几何直观视角的教学演绎
2014-04-26李庆海
李庆海
《义务教育数学课程标准（2011版）》（以下简称《标准》）提出，在数学课程中，应当注重发展学生的“几何直观”，并具体解释为“几何直观是指利用图形描述和分析问题”。几何直观是数学中生动的、不断增长而且迷人的课题，在内容上、意义上和方法上远远超出了几何图形本身的意义。那么，教师如何挖掘教材资源，在基于几何直观视角下目标优化教学行为，培养学生的几何直观呢？
一、几何直观的理解
几何直观不是一蹴而就可以培养的，而是一个长期的复杂的过程，是一个由具体到抽象、由实物到图形的漫长过程。从直观形态来看，可以分为三个维度：
1.实物直观。即实物层面的几何直观，是指借助于研究对象有着一定关联的现实世界中的实际存在物，借助其与研究对象之间的关联，进行简捷、形象的思考，获得针对研究对象的深刻判断。
如教学“认识十几”一课时（如图1），教师可以借助蜡笔、本子、珠子等实物直观来认识13，分别用一盒蜡笔和3支蜡笔、一捆作业本和3个作业本、一串珠子和3颗珠子来表征13，这里的3支蜡笔、3个作业本、3颗珠子表示3个1，一盒蜡笔、一捆作业本、一串珠子相当于十，然后借助计数器，在个位上拨3颗珠子表示3个一，在十位上拨1颗珠子表示1个十，将计数器上的珠子与数关联。用一盒、一捆、一串物体帮助学生建立计数单位“十”的直观认识。
2.符号直观。即简约符号层面的几何直观，是在实物直观的基础上，进行一定程度的抽象，所形成的、半符号化的直观。
如教学“搭配的规律”时（如图2），教材创设了给木偶娃娃选配帽子的情境，学生在搭配过程中，为了表达与交流的方便，需要一个更直观的形式表示木偶
与帽子，可能会用三角表示帽子，梯形表示木偶，也可能会用其他的符号来代替，这种借助符号描述是符号化思想的渗透。用符号借助连线来表征搭配的方案，它就是符号直观。
3.图形直观。即以明确的几何图形为载体的几何直观。
如教学“认识钟表”一课，学生对经过的时间往往难以表达，教师教学时也较难处理。如这样一个问题：同学们去植树，上午9时出发，11时返回，经过多少时间？通常的做法是用11-9=2（小时）。而刚刚接触这个问题时，如何让学生在脑海里留下表征印象呢？我们可以将经过的时间用来表征（如图3）。
又如“8时开车出发，9时20分到达目的地，路上用了多少时间？”这个问题同样可以用时间尺表示出来。如图4用直条表示经过的时间，通过几何图形，将空间的维度变成长度的问题，学生就很容易理解了。
学生思维的形象性与数学逻辑的抽象性是小学数学教学中的主要矛盾之一，学生感叹数学难学难懂与此有关。而利用实物、符号、图形等确实可以描述与分析问题，使凝炼的数学含义直观化，纷繁的问题关系明晰化。
二、几何直观的教学实践
1.概念教学：化抽象为直观，发展表征概念的能力。
小学数学教学中，相当一部分数学知识是伴随着几何意义而存在的，“图形与几何”领域自不必说，“数与代数”、“统计与概率”中很多知识也蕴含着丰富的几何直观。在认数的过程中，可以将数与几何图形对应起来，对数的概念从几何直观的视角下进行阐述，有利于学生形成概念表象，促进对数学概念的理解和掌握。如教学“小数的意义”一课时，将小数置于数的系统之中，淡化“量”，突出“数”，引导学生用直观图形来表征小数概念，帮助学生获得清晰的小数概念的表象，逐步建构小数概念的视觉表征系统，形成准确感知现实世界的能力。
如“小数的意义”教学片段。
（1）图形表征，感悟计数单位。
师：如果这个小方块用来表示1（如图5，图片根据教学流程依次呈现），那么表示10会是多大呢？100呢？
师：那0.1该有多大呢？
请学生估计，并说出理由：把这个小方块平均分成10份，其中的1份就是0.1。
师：那么0.01会是多大呢？
师：如果1这么大，那么10就是这么大，100就是这么大，1000呢？如果1是这么大，0.1就是这么大，0.01呢？0.001呢？1里面有多少个0.01？几个0.1是1呢？几个1是10呢？你发现了什么？
教材中认识小数采用人民币元角分、长度单位千米、米、分米、厘米、毫米等具体的量的互化来感知，这些素材学生在小数的初步认识中已经接触，因此显得意义不大。而在上面的教学片段中，教师抛弃这些具体的量的素材，通过借用丰富的几何图形表征，巧妙地凸显了小数概念的本质。
2.计算教学：数形巧妙结合，提升探究运算律的能力。
在小学数学教学中，数形结合是一种非常重要的思想方法，它倡导通过数与形的相互转化，以“代数问题几何化”或“几何问题代数化”来促进数学理解。计算教学中运算律的掌握是学生运算能力的重要体现，如果能将运算律知识与图形内容结合起来，就能使知识点的学习环环相扣，形成网状的知识结构。因此，教师应充分运用数形结合的策略，引导学生依托鲜活的“行”去思考凝练的“数”。
“乘法分配律”的运用是教师公认的“老大难”问题，学生在应用时总会出现运算错误，主要形式有验算错误“（a+b）×c=a×c+b”和与乘法结合律的混淆。问题的主要原因在于教学中只是建立了运算概念的表象，使得学生在知识结构中没有纳入其本质，即对乘法分配律引入的表征感悟不够。有了这样的思考，教师在设计“乘法分配律”的教学时，从几何直观的视角下进行全新演绎：
（1）以形引数，以数表形。
借助直观图形一步一步提取基本模型，提取后再从数到形用直观加以表征，数与形也就结合起来共同纳入学生的认知系统。在数与形独立、对应的基础上，让两者承接内联、相互作用、相互影响，便于学生更深刻地理解知识，更全面地揭示知识的本质。
3.解决问题教学：注重画图策略指导，提高解决问题能力。
在几何直观广受关注的当下，解决问题教学应该重拾线段图、加强线段图教学的指导，让学生在解决问题的过程中，持续积累几何直观的操作经验，让“画图试试”成为一种思维习惯，从而培养学生的几何直观，提高解决问题的能力。
如“比的应用”的教学片段。
（1）画图描述题意。
（2）交流画法，学会画图。
问题：你们是怎样画图的？画图时要注意什么？
交流时明确：画图时，每一份要画得同样多。
（3）比较。
这些图形有什么相同的地方？从图上可以看出橘子是怎样分的？
（4）解决问题。
出示橘子一共有140个，求大班、小班各分得多少个橘子？
教师有意渗透几何直观意识，适当放缓脚步，将分析题意与画示意图相结合，精心指导画法，使学生产生一种遇到困难画画图试试的意识，从而提高了学生解决问题的能力。
总之，用“几何直观”的理念指导数学教学，不仅仅是帮助学生获得画图解题的方法，而是要让学生用几何图形形象地描述和分析问题，在画图的过程中有效经历自主解决问题的历程，帮助学生直观地理解数学，给学生的思维发展提供一条快捷的路径。
责任编辑：徐新亮
《义务教育数学课程标准（2011版）》（以下简称《标准》）提出，在数学课程中，应当注重发展学生的“几何直观”，并具体解释为“几何直观是指利用图形描述和分析问题”。几何直观是数学中生动的、不断增长而且迷人的课题，在内容上、意义上和方法上远远超出了几何图形本身的意义。那么，教师如何挖掘教材资源，在基于几何直观视角下目标优化教学行为，培养学生的几何直观呢？
一、几何直观的理解
几何直观不是一蹴而就可以培养的，而是一个长期的复杂的过程，是一个由具体到抽象、由实物到图形的漫长过程。从直观形态来看，可以分为三个维度：
1.实物直观。即实物层面的几何直观，是指借助于研究对象有着一定关联的现实世界中的实际存在物，借助其与研究对象之间的关联，进行简捷、形象的思考，获得针对研究对象的深刻判断。
如教学“认识十几”一课时（如图1），教师可以借助蜡笔、本子、珠子等实物直观来认识13，分别用一盒蜡笔和3支蜡笔、一捆作业本和3个作业本、一串珠子和3颗珠子来表征13，这里的3支蜡笔、3个作业本、3颗珠子表示3个1，一盒蜡笔、一捆作业本、一串珠子相当于十，然后借助计数器，在个位上拨3颗珠子表示3个一，在十位上拨1颗珠子表示1个十，将计数器上的珠子与数关联。用一盒、一捆、一串物体帮助学生建立计数单位“十”的直观认识。
2.符号直观。即简约符号层面的几何直观，是在实物直观的基础上，进行一定程度的抽象，所形成的、半符号化的直观。
如教学“搭配的规律”时（如图2），教材创设了给木偶娃娃选配帽子的情境，学生在搭配过程中，为了表达与交流的方便，需要一个更直观的形式表示木偶
与帽子，可能会用三角表示帽子，梯形表示木偶，也可能会用其他的符号来代替，这种借助符号描述是符号化思想的渗透。用符号借助连线来表征搭配的方案，它就是符号直观。
3.图形直观。即以明确的几何图形为载体的几何直观。
如教学“认识钟表”一课，学生对经过的时间往往难以表达，教师教学时也较难处理。如这样一个问题：同学们去植树，上午9时出发，11时返回，经过多少时间？通常的做法是用11-9=2（小时）。而刚刚接触这个问题时，如何让学生在脑海里留下表征印象呢？我们可以将经过的时间用来表征（如图3）。
又如“8时开车出发，9时20分到达目的地，路上用了多少时间？”这个问题同样可以用时间尺表示出来。如图4用直条表示经过的时间，通过几何图形，将空间的维度变成长度的问题，学生就很容易理解了。
学生思维的形象性与数学逻辑的抽象性是小学数学教学中的主要矛盾之一，学生感叹数学难学难懂与此有关。而利用实物、符号、图形等确实可以描述与分析问题，使凝炼的数学含义直观化，纷繁的问题关系明晰化。
二、几何直观的教学实践
1.概念教学：化抽象为直观，发展表征概念的能力。
小学数学教学中，相当一部分数学知识是伴随着几何意义而存在的，“图形与几何”领域自不必说，“数与代数”、“统计与概率”中很多知识也蕴含着丰富的几何直观。在认数的过程中，可以将数与几何图形对应起来，对数的概念从几何直观的视角下进行阐述，有利于学生形成概念表象，促进对数学概念的理解和掌握。如教学“小数的意义”一课时，将小数置于数的系统之中，淡化“量”，突出“数”，引导学生用直观图形来表征小数概念，帮助学生获得清晰的小数概念的表象，逐步建构小数概念的视觉表征系统，形成准确感知现实世界的能力。
如“小数的意义”教学片段。
（1）图形表征，感悟计数单位。
师：如果这个小方块用来表示1（如图5，图片根据教学流程依次呈现），那么表示10会是多大呢？100呢？
师：那0.1该有多大呢？
请学生估计，并说出理由：把这个小方块平均分成10份，其中的1份就是0.1。
师：那么0.01会是多大呢？
师：如果1这么大，那么10就是这么大，100就是这么大，1000呢？如果1是这么大，0.1就是这么大，0.01呢？0.001呢？1里面有多少个0.01？几个0.1是1呢？几个1是10呢？你发现了什么？
教材中认识小数采用人民币元角分、长度单位千米、米、分米、厘米、毫米等具体的量的互化来感知，这些素材学生在小数的初步认识中已经接触，因此显得意义不大。而在上面的教学片段中，教师抛弃这些具体的量的素材，通过借用丰富的几何图形表征，巧妙地凸显了小数概念的本质。
2.计算教学：数形巧妙结合，提升探究运算律的能力。
在小学数学教学中，数形结合是一种非常重要的思想方法，它倡导通过数与形的相互转化，以“代数问题几何化”或“几何问题代数化”来促进数学理解。计算教学中运算律的掌握是学生运算能力的重要体现，如果能将运算律知识与图形内容结合起来，就能使知识点的学习环环相扣，形成网状的知识结构。因此，教师应充分运用数形结合的策略，引导学生依托鲜活的“行”去思考凝练的“数”。
“乘法分配律”的运用是教师公认的“老大难”问题，学生在应用时总会出现运算错误，主要形式有验算错误“（a+b）×c=a×c+b”和与乘法结合律的混淆。问题的主要原因在于教学中只是建立了运算概念的表象，使得学生在知识结构中没有纳入其本质，即对乘法分配律引入的表征感悟不够。有了这样的思考，教师在设计“乘法分配律”的教学时，从几何直观的视角下进行全新演绎：
（1）以形引数，以数表形。
借助直观图形一步一步提取基本模型，提取后再从数到形用直观加以表征，数与形也就结合起来共同纳入学生的认知系统。在数与形独立、对应的基础上，让两者承接内联、相互作用、相互影响，便于学生更深刻地理解知识，更全面地揭示知识的本质。
3.解决问题教学：注重画图策略指导，提高解决问题能力。
在几何直观广受关注的当下，解决问题教学应该重拾线段图、加强线段图教学的指导，让学生在解决问题的过程中，持续积累几何直观的操作经验，让“画图试试”成为一种思维习惯，从而培养学生的几何直观，提高解决问题的能力。
如“比的应用”的教学片段。
（1）画图描述题意。
（2）交流画法，学会画图。
问题：你们是怎样画图的？画图时要注意什么？
交流时明确：画图时，每一份要画得同样多。
（3）比较。
这些图形有什么相同的地方？从图上可以看出橘子是怎样分的？
（4）解决问题。
出示橘子一共有140个，求大班、小班各分得多少个橘子？
教师有意渗透几何直观意识，适当放缓脚步，将分析题意与画示意图相结合，精心指导画法，使学生产生一种遇到困难画画图试试的意识，从而提高了学生解决问题的能力。
总之，用“几何直观”的理念指导数学教学，不仅仅是帮助学生获得画图解题的方法，而是要让学生用几何图形形象地描述和分析问题，在画图的过程中有效经历自主解决问题的历程，帮助学生直观地理解数学，给学生的思维发展提供一条快捷的路径。
责任编辑：徐新亮
《义务教育数学课程标准（2011版）》（以下简称《标准》）提出，在数学课程中，应当注重发展学生的“几何直观”，并具体解释为“几何直观是指利用图形描述和分析问题”。几何直观是数学中生动的、不断增长而且迷人的课题，在内容上、意义上和方法上远远超出了几何图形本身的意义。那么，教师如何挖掘教材资源，在基于几何直观视角下目标优化教学行为，培养学生的几何直观呢？
一、几何直观的理解
几何直观不是一蹴而就可以培养的，而是一个长期的复杂的过程，是一个由具体到抽象、由实物到图形的漫长过程。从直观形态来看，可以分为三个维度：
1.实物直观。即实物层面的几何直观，是指借助于研究对象有着一定关联的现实世界中的实际存在物，借助其与研究对象之间的关联，进行简捷、形象的思考，获得针对研究对象的深刻判断。
如教学“认识十几”一课时（如图1），教师可以借助蜡笔、本子、珠子等实物直观来认识13，分别用一盒蜡笔和3支蜡笔、一捆作业本和3个作业本、一串珠子和3颗珠子来表征13，这里的3支蜡笔、3个作业本、3颗珠子表示3个1，一盒蜡笔、一捆作业本、一串珠子相当于十，然后借助计数器，在个位上拨3颗珠子表示3个一，在十位上拨1颗珠子表示1个十，将计数器上的珠子与数关联。用一盒、一捆、一串物体帮助学生建立计数单位“十”的直观认识。
2.符号直观。即简约符号层面的几何直观，是在实物直观的基础上，进行一定程度的抽象，所形成的、半符号化的直观。
如教学“搭配的规律”时（如图2），教材创设了给木偶娃娃选配帽子的情境，学生在搭配过程中，为了表达与交流的方便，需要一个更直观的形式表示木偶
与帽子，可能会用三角表示帽子，梯形表示木偶，也可能会用其他的符号来代替，这种借助符号描述是符号化思想的渗透。用符号借助连线来表征搭配的方案，它就是符号直观。
3.图形直观。即以明确的几何图形为载体的几何直观。
如教学“认识钟表”一课，学生对经过的时间往往难以表达，教师教学时也较难处理。如这样一个问题：同学们去植树，上午9时出发，11时返回，经过多少时间？通常的做法是用11-9=2（小时）。而刚刚接触这个问题时，如何让学生在脑海里留下表征印象呢？我们可以将经过的时间用来表征（如图3）。
又如“8时开车出发，9时20分到达目的地，路上用了多少时间？”这个问题同样可以用时间尺表示出来。如图4用直条表示经过的时间，通过几何图形，将空间的维度变成长度的问题，学生就很容易理解了。
学生思维的形象性与数学逻辑的抽象性是小学数学教学中的主要矛盾之一，学生感叹数学难学难懂与此有关。而利用实物、符号、图形等确实可以描述与分析问题，使凝炼的数学含义直观化，纷繁的问题关系明晰化。
二、几何直观的教学实践
1.概念教学：化抽象为直观，发展表征概念的能力。
小学数学教学中，相当一部分数学知识是伴随着几何意义而存在的，“图形与几何”领域自不必说，“数与代数”、“统计与概率”中很多知识也蕴含着丰富的几何直观。在认数的过程中，可以将数与几何图形对应起来，对数的概念从几何直观的视角下进行阐述，有利于学生形成概念表象，促进对数学概念的理解和掌握。如教学“小数的意义”一课时，将小数置于数的系统之中，淡化“量”，突出“数”，引导学生用直观图形来表征小数概念，帮助学生获得清晰的小数概念的表象，逐步建构小数概念的视觉表征系统，形成准确感知现实世界的能力。
如“小数的意义”教学片段。
（1）图形表征，感悟计数单位。
师：如果这个小方块用来表示1（如图5，图片根据教学流程依次呈现），那么表示10会是多大呢？100呢？
师：那0.1该有多大呢？
请学生估计，并说出理由：把这个小方块平均分成10份，其中的1份就是0.1。
师：那么0.01会是多大呢？
师：如果1这么大，那么10就是这么大，100就是这么大，1000呢？如果1是这么大，0.1就是这么大，0.01呢？0.001呢？1里面有多少个0.01？几个0.1是1呢？几个1是10呢？你发现了什么？
教材中认识小数采用人民币元角分、长度单位千米、米、分米、厘米、毫米等具体的量的互化来感知，这些素材学生在小数的初步认识中已经接触，因此显得意义不大。而在上面的教学片段中，教师抛弃这些具体的量的素材，通过借用丰富的几何图形表征，巧妙地凸显了小数概念的本质。
2.计算教学：数形巧妙结合，提升探究运算律的能力。
在小学数学教学中，数形结合是一种非常重要的思想方法，它倡导通过数与形的相互转化，以“代数问题几何化”或“几何问题代数化”来促进数学理解。计算教学中运算律的掌握是学生运算能力的重要体现，如果能将运算律知识与图形内容结合起来，就能使知识点的学习环环相扣，形成网状的知识结构。因此，教师应充分运用数形结合的策略，引导学生依托鲜活的“行”去思考凝练的“数”。
“乘法分配律”的运用是教师公认的“老大难”问题，学生在应用时总会出现运算错误，主要形式有验算错误“（a+b）×c=a×c+b”和与乘法结合律的混淆。问题的主要原因在于教学中只是建立了运算概念的表象，使得学生在知识结构中没有纳入其本质，即对乘法分配律引入的表征感悟不够。有了这样的思考，教师在设计“乘法分配律”的教学时，从几何直观的视角下进行全新演绎：
（1）以形引数，以数表形。
借助直观图形一步一步提取基本模型，提取后再从数到形用直观加以表征，数与形也就结合起来共同纳入学生的认知系统。在数与形独立、对应的基础上，让两者承接内联、相互作用、相互影响，便于学生更深刻地理解知识，更全面地揭示知识的本质。
3.解决问题教学：注重画图策略指导，提高解决问题能力。
在几何直观广受关注的当下，解决问题教学应该重拾线段图、加强线段图教学的指导，让学生在解决问题的过程中，持续积累几何直观的操作经验，让“画图试试”成为一种思维习惯，从而培养学生的几何直观，提高解决问题的能力。
如“比的应用”的教学片段。
（1）画图描述题意。
（2）交流画法，学会画图。
问题：你们是怎样画图的？画图时要注意什么？
交流时明确：画图时，每一份要画得同样多。
（3）比较。
这些图形有什么相同的地方？从图上可以看出橘子是怎样分的？
（4）解决问题。
出示橘子一共有140个，求大班、小班各分得多少个橘子？
教师有意渗透几何直观意识，适当放缓脚步，将分析题意与画示意图相结合，精心指导画法，使学生产生一种遇到困难画画图试试的意识，从而提高了学生解决问题的能力。
总之，用“几何直观”的理念指导数学教学，不仅仅是帮助学生获得画图解题的方法，而是要让学生用几何图形形象地描述和分析问题，在画图的过程中有效经历自主解决问题的历程，帮助学生直观地理解数学，给学生的思维发展提供一条快捷的路径。
责任编辑：徐新亮
