[分析]上述教学片段中，有三点值得提倡：一是教学情境的创设体现了“短、平、快”的特点。教师一句“假如我想知道这条金鱼的体积，你有什么办法？”，情境的创设可谓直奔主题，迅速把学生引导到“体积”这个有价值的数学信息上来，在最短的时间内拉近了情境与数学教学的距离。二是沟通复习知识与现实生活的联系，找准了有效复习的切入点。通过“想知道金鱼的体积”这个情境的创设，将所复习的数学知识与现实生活相结合，使教学一开始就紧紧围绕“等积变形”这一数学思想展开。三是激发了学生的学习兴趣，启迪学生的数学思维。由于金鱼的体积是学生迫切想知道的，所以他们投入讨论特别激烈和热闹，真是“一石激起千层浪”啊！

二步曲：自主梳理，建构网络——把握有效复习的关键点

建构主义认为，学习过程是学习者自我认知结构的组织和重新组织的过程。复习是使学生进一步理解、掌握、巩固和运用所学知识的系统化过程，其目的是巩固、梳理已学的知识，引导学生把各知识点分类整理，形成知识的网络，构建完整的知识体系，熟练掌握基础知识和基本技能，起到“查漏补缺”的效果，从而进一步发展学生的综合能力。“自主梳理与建构网络”是学生形成知识网络的的重要环节，也是把握有效复习的关键点。

[案例描述二]

1.自主回顾知识网络。

师：小学里我们学过哪些立体图形？

生：长方体、正方体、圆柱、圆锥。（贴出相应的立体图形）

师：通过刚才的学习，你有什么想法？

生1：这些立体图形的体积最初都是由基本图形转化而来的……

生2：这些立体图形的体积都可以借助“底面积×高”来计算……

[分析]上述教学片段中，学生通过三个层次的学习经历了自主梳理、自主建构知识网络的过程。1.让学生自己说出立体图形体积计算公式。学生通过思维再现、记忆提炼，有了初步的记忆表象，这是整理知识的重要基础。2.先让学生自主整理，再让每个学生在小组里交流自己的整理思路，在相互补充过程中逐步完善，最后让各小组派代表全班交流。学生通过交流、质疑、争论、讨论，激起智慧的碰撞、情感的共鸣，使知识本质更加清晰，记忆更加深刻。3.整理出简洁清晰、一目了然的关系图。学生最终形成的知识系统，是群体智慧的结晶。当学生的整理结果能揭示知识间的联系，形成较为完整的知识系统，完全可以通过比较、评价，选出最优方案，用学生“作品”构建知识网络。当学生“作品”还不能满足“形成完整知识系统”这一目标时，教师应引导学生对小组整理结果进行观察、比较、建立纵向与横向联系，不断补充与完善，形成完整知识系统。“知识让学生梳理、规律让学生寻找、网络让学生建构”真正把握住了有效复习的关键点。

三步曲：分层练习，突出重点——选好有效复习的着力点

复习课的功能不但要帮助学生建立起完整的知识网络，更应提高学生解决实际问题能力，因而，巩固练习应突出练习的综合性、灵活性和发展性。通过一定的练习，使学生进一步深化知识网络。由于复习的内容较多，一节课的复习中不能面面俱到，而应点到为止，更要突出重点，练习要练在教学的重点、学生的难点处。如“立体图形的体积复习”的巩固阶段，把练习的重点定位在“柱体”的体积计算和利用“等积变形”解决一些现实中的生活问题。

[案例描述三]

1.“柱体体积”的巧算。

（1）为什么长方体、正方体、圆柱的体积都可以用“底面积×高”来计算？

（2）下面的图形是不是柱体？

生：根据“等积变形”，橡皮泥体积不变，圆锥和圆柱的高又相等，那么圆锥的底面积只有变大到圆柱的3倍，12×3=36（平方厘米）。（课件展示学生思路）

（3）脑筋急转弯：将一个底面是15.7平方厘米，高10厘米的圆柱形钢材锻造成一个与它底面积相等的圆锥，圆锥的高是多少分米？

（4）一个圆柱与一个圆锥等底等高，已知圆柱的体积比圆锥的体积大36立方厘米，那么圆锥的体积是（ ）立方厘米，圆柱的体积是（ ）立方厘米。

（5）把一段圆柱形的木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是50立方分米，这段木料的体积是（ ）立方分米。

四步曲：综合应用，拓展提升——重视有效复习的延伸点

复习课可以延伸、拓宽，应“下要保底，上不封顶”，让不同层次的学生都有不同程度的提高。如“立体图形的体积复习”的课尾阶段，借助“等积变形”的数学思想，解决一些现实中的更难的生活问题。

[案例描述四]

1.你知道金鱼的体积是多少吗？

（1）把一条金鱼完全浸没在一个底面直径是20厘米，水深12厘米的圆柱形容器中，水没有溢出，且量得水面上升了2厘米。这条金鱼的体积是多少立方厘米？

（2）把另一条金鱼也完全浸没在一个长为20厘米，宽为12厘米，高为15厘米的长方体容器中，水没有溢出，且量得水面上升了2厘米。这条金鱼的体积是多少立方厘米？

2.你知道酒瓶的容积是多少吗？

一个酒瓶里面深30厘米，底面直径是8厘米，瓶里有酒深10厘米，把酒瓶塞紧后倒置（瓶口向下），这时酒深20厘米，你能算出酒瓶的容积是多少毫升来吗？

3.你知道路能铺多长吗？

一个圆锥形的沙堆，底面积是15平方米，高1.2米。用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多长？

[分析]上述教学中，“你知道金鱼的体积是多少吗？”无论是用圆柱体的容器，还是长方体的容器，都是通过“等积变形”把金鱼的体积转化为上升水柱（实为圆柱体或长方体形状的柱体）的体积；“你知道酒瓶的容积是多少吗？”事实上是通过“等积变形”把不规则的酒瓶转化成底面直径是8厘米，高为30—20+10=20（厘米）的圆柱的体积；而“你知道路能铺多长吗？”实际上是把圆锥形的沙堆通过“等积变形”转化成体积相等的长方体的体积，通过“长方体的高（铺多厚）=长方体的体积（圆锥形沙堆的体积）÷长方体的底面积”，求出能铺多长的路。这些都需要学生有一定的思维能力和综合解题能力，但由于学生真正理解了“等积变形”，难题也变得简单了。因此，复习课的拓展提升，就应该在培养学生思维的灵活性和创造性多下功夫，切实培养学生解决实际生活问题的能力。

总之，小学数学复习课要真正上好、上出实效并不容易，需要教师在实践中摸索，充分相信学生的潜能，在课堂教学中努力做到“知识让学生疏理、规律让学生寻找、网络让学生建构、对错让学生判断、成功让学生体验”，只有这样才能真正达到“抓住双基串成线、沟通联系连成片、温故知新补缺漏、融会贯通更熟练、综合能力大发展”的复习目标。endprint

“找准切入点、把握关键点、选好着力点、重视延伸点”是小学数学实施有效复习的“四步曲”。下面结合“立体图形的体积复习”，谈谈进行有效复习的一些实践与思考。

一步曲：创设情境，激趣导入——找准有效复习的切入点

学生学习兴趣是否被激发起来，直接影响复习课的学习效果。因此，教师在复习课始阶段要根据所复习的教学内容，找准有效复习的切入点，创设能激起学生学习兴趣的情境，激起学生搜索回忆知识、解决问题的欲望，让学生积极参与到复习课中。

[案例描述一]

师：同学们，大屏幕上的金鱼漂亮吗？

生齐：漂亮？

师：假如我想知道这条金鱼的体积，你有什么办法？

生4：老师，我明白了，这里的“等积变形”就是把金鱼的体积转化成形状不同、体积相等的上升水柱的体积。

[分析]上述教学片段中，有三点值得提倡：一是教学情境的创设体现了“短、平、快”的特点。教师一句“假如我想知道这条金鱼的体积，你有什么办法？”，情境的创设可谓直奔主题，迅速把学生引导到“体积”这个有价值的数学信息上来，在最短的时间内拉近了情境与数学教学的距离。二是沟通复习知识与现实生活的联系，找准了有效复习的切入点。通过“想知道金鱼的体积”这个情境的创设，将所复习的数学知识与现实生活相结合，使教学一开始就紧紧围绕“等积变形”这一数学思想展开。三是激发了学生的学习兴趣，启迪学生的数学思维。由于金鱼的体积是学生迫切想知道的，所以他们投入讨论特别激烈和热闹，真是“一石激起千层浪”啊！

二步曲：自主梳理，建构网络——把握有效复习的关键点

建构主义认为，学习过程是学习者自我认知结构的组织和重新组织的过程。复习是使学生进一步理解、掌握、巩固和运用所学知识的系统化过程，其目的是巩固、梳理已学的知识，引导学生把各知识点分类整理，形成知识的网络，构建完整的知识体系，熟练掌握基础知识和基本技能，起到“查漏补缺”的效果，从而进一步发展学生的综合能力。“自主梳理与建构网络”是学生形成知识网络的的重要环节，也是把握有效复习的关键点。

[案例描述二]

1.自主回顾知识网络。

师：小学里我们学过哪些立体图形？

生：长方体、正方体、圆柱、圆锥。（贴出相应的立体图形）

师：通过刚才的学习，你有什么想法？

生1：这些立体图形的体积最初都是由基本图形转化而来的……

生2：这些立体图形的体积都可以借助“底面积×高”来计算……

[分析]上述教学片段中，学生通过三个层次的学习经历了自主梳理、自主建构知识网络的过程。1.让学生自己说出立体图形体积计算公式。学生通过思维再现、记忆提炼，有了初步的记忆表象，这是整理知识的重要基础。2.先让学生自主整理，再让每个学生在小组里交流自己的整理思路，在相互补充过程中逐步完善，最后让各小组派代表全班交流。学生通过交流、质疑、争论、讨论，激起智慧的碰撞、情感的共鸣，使知识本质更加清晰，记忆更加深刻。3.整理出简洁清晰、一目了然的关系图。学生最终形成的知识系统，是群体智慧的结晶。当学生的整理结果能揭示知识间的联系，形成较为完整的知识系统，完全可以通过比较、评价，选出最优方案，用学生“作品”构建知识网络。当学生“作品”还不能满足“形成完整知识系统”这一目标时，教师应引导学生对小组整理结果进行观察、比较、建立纵向与横向联系，不断补充与完善，形成完整知识系统。“知识让学生梳理、规律让学生寻找、网络让学生建构”真正把握住了有效复习的关键点。

三步曲：分层练习，突出重点——选好有效复习的着力点

复习课的功能不但要帮助学生建立起完整的知识网络，更应提高学生解决实际问题能力，因而，巩固练习应突出练习的综合性、灵活性和发展性。通过一定的练习，使学生进一步深化知识网络。由于复习的内容较多，一节课的复习中不能面面俱到，而应点到为止，更要突出重点，练习要练在教学的重点、学生的难点处。如“立体图形的体积复习”的巩固阶段，把练习的重点定位在“柱体”的体积计算和利用“等积变形”解决一些现实中的生活问题。

[案例描述三]

1.“柱体体积”的巧算。

（1）为什么长方体、正方体、圆柱的体积都可以用“底面积×高”来计算？

（2）下面的图形是不是柱体？

生：根据“等积变形”，橡皮泥体积不变，圆锥和圆柱的高又相等，那么圆锥的底面积只有变大到圆柱的3倍，12×3=36（平方厘米）。（课件展示学生思路）

（3）脑筋急转弯：将一个底面是15.7平方厘米，高10厘米的圆柱形钢材锻造成一个与它底面积相等的圆锥，圆锥的高是多少分米？

（4）一个圆柱与一个圆锥等底等高，已知圆柱的体积比圆锥的体积大36立方厘米，那么圆锥的体积是（ ）立方厘米，圆柱的体积是（ ）立方厘米。

（5）把一段圆柱形的木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是50立方分米，这段木料的体积是（ ）立方分米。

四步曲：综合应用，拓展提升——重视有效复习的延伸点

复习课可以延伸、拓宽，应“下要保底，上不封顶”，让不同层次的学生都有不同程度的提高。如“立体图形的体积复习”的课尾阶段，借助“等积变形”的数学思想，解决一些现实中的更难的生活问题。

[案例描述四]

1.你知道金鱼的体积是多少吗？

（1）把一条金鱼完全浸没在一个底面直径是20厘米，水深12厘米的圆柱形容器中，水没有溢出，且量得水面上升了2厘米。这条金鱼的体积是多少立方厘米？

（2）把另一条金鱼也完全浸没在一个长为20厘米，宽为12厘米，高为15厘米的长方体容器中，水没有溢出，且量得水面上升了2厘米。这条金鱼的体积是多少立方厘米？

2.你知道酒瓶的容积是多少吗？

一个酒瓶里面深30厘米，底面直径是8厘米，瓶里有酒深10厘米，把酒瓶塞紧后倒置（瓶口向下），这时酒深20厘米，你能算出酒瓶的容积是多少毫升来吗？

3.你知道路能铺多长吗？

一个圆锥形的沙堆，底面积是15平方米，高1.2米。用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多长？

[分析]上述教学中，“你知道金鱼的体积是多少吗？”无论是用圆柱体的容器，还是长方体的容器，都是通过“等积变形”把金鱼的体积转化为上升水柱（实为圆柱体或长方体形状的柱体）的体积；“你知道酒瓶的容积是多少吗？”事实上是通过“等积变形”把不规则的酒瓶转化成底面直径是8厘米，高为30—20+10=20（厘米）的圆柱的体积；而“你知道路能铺多长吗？”实际上是把圆锥形的沙堆通过“等积变形”转化成体积相等的长方体的体积，通过“长方体的高（铺多厚）=长方体的体积（圆锥形沙堆的体积）÷长方体的底面积”，求出能铺多长的路。这些都需要学生有一定的思维能力和综合解题能力，但由于学生真正理解了“等积变形”，难题也变得简单了。因此，复习课的拓展提升，就应该在培养学生思维的灵活性和创造性多下功夫，切实培养学生解决实际生活问题的能力。

总之，小学数学复习课要真正上好、上出实效并不容易，需要教师在实践中摸索，充分相信学生的潜能，在课堂教学中努力做到“知识让学生疏理、规律让学生寻找、网络让学生建构、对错让学生判断、成功让学生体验”，只有这样才能真正达到“抓住双基串成线、沟通联系连成片、温故知新补缺漏、融会贯通更熟练、综合能力大发展”的复习目标。endprint

“找准切入点、把握关键点、选好着力点、重视延伸点”是小学数学实施有效复习的“四步曲”。下面结合“立体图形的体积复习”，谈谈进行有效复习的一些实践与思考。

一步曲：创设情境，激趣导入——找准有效复习的切入点

学生学习兴趣是否被激发起来，直接影响复习课的学习效果。因此，教师在复习课始阶段要根据所复习的教学内容，找准有效复习的切入点，创设能激起学生学习兴趣的情境，激起学生搜索回忆知识、解决问题的欲望，让学生积极参与到复习课中。

[案例描述一]

师：同学们，大屏幕上的金鱼漂亮吗？

生齐：漂亮？

师：假如我想知道这条金鱼的体积，你有什么办法？

生4：老师，我明白了，这里的“等积变形”就是把金鱼的体积转化成形状不同、体积相等的上升水柱的体积。

[分析]上述教学片段中，有三点值得提倡：一是教学情境的创设体现了“短、平、快”的特点。教师一句“假如我想知道这条金鱼的体积，你有什么办法？”，情境的创设可谓直奔主题，迅速把学生引导到“体积”这个有价值的数学信息上来，在最短的时间内拉近了情境与数学教学的距离。二是沟通复习知识与现实生活的联系，找准了有效复习的切入点。通过“想知道金鱼的体积”这个情境的创设，将所复习的数学知识与现实生活相结合，使教学一开始就紧紧围绕“等积变形”这一数学思想展开。三是激发了学生的学习兴趣，启迪学生的数学思维。由于金鱼的体积是学生迫切想知道的，所以他们投入讨论特别激烈和热闹，真是“一石激起千层浪”啊！

二步曲：自主梳理，建构网络——把握有效复习的关键点

建构主义认为，学习过程是学习者自我认知结构的组织和重新组织的过程。复习是使学生进一步理解、掌握、巩固和运用所学知识的系统化过程，其目的是巩固、梳理已学的知识，引导学生把各知识点分类整理，形成知识的网络，构建完整的知识体系，熟练掌握基础知识和基本技能，起到“查漏补缺”的效果，从而进一步发展学生的综合能力。“自主梳理与建构网络”是学生形成知识网络的的重要环节，也是把握有效复习的关键点。

[案例描述二]

1.自主回顾知识网络。

师：小学里我们学过哪些立体图形？

生：长方体、正方体、圆柱、圆锥。（贴出相应的立体图形）

师：通过刚才的学习，你有什么想法？

生1：这些立体图形的体积最初都是由基本图形转化而来的……

生2：这些立体图形的体积都可以借助“底面积×高”来计算……

[分析]上述教学片段中，学生通过三个层次的学习经历了自主梳理、自主建构知识网络的过程。1.让学生自己说出立体图形体积计算公式。学生通过思维再现、记忆提炼，有了初步的记忆表象，这是整理知识的重要基础。2.先让学生自主整理，再让每个学生在小组里交流自己的整理思路，在相互补充过程中逐步完善，最后让各小组派代表全班交流。学生通过交流、质疑、争论、讨论，激起智慧的碰撞、情感的共鸣，使知识本质更加清晰，记忆更加深刻。3.整理出简洁清晰、一目了然的关系图。学生最终形成的知识系统，是群体智慧的结晶。当学生的整理结果能揭示知识间的联系，形成较为完整的知识系统，完全可以通过比较、评价，选出最优方案，用学生“作品”构建知识网络。当学生“作品”还不能满足“形成完整知识系统”这一目标时，教师应引导学生对小组整理结果进行观察、比较、建立纵向与横向联系，不断补充与完善，形成完整知识系统。“知识让学生梳理、规律让学生寻找、网络让学生建构”真正把握住了有效复习的关键点。

三步曲：分层练习，突出重点——选好有效复习的着力点

复习课的功能不但要帮助学生建立起完整的知识网络，更应提高学生解决实际问题能力，因而，巩固练习应突出练习的综合性、灵活性和发展性。通过一定的练习，使学生进一步深化知识网络。由于复习的内容较多，一节课的复习中不能面面俱到，而应点到为止，更要突出重点，练习要练在教学的重点、学生的难点处。如“立体图形的体积复习”的巩固阶段，把练习的重点定位在“柱体”的体积计算和利用“等积变形”解决一些现实中的生活问题。

[案例描述三]

1.“柱体体积”的巧算。

（1）为什么长方体、正方体、圆柱的体积都可以用“底面积×高”来计算？

（2）下面的图形是不是柱体？

生：根据“等积变形”，橡皮泥体积不变，圆锥和圆柱的高又相等，那么圆锥的底面积只有变大到圆柱的3倍，12×3=36（平方厘米）。（课件展示学生思路）

（3）脑筋急转弯：将一个底面是15.7平方厘米，高10厘米的圆柱形钢材锻造成一个与它底面积相等的圆锥，圆锥的高是多少分米？

（4）一个圆柱与一个圆锥等底等高，已知圆柱的体积比圆锥的体积大36立方厘米，那么圆锥的体积是（ ）立方厘米，圆柱的体积是（ ）立方厘米。

（5）把一段圆柱形的木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是50立方分米，这段木料的体积是（ ）立方分米。

四步曲：综合应用，拓展提升——重视有效复习的延伸点

复习课可以延伸、拓宽，应“下要保底，上不封顶”，让不同层次的学生都有不同程度的提高。如“立体图形的体积复习”的课尾阶段，借助“等积变形”的数学思想，解决一些现实中的更难的生活问题。

[案例描述四]

1.你知道金鱼的体积是多少吗？

（1）把一条金鱼完全浸没在一个底面直径是20厘米，水深12厘米的圆柱形容器中，水没有溢出，且量得水面上升了2厘米。这条金鱼的体积是多少立方厘米？

（2）把另一条金鱼也完全浸没在一个长为20厘米，宽为12厘米，高为15厘米的长方体容器中，水没有溢出，且量得水面上升了2厘米。这条金鱼的体积是多少立方厘米？

2.你知道酒瓶的容积是多少吗？

一个酒瓶里面深30厘米，底面直径是8厘米，瓶里有酒深10厘米，把酒瓶塞紧后倒置（瓶口向下），这时酒深20厘米，你能算出酒瓶的容积是多少毫升来吗？

3.你知道路能铺多长吗？

一个圆锥形的沙堆，底面积是15平方米，高1.2米。用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多长？

[分析]上述教学中，“你知道金鱼的体积是多少吗？”无论是用圆柱体的容器，还是长方体的容器，都是通过“等积变形”把金鱼的体积转化为上升水柱（实为圆柱体或长方体形状的柱体）的体积；“你知道酒瓶的容积是多少吗？”事实上是通过“等积变形”把不规则的酒瓶转化成底面直径是8厘米，高为30—20+10=20（厘米）的圆柱的体积；而“你知道路能铺多长吗？”实际上是把圆锥形的沙堆通过“等积变形”转化成体积相等的长方体的体积，通过“长方体的高（铺多厚）=长方体的体积（圆锥形沙堆的体积）÷长方体的底面积”，求出能铺多长的路。这些都需要学生有一定的思维能力和综合解题能力，但由于学生真正理解了“等积变形”，难题也变得简单了。因此，复习课的拓展提升，就应该在培养学生思维的灵活性和创造性多下功夫，切实培养学生解决实际生活问题的能力。

总之，小学数学复习课要真正上好、上出实效并不容易，需要教师在实践中摸索，充分相信学生的潜能，在课堂教学中努力做到“知识让学生疏理、规律让学生寻找、网络让学生建构、对错让学生判断、成功让学生体验”，只有这样才能真正达到“抓住双基串成线、沟通联系连成片、温故知新补缺漏、融会贯通更熟练、综合能力大发展”的复习目标。endprint