“错误”因干预而美丽

贾春波 许晓铝

[摘 要] 学习“除数是一位数的笔算除法”时，笔者以此单元例题教学的前后顺序为线索，收集了学生学习过程中的一些错误，并通过统计、访谈等方式对不同的错因提出了不同的干预策略.

[关键词] 小学数学；错例分析；干预措施

■ 缘起

计算教学是支撑小学数学的最基本框架，占据着小学数学一半以上的教学时间，“笔算除法”是计算教学中的重点和难点. 笔者发现，学生在学习“除数是一位数的笔算除法”时，时常出现这样或那样的错例，有些错误即使教师一再强调，学生还是照样出现，更为奇怪的是，几乎每届的学生都会犯此类相同的错误.

因此，为了帮助学生克服笔算除法学习中所遇到的困难，笔者对学生在学习“除数是一位数的笔算除法”中面临的困难、计算出现的错误类型、错误产生的原因等进行了深入分析，并根据这些错因在课堂教学中采取“合理、有效干预”的措施，从而实现有效教学.

■ 错例、成因和干预措施

（一）“直接口算”（如教材最先安排的两个例题）

例题1？摇 42÷2？摇？摇？摇？摇 52÷2

典型错例 （如图1和图2）

错因分析？摇？摇（1）计算结果比较容易得到

要求学生先尝试计算42÷2时，很多学生能够用口算的方法直接找到计算的结果21，于是认为不需要通过笔算除法的方法得到结果，也就是说，学生认为，与其用笔算除法进行计算，不如用口算得到21，所以学生所写的竖式只不过是口算结果的表达.

（2）受表内除法笔算方法的负迁移

学生尝试计算42÷2时，它原有的知识经验是三上的“有余数除法笔算方法”. 有余数的竖式笔算只需一步就可以了，即先确定商，再用除数和商相乘，最后相减. 而42÷2需要两步才能完成，即先要把十位上的4个十平均分成2份，分完后再分个位上的2个一. 学生不明就里，直接得出结果21也是情有可原. 但他们会把这种经验推广到52÷2.

（3）算理不明，算法不清

学生只是套用笔算除法的形式，对于笔算除法的算理不清，这就是我们通常所说的“没学会”. 由于学生根本没有弄明白这样计算的道理，算理不明确，从而导致计算错误.

教学干预策略：调整教学顺序，感悟必要性，减少错误

“除数是一位数的笔算除法”不仅需要学生掌握笔算除法的过程、理解每个步骤的算理，还要体会规范竖式的优势，基于学生以上的典型错例，我觉得教学这部分内容时可以：

（1）让学生感悟到“笔算除法分两步算”的必要性

改变例题1中“42÷2”和“52÷ 2”的先后顺序. 从学生的访谈中可知，由于学生能够一眼看出42÷2的结果，所以学生无法感悟到两步的必要性和优越性. 因此，在实际的教学中，笔者先教学“52÷2”. 虽然有一部分学生也能通过口算得到结果，但很多学生无法直接得到，此时教师提供操作材料“52根小棒（5捆+2根）”，让学生操作. 分法一，有的学生先分2根，再分4捆，最后拆开1捆，分3步得到结果26；分法二，先分4捆，再拆开1捆变成10根，并和2根合在一起成为12根，只需2步便得到结果26. 然后，让学生说一说、议一议这两种分法，让他们在交流中取得共识——分法二中的“1捆变成10根，并和原来的2根合起来后再分”比较简单. 最后，让学生根据分法二的步骤写一写笔算除法的步骤.

这样既解决了学生为什么要从高位除起的原理，又让学生感悟了除法笔算中分步“算”的必要性. 经过上述过程，再一次尝试“42÷2”时，直接写出得数的人数就大大减少了.

（2）在操作中感悟“分两步算的算理”

从知识角度来看，除法竖式是一个抽象的计算过程，学生需要按照“商、乘、减、比”等一系列程序步骤后才能完成，这个过程本身的难度会导致学生对笔算除法的理解存在一定的困难. 根据布鲁纳的认识表征理论，学习者学习时需要经历“动作性表征—映象性表征—符号性表征”，因此初次学习“52÷2”时，需要学生对分的步骤进行操作：第一步，将5捆小棒平均分成2份，每份2捆，还剩一捆；第二步，把剩下的1捆小棒打开，并和2根合在一起成为12根，接着平均分成2份，每份6根，最后把2捆和6根合起来是26根. 上述由操作步骤过渡到分图形，再抽象成竖式的步骤，形成了“动作—图形—符号”之间的转换，达到了以动作感悟、图形内化、符号抽象的教学目的.

（3）在比较沟通中明确“分两步算”的算法

①正确计算方法和错误计算方法之间的对比

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学生出现以上错误，主要原因是很多学生能够用口算的方法直接找到计算的结果21，所写的竖式只不过是口算结果的表达，所以学生就直接一步到位，根本不知其中之算理——先分十位上的数，再分个位上的数.

②“52÷2”与“42÷2”正确算法之间的对比

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以上两个笔算的相同之处都是分两步进行计算，先算十位，再算个位，不同的是，“42÷2”的十位没有余数，算完十位后直接算个位就可以了，而“52÷2”的十位上有余数，所以应该把十位上余下的数和个位合起来继续算.

（二）“试商错误”（如教材安排的例3）

例题2？摇 238÷6

典型错例

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错因分析？摇 笔算238÷6时，有一部分学生会出现上面的竖式形式，为什么会出现以上的试商错误呢？主要是因为学生对乘法口诀掌握得不够熟练，以及没能很好地掌握“余数小于除数”的知识点.

教学干预策略：夯实基础，增强记忆，减少错误

（1）保证每个学生都能熟练地记忆乘法口诀

表内乘法口诀是解决“除数是一位数的笔算除法”中试商的基石，因此，在开学初我就进行“重过表内乘法口诀关”的数学活动，采用教师抽查、同桌互查的方法，让每个孩子对每句口诀都能达到脱口而出的状态，保证在试商时提取“数字性事实”的最大可能.

（2）多做“（ ？摇）里最大能填几”的练习

采用“（？摇 ）里最大能填几”的练习，能帮助学生在试商中灵活地提取“数字性事实”，解决试商的困难. 在试商教学中，教师要沟通与“（？摇 ）里最大能填几”之间的练习，激发学生已有的知识经验. 如“477÷9”，试商十位时，其实就是在解决（？摇 ）×9<47，因此，在学习“除数是一位数的除法”这一单元伊始，每节课的前3分钟我都会让学生快速地计算6道类似的试题.

在“重过口算关”和“（ ）里最大能填几”两类数学活动中，笔者特别重视与6，7，8，9这4个数字相关口诀的练习，因为根据以往的教学经验，学生特别容易弄错与这4个数字相关的口诀. 通过这种方式，能达到夯实基础、增强记忆、减少错误的目标.

（三）“有关0的错误”

1. 商中间有0的错误（如教材的例6和例7）

试题3？摇 309÷3 ？摇832÷4

典型错例？摇 （如图8）被除数中间有0，商中间也有0：

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（如图9）被除数中间没有0，商中间有0：

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错因分析？摇 产生图9错误的原因是没有解决好图8中的试题，所以，要特别重视图8试题的干预. 下面以图8试题的错例分析和干预为主.

（1）自认为可以不写“0”：学生觉得“0除以任何不为0的数都得0，所以计算时可以省略”，所以把103写成了1□3，但其实他们知道“1□3”代表103.

（2）漏写“0”：有一部分学生知道算法，但在具体操作中却忘了“商”上要补“0”. 这部分学生当知道错误后，会马上知道错在哪儿. 另外，计算“832÷4”时，学生很容易忘记3÷4不够除，需用“0”来占位.

（3）不知道怎么处理“0”：当除到309的十位时，由于百位刚好除尽，看到被除数十位上是“0”，他们不知道怎么处理了，直接跳过了十位，去除个位. 这部分学生大多不理解算理，他们觉得1□3就等于13.

教学策略：尝试体验，对比辨析

（1）在错误与正确的对比中理解算理

①先尝试解决309÷3.

②整体呈现正确和错误的解题方法.

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③学生交流.

（估算并判断哪些是错误的，你是怎么判断的）

生：商是13的这些题肯定错了，因为309÷3≈100.

（图10与图11有什么相同和不同的地方）

生：结果是相同的，过程不同. 图10有十位0÷3=0这个过程，而图11的竖式中却没有.

师追问：为什么可以省略呢？

生：因为0÷3等于0.

师追问：过程可以省去，但十位上的商怎么办？

生：过程可以省，但十位上的商不能省，如果省了，就会变成13.

师：这么一讨论，我们知道了正确的计算方法，那你知道图13错在哪儿了吗？

生：图13把十位上0÷3的过程省略了，也把商0的过程省略了.

（教师让学生订正图12和图13中的错误）

④得出结论：除到哪一位，商写在那一位上. 如果是“0”就用“0”占位.

？摇（2）尊重规律，包容差异

在学生开始学习除法竖式计算的一段时间内，分拆的策略还不稳固，分拆的过程还不是非常熟练，特别是商中间有0的笔算除法的简化写法（如图11），它是在图10的基础上简化而来的，所以学生要把这种简化的规则纳入自己的知识结构中是一个逐步建构的过程，而且学生对新知识的接受过程存有差异，所以我们要允许学生出现这些类似的看似烦琐却合理的计算过程. 学生主动建构的过程不能一蹴而就，而是需要一定的时间，有的学生甚至需要更长的时间. 如果教师一味地追求形式简洁，很可能会造成学生建构过程中某个部分的缺失或不正确.

（3）加强商的估算意识和方法，养成良好的学习习惯

教师可用估算的方法培养学生判断商是几位数，商大概等于多少. 有了这种意识和能力，出现“309÷3=13”的可能性就会比较小. 因此，在教学中，教师要抓住机会培养学生的这种意识和能力. （解决图9中错误的方法基本与上述相同，此处不再累述）

2. 商末尾有0的错误（如教材例6安排的第二个例题）

试题4？摇 420÷3 310÷8

典型错误

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错因分析？摇 对于图14，被除数是三位数，最后一位是0，当除到被除数的十位正好除尽时，不再往下除了. 此题错在商没有写完整，当十位除尽时，个位如果是0，就要在商的个位上写0. 学生没有很好地理解，当被除数某一位上的数是0时，且前面没有余数时，除到这位时商要用0占位. 对于图15，受图14思维的负迁移，不管十位除后有没有余数，直接在个位上写上0.

教学干预：自我辨析，对比错误

学生已经有了“商中间有0”的学习经验，对于这一类错误的纠正，教师应放手让学生去辨析. 教师应提供足够的空间和时间，通过问题的引领，引导学生进行自我纠正，步骤如下：

（1）提供错例.

（2）快速判断正确与否. （让学生感悟用估算方法进行判断的优越性，以此培养其估算意识）

（3）自己做一做这个题目，与它对比一下.

（4）集体交流这个题目错在哪儿.

■ 两点感悟

1. 计算错误是好的教学资源

出现这样或那样的错误很正常，因为它们是学生在学习“除数是一位数的笔算除法”中一个积极思考的表现. 这些不成熟的思维或行为中存在很多积极的因素. 教师需要做的工作是根据学生的这些错误，通过统计、调查、访谈等方式找到真实的错因，根据这些错因采取不同的方法，以取得有效的效果.

2. 不同的错因要有不同的干预策略

不同错因引发的错题要采取不同的干预措施. 比如，错题是因为基础不扎实、经验负迁移且错误人数很多等所引起的错误，可以采用提前干预的策略，因为首次成功的教学才是最有效的教学. 而对于常犯的错误，可以采用适时干预、对比感悟的方式，因为订正错误仅仅靠教师正面示范是不够的，需要学生一个自我否定的空间和时间.