变阶变正则化APA在回声抵消中的应用

冀常鹏 ，姬红红 ，郭伟平

JI Changpeng1，2,JI Honghong1,GUO Weiping1

1.辽宁工程技术大学 研究生院，辽宁 葫芦岛 125105

2.辽宁工程技术大学 电子与信息工程学院，辽宁 葫芦岛 125105

1.Institute of Graduate,Liaoning Technical University,Huludao,Liaoning 125105,China

2.School of Electronic and Information Engineering,Liaoning Technical University,Huludao,Liaoning 125105,China

1 引言

随着视频会议、语音通信技术和网络技术的发展以及人们生活水平的日益提高，对通信方式和通信质量的要求也在不断提高。仿射投影算法在无线信道均衡器、回声抵消、噪声消除和语音增强[1]等方面有着广泛的应用。由于通信环境的多样性、复杂性和自适应滤波器的特点，对所采用的仿射投影算法（APA）的性能要求也很高。

归一化最小均方误差（NLMS）仅仅根据当前的递归方程更新权重而APA是根据最新的K个递归值和观察值更新权值，所以APA可以看成是NLMS的规范化[2]。对于经典的APA，步长同时控制着算法的收敛速率和稳态误差。由文献[3-4]可知，为了满足收敛速度快和稳态误差小这对相互矛盾的要求，已根据不同的应用要求提出了许多变步长的改进方法。然而，在这些APA中秩亏矩阵需要求逆。为了避免秩亏矩阵求逆需要引入正则化因子，它为算法数据的稳定性提供了保证。文献[5]中，提出了变正则化的仿射投影算法。相对于传统的APA假设后验误差为0，文献[5]考虑了噪声的统计特性，为了减小自适应滤波器的真实值与估计值之间的误差，文中假设后验误差等于噪声方差。因此将噪声的统计特性考虑到自适应滤波器的设计中，利用瞬时估计推导出最佳的正则化因子。通过逐渐调整正则化因子可以改善收敛速度和稳态误差，正则化因子的应用使得APA对外界扰动和模型不确定性具有鲁棒性。文献[6]提出可变阶数的APA即E-APA，文中利用稳态误差的瞬时值，通过比较输出均方误差与阈值的大小来自动调整当前的阶数。E-APA不仅可以很可观地改善稳态误差和收敛速度之间相互矛盾的现状，而且由于输入矢量的数目减少故其整体计算量减小。另外在无法获得确切的噪声方差对噪声进行评估和抑制的情况下，E-APA也具有很强的鲁棒性。文献[7]的不定阶变步长仿射投影算法在调整投影阶数时，通过不断减小迭代步长的方式，改善了收敛速率和稳态失调性能，同时还能降低算法复杂度。由于阶数越大收敛越快复杂度也越大，步长越大收敛越快稳态误差也越大。

APA通过重复利用信号样值的方法，在输入数据相关性较高时有很快的收敛速度。然而，APA在迭代过程中计算复杂度较高，稳态失调性能也比NLMS算法要差。变阶数和变步长的相互调节难以达到最佳匹配状态，所以对算法性能改善程度不高。而对于单纯变步长算法的复杂度很高[8]。本文将从变阶和变正则化因子两方面出发推导出一种新的仿射投影算法，并验证其性能的优越性。

2 传统的APA模型

自适应滤波器的权系数为 w(n)=[w0(n)，w1(n)，…，wL-1(n)]T，n时刻的输入信号向量为 x(n)=[x(n)，x(n-1)，…，x(n-L+1)]T，期望响应信号为 d(n)=[d(n)，d(n-1)，…，d(n-K+1)]T，K为滤波器的投影阶数，L代表FIR系统的阶数 A(n)=[x(n)，x(n-1)，…，x(n-K+1)]T。 wopt是待估计的未知矩阵，设w(n)为n时刻对wopt的估计值，v(n)为噪声信号。则仿射投影算法的基本公式[5-7]如下：

经典的滤波器权系数的更新公式为：

其中I为K×K的单位矩阵。误差公式为：

(·)T为矩阵的转置。µ为步长因子，e(n)为信号误差，后文中也称为先验误差。δ为正则化因子，它不仅可以有效避免秩亏矩阵AT(n)A(n)的倒置，也对传统仿射投影算法的收敛速度和稳态误差的调节发挥着重要的作用。

3 算法的优化

一般传统算法的后验误差认为为零，即忽略噪声的存在。在此将噪声的统计特性考虑到自适应过程中。而且通过调节正则化因子来尽量减小稳态误差以增加收敛的稳定性[9]。通过调节投影阶数来加快算法的收敛速度、适时地减少计算的复杂度。虽然算法阶数越大，收敛速度越快，但此时稳态误差也越大，而通过变正则化因子和可变阶数的协同调节，使改进的算法具有较好的性能。

为了增加此算法的稳定性，减小稳态误差，用可变的δ(n)来修正正则化因子[5]，所以式（2）就可以表示为：

w(n)=w(n-1)+μA(n)(AT(n)A(n)+δ(n)I)-1e(n)（4）其中步长为1，设 S(n)=(AT(n)A(n)+δ(n)I)-1，所以 w(n)=w(n-1)+A(n)S(n)e(n)，设 e(n)为先验误差矢量，ε(n)为后验误差矢量，其表达式为ε(n)=d(n)-AT(n)w(n)。由式（4）可得先验误差和后验误差的关系为ε(n)=(I-AT(n)·A(n)S(n))e(n)。把e(n)代入ε(n)可得到后验误差的表达式为ε(n)=AT(n)(wopt-w(n))+v(n)。理想情况下后验误差应该为零，事实上，噪声信号是存在的，很明显只有wopt-w(n)=0，即wopt=w(n)才能使后验误差最小。因此有ε(n)=v(n)。对其求一阶范数的平方再求期望得E{||ε(n)||2}=E{||v(n)||2}。即

利用特征值的分布化简式（5），把格拉姆矩阵写成特征值分布的矩阵形式：

Λ(n)是由AT(n)A(n)的特征值组成的对角矩阵，U(n)是AT(n)A(n)的特征向量。所以

设一矩阵的第 k 个对角元素为(δ(n)/(λk(n)+ δ(n)))2，则该矩阵的对角矩阵为：

把式（6）～（8）代入式（5）可得后验误差与噪声的关系为：

上式的推导是建立在后验误差和噪声矢量相等的基础上的，它高度依赖于矩阵AT(n)A(n)的特征值分布。因此不可能利用这种方法来获取可变的正则化因子。但可以用一些简单易行的方法进行逼近。由于AT(n)A(n)的第k个对角元素是输入信号的二阶范数[5]，通过近似推理可以得到：

由式（11）可知，在自适应算法的开始阶段，先验误差e(n)的值很大，而此时起主要作用的是E{||e(n)||2}，所以E{||e(n)||2}的值也很大，使得δ(n)值很小，所以收敛速度很快。而在自适应进程中随着算法逐渐地趋于稳定E{||e(n)||2}的影响逐渐减小，而E{||v(n)||2}的改变量增大，所以此时δ(n)的值主要受 E{||v(n)||2}的影响，所以δ(n)不断增加，自适应滤波器的系数开始缓慢调节，收敛速度趋于稳定。

一般情况下，由于 ||e(n)||＞||v(n)||，所以 δ(n)≥0 。当算法开始收敛时，||v(n)||和||e(n)||之间的差距越来越小，δ(n)将会出现负值[10]。为了避免 δ(n)＜0 ，可取 δ(n)=δ(n-1)。且在实际计算中可用瞬时逼近的方法来计算和其中为矩阵的迹，α 是遗忘因子为一常数，取值为0.998，且有了变正则化因子的保证，稳态误差方面可以有所缓解，而快速的收敛速度是算法收敛性能恒久不变的追求，所以本文继续探讨收敛速度的问题。在仿射投影算法中，投影阶数越大，收敛速度越快，但稳态误差越大，计算复杂度越高。可变阶数的仿射投影算法根据稳态均方误差来调整当前阶数，不仅能有效解决收敛速度与稳态失调的矛盾[11]，还可以有效地降低算法的计算量。

采用文献[6]的方法求取其阶数Kn，式中ηn是第n次迭代过程中的误差上限，θn是第n次迭代过程中的误差下限。Kn的取值范围1≤Kn≤Kmax，Kmax为最大投影阶数，Kmax≤L。在算法计算过程中，ηn和θn的计算公式采用文献[6]中的表达式计算，即2)/(2-µ(n-1))。但是此算法要求步长始终为1，所以可得

由式（12）可以看出，在迭代的初始阶段系统误差很大，使得正则化因子较大，而且初始阶数较高，因此收敛速度较快；当滤波算法收敛后，阶数随着需要有所降低，失调量较小，误差降低算法较稳定。在迭代过程中本文算法的阶数与传统APA算法相比更具灵活性，使得在开始阶段计算量稍大但也低于传统APA，但在收敛后该算法的计算量将伴随着阶数的减少而大大降低。传统的仿射投影算法迭代一次的计算量是Ο(K2L)，本文的计算复杂度为Ο(K2L)，而且阶数是适时调整，所以改进的算法更有优越性。

4 仿真结果

图1所示为利用语音信号模拟的回声路径，其冲击响应阶数为64阶。

图1 模拟的回声路径

图2和图3分别显示的是AR（0.8）和ARMA（2，2）的收敛曲线，为方便仿真结果容易比较，均取SNR=25 dB，步长为1，α=0.998。由图2可知本文算法的收敛速度和稳态误差均优于文献[5-6]。而图3显示了本文算法具有较快的收敛速度，稳态误差比文献[6]的算法稍低但明显优于文献[5]。综合上述两种仿真可知本文算法的优越性，而且下面会继续讨论。

图2 AR（0.8）过程的三种算法收敛性曲线图

图3 ARMA（2，2）过程的三种算法收敛性曲线图

图4显示了文献[5-7]以及本文算法的收敛曲线。该实验是在实验室环境中进行的，其环境模拟的回声路径如图1所示。在文献[5]、[7]中 SNR=25 dB，α=0.998；在文献[6]中设初始阶数为30，步长为1。从收敛速度方面来看，在收敛曲线的初始阶段，通过调节投影阶数来加快算法的收敛速度，总体来说图中三种算法均表现了较快的收敛速度，但文献[5]的变正则化因子的APA收敛速度相比较而言较慢，本文提出的算法和文献[7]中算法的收敛速度相当，且比文献[6]的变阶数的APA略有优势但三者都比文献[5]中的算法收敛速度快；在收敛的稳定阶段，阶数减小算法整体收敛速度趋于稳定，主要显示了通过调节正则化因子来尽量减小稳态误差的性能，由图可知变正则化因子的APA的收敛幅度要大于变阶数的APA但远低于本文算法的收敛幅度。从稳态误差方面看，在整个收敛过程中文献[7]的不定阶变步长算法稳态误差最大，本文所提算法的稳态误差即失调量最小，算法整体变化也相对稳定。即在算法收敛稳定后，在相同的条件下本文改进算法失调量明显优于单纯的变阶或变正则化和不定阶变步长算法的失调量，对应于回声抵消的过程中系统的稳定性能更好，则回声抵消系统很稳定，效果也更好。

图4 四种算法失调函数的曲线图

5 结论

现如今随着人们对通话质量要求的不断提高，回声抵消的性能也越来越受到人们的重视。而APA在回声抵消中具有非常重要的地位。针对已有的APA算法收敛速度慢和稳态误差大等问题，本文提出了一种可变阶数和可变正则化因子相结合的算法。仿真结果表明通过变阶数可调节算法的收敛速度，加快算法收敛，与此同时变正则化因子的引入可在快速收敛的基础上减小稳态误差，使算法更稳定。改善了回声抵消中快的收敛速度和小的稳态误差不能兼得的现状。该算法与已有的算法相比在收敛速度、失调性能以及计算量方面都有很好的表现，更能满足人们对通话质量的需求。

[1]Yang J G，Sobelman E.Efficient μ-law improved proportionate affine projection algorithm for echo cancellation[J].Electronics Letters，2011，47（2）：73-74.

[2]Yang Zengli，Zheng Y R，Grant S L.Proportionate affine projection sign algorithms for network echo cancellation[J].IEEE Trans on Audio，Speech and Language Processing，2011，19（8）：2273-2284.

[3]Shin H C，Sayed A H，Song W J.Variable step-size NLMS and affine projection algorithms[J].IEEE Signal Processing Letters，2004，11（2）：132-135.

[4]Rey H，Vega L R，Tressens S，et al.Variable explicit regularization in affine projection algorithm：robustness issues and optimal choice[J].IEEE Trans on Signal Processing，2007，55（5）：2096-2109.

[5]Yin Wutao，Mehr A S.A variable regularization method for affine projection algorithm[J].IEEE Trans on Circuits and Systems II：Express Briefs，2010，57（6）：476-480.

[6]Kim S，Kong Se-jin，Song Woo-jin.An affine projection algorithm with evolving order[J].IEEE Signal Processing Letters，2009，16（11）：937-940.

[7]赵愉，李锋.不定阶变步长仿射投影算法[J].信息与电子工程，2011，9（1）：64-68.

[8]赵愉，彭最亮，李锋.一种新的变阶仿射投影算法[J].计算机工程与应用，2012，48（16）：145-147.

[9]Paleologu C，Benesty J，Ciochina S.Regularization of the affine projection algorithm[J].IEEE Trans on Circuits and Systems II：Express Briefs，2011，58（6）：366-370.

[10]Myllylä V，Schmidt G.Pseudo-optimal regularization for affine projection algorithms[C]//ICASSP，2002：1917-1920.

[11]Shin H，Sayed A H.Mean-square performance of a family of affine projection algorithms[J].IEEE Trans on Signal Processing，2004，52（1）：90-102.