运用《几何画板》演示圆锥曲线的统一定义

徐家银

圆锥曲线的统一定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当01时是双曲线.

从以上定义可知，只要给出一个定点、一条定直线和离心率e的值，就可以确定相应的圆锥曲线.那么，怎么由一个定点、一条定直线和离心率e的值画出圆锥曲线并能方便地演示给学生看呢？利用《几何画板》这个工具就能很好地实现这个目的，现介绍如下.

打开几何画板5.03迷你增强版，点击编辑按钮→点参数选项→选择角度为弧度，精确度调为十万分之一；画一直线标签为“定直线（准线）”，在直线右方取一点F并标签为“定点（焦点）”.

取点A、B，标记B为中心，让点A关于B旋转180°得A′，构造线段AA′，在线段AA′上取点C；度量点C、A间的距离及点C、A′间的距离，计算|CA|与|CA′|的比值，标签为离心率e，左右滑动点C可以调节离心率e的大小，将点C的标签改为“左右滑动此点调节离心率”，隐藏点A、B、A′，隐藏距离|CA|与|CA′|的度量值，度量点F到直线l的距离并标签为p（抛物线的焦半径，对于椭圆和双曲线，它的值等于|a21c-c|）.

调节离心率小于1（将会画出椭圆），计算pe1|1-e2|并标签为a（椭圆和双曲线通用），计算a与e的积并标签为c（半焦距，椭圆和双曲线通用），计算a2-c2标签为b（椭圆专用）.

因为定点F在定直线l的右方，所以定点F和定直线l分别为椭圆的左焦点和左准线.将点F向右平移c个单位得一点标签为O，并将此点定义为原点建立坐标系，以点O为圆心作单位圆，在该圆上取点P，单位圆与x轴的交点标签为Z，度量∠ZOP的值，因为椭圆的参数方程为x=acosα

y=bsinα，所以，计算acos∠ZOP和bsin∠ZOP的值，分别以这两个值为横、纵坐标绘制点M，以点M、P构造轨迹便可以得到椭圆；生成点P的动画并设置按钮，标签为“椭圆动画”.隐藏坐标系等.

将离心率调节为1，使椭圆的画面消失.计算-|1-e|+p12并标签为“抛物线调节量”，设计这个调节量是本文的独到之处，目的是当调节离心率小于或大于1时抛物线不会出现.在定直线l任取一点G，度量点G的横坐标XG，计算“抛物线调节量”与XG的和，并以这个值为横坐标、0为纵坐标绘制一点H，过H作一直线与过点F且垂直于准线l的直线垂直，设垂足为N，将点N定义为原点建立新的坐标系.在准线l上任取一点J，度量点J的纵坐标yJ，计算y2j12p的值，以y2j12p的值为横坐标，yJ为纵坐标绘制点M，选择点M、J构造轨迹便可得到抛物线.生成点J的动画并设置按钮，标签该按钮为“抛物线动画”.度量点M、F间的距离及点M到准线l的距离，计算这两个距离的比值，该比值即为抛物线的离心率（值正好为1），按下“抛物线动画”按钮时，尽管点M、F间的距离及点M到准线l的距离在不断变化，但是它们始终相等，即离心率的值始终为1.隐藏坐标系、点G、J、H等.

调节离心率大于1（小于1时只出现椭圆，等于1时只出现抛物线）时抛物线消失，此时c>a，计算c2-a2的值记为b双，计算a21c的值，过点F作准线l的垂线，垂足为L，因为此时点F为双曲线的右焦点，所以要将点L向左平移a21c个单位得到点O，将O标记为原点建立新的坐标系，以O和K构造圆，在该圆上取一点P，度量∠KOP的值.因为双曲线的参数方程为x=asecα

y=btanα，所以，计算a1cos∠KOP、b双·tan∠KOP的值，分别以这两个值作为横坐标和纵坐标绘制点M，以点M、P构造轨迹便可得到双曲线.生成点P的动画，并设置按钮，标签为“双曲线动画”，度量MF及M到准线l的距离，计算它们的比值（等于离心率的值），隐藏以上过程中的坐标系和辅助点等.

至此，整个课件制作完成.演示时，拖动调节点调节离心率小于1时得到椭圆，按下动画按钮，让学生观察动点到定点和定直线的距离的比有何变化.调节离心率等于1时得到抛物线，调节离心率大于1时得到双曲线.通过以上的演示，加深学生对圆锥曲线统一定义的理解.

（责任编辑黄桂坚）