几何画板在二次函数最值问题中的应用

钟俊浪

用几何画板可以动态地表现函数图像的变化过程，化抽象为形象.解决函数最值时我们用图像分析法能直观、容易地得出结论，但含参数的二次函数的最值问题，由于参数是可变的，用传统的静态图像有很多学生是比较难掌握的.利用几何画板进行数学动态教学，通过具体的感性的图像呈现，能给学生留下深刻的印象，使学生不是把数学作为单纯的知识去理解它，而是能够更有实感地去把握它.结合几何画板画出含参数的函数图像，结合图像的动态变化过程为学生创设数形结合的情境，体现数学的本质.从而更好地理解在哪里取最大值、哪里取最小值，帮助学生直观地发现、总结出自己的结论.下面以二次函数为例来说明几何画板动态教学的应用.

一、函数f（x）=x2-2x+2在区间[-1，3.2]上的最大值和最小值的动态演示

1.利用几何画板画出f（x）=x2-2x+2的图像，在x轴上绘制好A点（-1，0）和B点（3.2，0），即区间[-1，3.2].在线段AB上构造一个点C，度量出C点的横坐标，记为x，再计算出f（x），绘制好D（x，f（x））；选择C、D【构造】|【轨迹】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[-1，3.2]）的图像.

2.隐藏图像上不要的元素，使图像更加简洁.过D点作y轴的垂线段交y轴于E点.C点在线段AB上移动时，D点的纵坐标与E点的纵坐标一样.通过E点的值的变化可以清晰地反映函数f（x）=x2-2x+2在区间[-1，3.2]上的最大值和最小值.

3.选择点E【编辑】|【操作类按钮】|【动画】，制作好按钮.只要按就可以让F点在图像上运动起来，观察出何时取最大值和最小值，最后将E、F的标签改为x、f（x），如图1.

图1

二、函数f（x）=x2-2x+2在区间[t，t+2]上的最大值和最小值的动态演示

1.利用几何画板画出f（x）=x2-2x+2的图像，在x轴上绘制一点A，度量A的横坐标，记为t，计算t+2；绘制点B（t+2，0），构造线段AB，在线段AB取一点P，度量其横坐标，记为x，计算f（x），绘制点M（x，f（x））；选择P、M【构造】|【轨迹】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的图像.

2.隐藏图像上不要的元素，使图像更加简洁.作出函数图像的对称轴，过A、B两点作x轴的垂线段，作出线段PM，再过M作y轴的垂线段（虚线），最后将A、B、P、M的标签改为t，t+2，x，f（x），如图2.

图2

3.拖动点t让函数f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的图像动起来.观察函数在区间[t，t+2]的最大值和最小值，并从中总结出需要的结论.

4.当t≤-1时，函数的最大值为f（t），最小值为f（t+2）；当-11时，函数的最大值为f（t+2），最小值为f（t）.

三、函数f（x）=x2-2tx+2在区间[-1，1]上的最大值和最小值的动态演示

1.在x轴上构造一点A，过A点构造x轴的垂线，再在垂线上构造一点B，度量其纵坐标，记为t，并将B点标签改为t.

2.绘制函数f（x）=x2-2tx+2图像；绘制点C（-1，0）、D（1，0），构造线段CD，在线段CD上取一点E，度量其横坐标，记为x，计算f（x），绘制点F（x，f（x））；选择E、F【构造】|【轨迹】，得到f（x）=x2-2tx+2（x∈[-1，1]）的图像.

3.隐藏图像上不要的元素，使图像更加简洁.作出对称轴，并作出线段EF，再过F作y轴的垂线段（虚线）.将点E、F的标签改为x，f（x）.

4.拖动参数t，观察图像的变化，然后保持参数t不变，再拖动点x，观察其函数值的变化，得出函数f（x）=x2-2tx+2在区间[-1，1]上的最大值和最小值（图略）.

5.当t≤-1时，函数的最大值为f（1），最小值为f（-1）；当-11时，函数的最大值为f（-1），最小值为f（1）.

（责任编辑黄桂坚）