对上海试题中三类边界问题的探讨

楼可飞

边界问题，往往涉及函数的最值、参数的范围， 试题情景具有开放性，富有探究性，这类试题要求考生根据点的边界去寻找几何关系式，考查考生综合分析边界问题的能力.笔者看了近几年的上海高考试题，几乎每份试卷都涉及此类问题，尤其是一些选择题、填空题，短小精悍，个别题目如果老老实实做，不仅有一定难度、而且耗时耗力，也影响到考试的心情，需要考生从边界入手.

一、圆上、圆内、圆外

例1 （2008上海试题）如图1，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P（x，y）、P′（x′，y′）满足x≤x′且y≥y′，则称P优于P′，如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧 .

A.AB B.BC C.CD D.DA

分析 “不存在Ω中的其它点优于Q”即为“Q优于Ω中的任意点R”，xQ≤xR，

yQ≥yR，由xQ≤xR得点Q组成的集合是半圆ADC，由yQ≥xR得点Q组成的集合是半圆DAB，所以点Q组成的集合是劣弧DA，选择（D）.

探讨1 若“x≤x′且y≥y′”改为“x≥x′且y≤y′”，其它不变，则点Q组成的集合是劣弧AB.

图1 图2探讨2 若“x≤x′且y≥y′”改为“x≤x′且y≤y′”，其它不变，则点Q组成的集合是劣弧DC.

探讨3 若“x≤x′且y≥y′”改为“x≥x′且y≤y′”，其它不变，则点Q组成的集合是劣弧BC.

探讨4 若原题中“如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其它点优于Q”改为“如果Ω外的点Q满足：不存在Ω外的其它点优于Q”，其它不变，则所有这样的点Q组成的集合是如图2所示的阴影区域Ⅱ（正方形内、圆外，都含边界）.

二、椭圆上、椭圆内、椭圆外

给定椭圆x2a2+y2b2<1（a>b>0）及点P（x0，y0），则

（1）点P在椭圆上x20a2+y20b2=1；

（2）点P在椭圆内x20a2+y20b2<1；

（3）点P在椭圆外x20a2+y20b2>1.

例2 （2008年上海试题）某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆.已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上.现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 .

图3分析 如图4，设甲、乙导航灯分别在点A、B，它们在海平面上的投影分别为F1、F2.在△AF1P中，仰角∠F1PA=θ1，得|PF1|=h1cotθ1.同理在△BF2P中，仰角∠F2PB=θ2，得|PF2|=h2cotθ2.若点P在椭圆边界上，则由椭圆的第一定义得|PF1|+|PF2|=2a.

这时，我们联想到：若点P在椭圆边界外呢？|PF1|+|PF2|>2a. 若点P在椭圆边界内呢？|PF1|+|PF2|<2a.所以船只已进入该浅水区的判别条件是h1cotθ1+h2cosθ2≤2a.

探讨 “浅水区”改为“深水区”，其它不变，则判别条件是 .（h1cotθ1+h2cotθ2≥2a）

例3 （2012年上海试题）如图4，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD体积的最大值是 .

图4 图5

分析 AD=2c说明线段AD的长度是定值，可以先固定线段AD.如何理解“AB+BD=AC+CD=2a”？说明：点B到两定点A、D距离的和为定值2a，点C到两定点A、D距离的和为定值2a，联想到椭圆的定义，得动点B、C在以A、D为焦点的椭圆上，

不过动中有静：BC=2.其实，这里涉及的是空间问题，应理解为：动点B、C在以A、D为焦点的椭球上，如图5.

由于AD⊥BC，则BC应在与椭球中与轴AD垂直的圆周平面上，设此圆圆周平面AD与交于点O1，O1E⊥BC，垂足为E，则△BO1C的面积S△BO1C=12·BC·O1E=O1E.由AD⊥面BO1C得四面体ABCD的体积VABCD=13S△BO1C·AD=13O1E·2c，图6而O1E长度随着BC的位置变化而变化，当然BC=2.下求O1E的最大值.

在线段BC所在的圆面上，弦心距O1E=O1C2-1.下求圆面半径O1C的最大值.直观地可以看到，与轴AD垂直的圆面有无数个，在这些相互平行的圆面中，存在半径最大的圆面，即是椭球中过AD中点O1、且与轴AD垂直的圆面，这个最大圆面的半径O1C=CD2-O1D2=a2-c2，O1E最大=a2-c2-1，如图5，这时VABCD的最大值为2c3a2-c2-1.

探讨 在例4中，若把“AB+BD=AC+CD=2a”改为“AB-BD=AC-CD=2a”，其它不变，则四面体ABCD体积的最大值是 、最小值是 .

分析 联想到双曲线的定义，得动点B、C在以A、D为焦点的双叶旋转双曲面上，如图6.建立空间坐标系O-xyz，双曲线

z2a2-x2b2=1

y=0绕z轴旋转，得双叶旋转双曲面

z2a2-x2b2-y2b2=1.设BC所在的垂直于轴AD的圆面O1半径为R，BC=2m，则面积S△BOC1=R2-m2，体积VABCD=13S△BO1C·AD=

2c3·mR2-m2.

当m=1时，VABCD=2c3·mR2-1.而圆O1半径R无最大值、最小值，所以VABCD无最大值、最小值.

注 在图6中，椭圆

z2a2+x2b2=1

y=0绕z轴旋转，得椭球面z2a2+x2b2+y2b2=1，同理体积

VABCD=13S△BO1C·AD=2c3·mR2-m2.当m=1时，VABCD=

2c3R2-1.而圆O1半径R≤b，所以VABCD≤

2c3b2-1=2c3a2-c2-1.

边界问题，往往涉及函数的最值、参数的范围， 试题情景具有开放性，富有探究性，这类试题要求考生根据点的边界去寻找几何关系式，考查考生综合分析边界问题的能力.笔者看了近几年的上海高考试题，几乎每份试卷都涉及此类问题，尤其是一些选择题、填空题，短小精悍，个别题目如果老老实实做，不仅有一定难度、而且耗时耗力，也影响到考试的心情，需要考生从边界入手.

一、圆上、圆内、圆外

例1 （2008上海试题）如图1，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P（x，y）、P′（x′，y′）满足x≤x′且y≥y′，则称P优于P′，如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧 .

A.AB B.BC C.CD D.DA

分析 “不存在Ω中的其它点优于Q”即为“Q优于Ω中的任意点R”，xQ≤xR，

yQ≥yR，由xQ≤xR得点Q组成的集合是半圆ADC，由yQ≥xR得点Q组成的集合是半圆DAB，所以点Q组成的集合是劣弧DA，选择（D）.

探讨1 若“x≤x′且y≥y′”改为“x≥x′且y≤y′”，其它不变，则点Q组成的集合是劣弧AB.

图1 图2探讨2 若“x≤x′且y≥y′”改为“x≤x′且y≤y′”，其它不变，则点Q组成的集合是劣弧DC.

探讨3 若“x≤x′且y≥y′”改为“x≥x′且y≤y′”，其它不变，则点Q组成的集合是劣弧BC.

探讨4 若原题中“如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其它点优于Q”改为“如果Ω外的点Q满足：不存在Ω外的其它点优于Q”，其它不变，则所有这样的点Q组成的集合是如图2所示的阴影区域Ⅱ（正方形内、圆外，都含边界）.

二、椭圆上、椭圆内、椭圆外

给定椭圆x2a2+y2b2<1（a>b>0）及点P（x0，y0），则

（1）点P在椭圆上x20a2+y20b2=1；

（2）点P在椭圆内x20a2+y20b2<1；

（3）点P在椭圆外x20a2+y20b2>1.

例2 （2008年上海试题）某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆.已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上.现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 .

图3分析 如图4，设甲、乙导航灯分别在点A、B，它们在海平面上的投影分别为F1、F2.在△AF1P中，仰角∠F1PA=θ1，得|PF1|=h1cotθ1.同理在△BF2P中，仰角∠F2PB=θ2，得|PF2|=h2cotθ2.若点P在椭圆边界上，则由椭圆的第一定义得|PF1|+|PF2|=2a.

这时，我们联想到：若点P在椭圆边界外呢？|PF1|+|PF2|>2a. 若点P在椭圆边界内呢？|PF1|+|PF2|<2a.所以船只已进入该浅水区的判别条件是h1cotθ1+h2cosθ2≤2a.

探讨 “浅水区”改为“深水区”，其它不变，则判别条件是 .（h1cotθ1+h2cotθ2≥2a）

例3 （2012年上海试题）如图4，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD体积的最大值是 .

图4 图5

分析 AD=2c说明线段AD的长度是定值，可以先固定线段AD.如何理解“AB+BD=AC+CD=2a”？说明：点B到两定点A、D距离的和为定值2a，点C到两定点A、D距离的和为定值2a，联想到椭圆的定义，得动点B、C在以A、D为焦点的椭圆上，

不过动中有静：BC=2.其实，这里涉及的是空间问题，应理解为：动点B、C在以A、D为焦点的椭球上，如图5.

由于AD⊥BC，则BC应在与椭球中与轴AD垂直的圆周平面上，设此圆圆周平面AD与交于点O1，O1E⊥BC，垂足为E，则△BO1C的面积S△BO1C=12·BC·O1E=O1E.由AD⊥面BO1C得四面体ABCD的体积VABCD=13S△BO1C·AD=13O1E·2c，图6而O1E长度随着BC的位置变化而变化，当然BC=2.下求O1E的最大值.

在线段BC所在的圆面上，弦心距O1E=O1C2-1.下求圆面半径O1C的最大值.直观地可以看到，与轴AD垂直的圆面有无数个，在这些相互平行的圆面中，存在半径最大的圆面，即是椭球中过AD中点O1、且与轴AD垂直的圆面，这个最大圆面的半径O1C=CD2-O1D2=a2-c2，O1E最大=a2-c2-1，如图5，这时VABCD的最大值为2c3a2-c2-1.

探讨 在例4中，若把“AB+BD=AC+CD=2a”改为“AB-BD=AC-CD=2a”，其它不变，则四面体ABCD体积的最大值是 、最小值是 .

分析 联想到双曲线的定义，得动点B、C在以A、D为焦点的双叶旋转双曲面上，如图6.建立空间坐标系O-xyz，双曲线

z2a2-x2b2=1

y=0绕z轴旋转，得双叶旋转双曲面

z2a2-x2b2-y2b2=1.设BC所在的垂直于轴AD的圆面O1半径为R，BC=2m，则面积S△BOC1=R2-m2，体积VABCD=13S△BO1C·AD=

2c3·mR2-m2.

当m=1时，VABCD=2c3·mR2-1.而圆O1半径R无最大值、最小值，所以VABCD无最大值、最小值.

注 在图6中，椭圆

z2a2+x2b2=1

y=0绕z轴旋转，得椭球面z2a2+x2b2+y2b2=1，同理体积

VABCD=13S△BO1C·AD=2c3·mR2-m2.当m=1时，VABCD=

2c3R2-1.而圆O1半径R≤b，所以VABCD≤

2c3b2-1=2c3a2-c2-1.

边界问题，往往涉及函数的最值、参数的范围， 试题情景具有开放性，富有探究性，这类试题要求考生根据点的边界去寻找几何关系式，考查考生综合分析边界问题的能力.笔者看了近几年的上海高考试题，几乎每份试卷都涉及此类问题，尤其是一些选择题、填空题，短小精悍，个别题目如果老老实实做，不仅有一定难度、而且耗时耗力，也影响到考试的心情，需要考生从边界入手.

一、圆上、圆内、圆外

例1 （2008上海试题）如图1，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P（x，y）、P′（x′，y′）满足x≤x′且y≥y′，则称P优于P′，如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧 .

A.AB B.BC C.CD D.DA

分析 “不存在Ω中的其它点优于Q”即为“Q优于Ω中的任意点R”，xQ≤xR，

yQ≥yR，由xQ≤xR得点Q组成的集合是半圆ADC，由yQ≥xR得点Q组成的集合是半圆DAB，所以点Q组成的集合是劣弧DA，选择（D）.

探讨1 若“x≤x′且y≥y′”改为“x≥x′且y≤y′”，其它不变，则点Q组成的集合是劣弧AB.

图1 图2探讨2 若“x≤x′且y≥y′”改为“x≤x′且y≤y′”，其它不变，则点Q组成的集合是劣弧DC.

探讨3 若“x≤x′且y≥y′”改为“x≥x′且y≤y′”，其它不变，则点Q组成的集合是劣弧BC.

探讨4 若原题中“如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其它点优于Q”改为“如果Ω外的点Q满足：不存在Ω外的其它点优于Q”，其它不变，则所有这样的点Q组成的集合是如图2所示的阴影区域Ⅱ（正方形内、圆外，都含边界）.

二、椭圆上、椭圆内、椭圆外

给定椭圆x2a2+y2b2<1（a>b>0）及点P（x0，y0），则

（1）点P在椭圆上x20a2+y20b2=1；

（2）点P在椭圆内x20a2+y20b2<1；

（3）点P在椭圆外x20a2+y20b2>1.

例2 （2008年上海试题）某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆.已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上.现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 .

图3分析 如图4，设甲、乙导航灯分别在点A、B，它们在海平面上的投影分别为F1、F2.在△AF1P中，仰角∠F1PA=θ1，得|PF1|=h1cotθ1.同理在△BF2P中，仰角∠F2PB=θ2，得|PF2|=h2cotθ2.若点P在椭圆边界上，则由椭圆的第一定义得|PF1|+|PF2|=2a.

这时，我们联想到：若点P在椭圆边界外呢？|PF1|+|PF2|>2a. 若点P在椭圆边界内呢？|PF1|+|PF2|<2a.所以船只已进入该浅水区的判别条件是h1cotθ1+h2cosθ2≤2a.

探讨 “浅水区”改为“深水区”，其它不变，则判别条件是 .（h1cotθ1+h2cotθ2≥2a）

例3 （2012年上海试题）如图4，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD体积的最大值是 .

图4 图5

分析 AD=2c说明线段AD的长度是定值，可以先固定线段AD.如何理解“AB+BD=AC+CD=2a”？说明：点B到两定点A、D距离的和为定值2a，点C到两定点A、D距离的和为定值2a，联想到椭圆的定义，得动点B、C在以A、D为焦点的椭圆上，

不过动中有静：BC=2.其实，这里涉及的是空间问题，应理解为：动点B、C在以A、D为焦点的椭球上，如图5.

由于AD⊥BC，则BC应在与椭球中与轴AD垂直的圆周平面上，设此圆圆周平面AD与交于点O1，O1E⊥BC，垂足为E，则△BO1C的面积S△BO1C=12·BC·O1E=O1E.由AD⊥面BO1C得四面体ABCD的体积VABCD=13S△BO1C·AD=13O1E·2c，图6而O1E长度随着BC的位置变化而变化，当然BC=2.下求O1E的最大值.

在线段BC所在的圆面上，弦心距O1E=O1C2-1.下求圆面半径O1C的最大值.直观地可以看到，与轴AD垂直的圆面有无数个，在这些相互平行的圆面中，存在半径最大的圆面，即是椭球中过AD中点O1、且与轴AD垂直的圆面，这个最大圆面的半径O1C=CD2-O1D2=a2-c2，O1E最大=a2-c2-1，如图5，这时VABCD的最大值为2c3a2-c2-1.

探讨 在例4中，若把“AB+BD=AC+CD=2a”改为“AB-BD=AC-CD=2a”，其它不变，则四面体ABCD体积的最大值是 、最小值是 .

分析 联想到双曲线的定义，得动点B、C在以A、D为焦点的双叶旋转双曲面上，如图6.建立空间坐标系O-xyz，双曲线

z2a2-x2b2=1

y=0绕z轴旋转，得双叶旋转双曲面

z2a2-x2b2-y2b2=1.设BC所在的垂直于轴AD的圆面O1半径为R，BC=2m，则面积S△BOC1=R2-m2，体积VABCD=13S△BO1C·AD=

2c3·mR2-m2.

当m=1时，VABCD=2c3·mR2-1.而圆O1半径R无最大值、最小值，所以VABCD无最大值、最小值.

注 在图6中，椭圆

z2a2+x2b2=1

y=0绕z轴旋转，得椭球面z2a2+x2b2+y2b2=1，同理体积

VABCD=13S△BO1C·AD=2c3·mR2-m2.当m=1时，VABCD=

2c3R2-1.而圆O1半径R≤b，所以VABCD≤

2c3b2-1=2c3a2-c2-1.