三角函数主要内容与方法概述

2014-04-24孙士杰

新课程·中学 2014年1期

孙士杰

三角函数部分主要内容有：（1）角的概念与度量；（2）任意角三角函数的定义；（3）同角三角函数的基本关系式；（4）诱导公式；（5）和、差、倍、半角的三角函数公式；（6）三角函数的图象与性质；（7）已知三角函数值求角；（8）正弦定理、余弦定理及其应用（主要是解斜三角形）。

1.角的概念与度量：要从动静两个角度来认识角。用弧度制来度量角，使弧长公式、扇形面积公式等得到简化，也能加深对角的集合与实数集合间一一对应关系的理解。要掌握角度与弧度的

换算。

2.任意角三角函数的定义：把角放在直角坐标系中，用角终边上的一点来定义。角（即实数）为自变量，比值为函数值，六种三角函数中，正弦、余弦、正切函数最为重要，要掌握其符号规律。

3.同角三角函数的基本关系式：

（1）平方关系：sin2α+cos2α=1；

（2）商数关系： =tanα；

（3）倒数关系：tanα·cotα=1.

要学会用同角三角函数的基本关系式，已知角的一种三角函数值，求角的其他三角函数值。

4.诱导公式：由角的终边关系及三角函数定义得出

对k·360°+α，180°±α，-α，360°-α的诱导公式，可概括为：函数名不变，符号看象限；对 ±α， ±α的诱导公式，可概括为：函数名改变，符号看象限。

以上两种情况可以合在一起概括为：奇变偶不变，符号看象限。“奇”指奇数倍的诱导公式： ±α， ±α；“偶”指偶数倍的诱导公式：π±α，2π±α。

诱导公式也可由两角和与差的三角函数公式导出。由我们自己选择使用诱导公式时，我们通常选“名不变”的。要理解名不变，名改变的含义，知道符号看象限的符号指的是什么，怎么看。值得指出的是，诱导公式中的α是任意角。

各个象限的角可写成如下形式：

一象限：k·360°+α；

二象限：k·360°+180°-α（也可写成k·360°+90°+α）；

三象限：k·360°+180°+α（也可写成k·360°+270°-α）；

四象限：k·360°+360°-α（也可写成k·360°-α）。

其中α是锐角。

5.和差倍半公式：要熟练掌握公式，特别是要掌握公式的内在联系及推导线索，运用这些公式及同角三角函数的基本关系式进行三角函數式的化简，求值，证明。（和差是相对的，倍半是相对的，公式中的角是使各式有意义的角。）

三角函数中，独立的量少，关系多（这些是其重要特点之一），因而解题的途径较多，条条大路通罗马。要注意做到途径简捷，“不倒走”（犯循环的错误，算回来了）。要掌握基本方法，如，切化弦、化同名、化单角、化成Asin（？棕x+？渍）等。

6.三角函数的图象和性质：要能熟练画出：y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=Asin（？棕x+？渍）以及y=Acos（？棕x+？渍），y=Atan（？棕x+？渍）的图象，主要是五点作图，要会看、会用图象，掌握其结构特点，通过图象掌握性质（特别是周期性、对称性、单调性），再辅以复合函数解题。

三角函数还是函数，要注意函数思想在三角中的运用。对三角函数的周期要求会求y=Asin（？棕x+？渍）的周期（或余弦、正切）以及可化成上述函数的周期即可。

要掌握正余弦函数的平移、伸缩、对称变换，能根据图象确定其解析表达式。

7.已知三角函数值求角：

（1）知道反正弦、反余弦、反正切的含义及表示法：

x=arcsina？圳x∈- ，（-1≤a≤1）

sinx=a；x是- ，上的角，a是x的正弦值。

函数y=sinx，x∈- ，，x与y之间一一对应。反余弦，反正切请读者自己总结。

（2）能根据角的三角函数值求出角。

要会利用三角函数图象，三角函数的周期性，诱导公式（逆向使用）求出满足条件的角。以正弦为例，先在x∈- ，上求出使sinx=a的角（x是arcsina），然后，再利用三角函数的诱导公式和周期性求其他范围的角。

（3）会将asinx+bcosx化成 sin（x+？渍）的形式，并知道怎样确定？渍角（也可化成余弦形式）。

8.解斜三角形：

（1）要熟练掌握正弦定理、余弦定理并运用这两个定理解三角形；