新建本科院校《数学分析》课程教学改革——论数学建模思想的渗透

施成湘，邹 杨

(重庆第二师范学院 数学与信息工程系，重庆 400065)

《数学分析》是数学与应用数学专业的一门重要基础课。这门课程对于学生加深理论基础的学习，增强基本技能的训练，提高数学修养和业务素质，培养数学能力，在应用数学专业课程建设中具有极为重要的作用。第九届国际数学教育大会上，美国的贝克教授提到[1]，数学教学思想最普遍的变化是：过去把教学看成是一种处理过程，把学习看成是教学的结果；现在把学习看成是积极的建构活动，学生被看成是数学的建构者，数学教学应该赋予学生更大的首创精神。在知识经济时代，数学理论与方法的不断延伸使得数学的应用越来越深入和广泛。数学的教学和改革面临着越来越严峻的考验和挑战。教学过程为适应这种新形势的需要应该重视学生数学素质的培养和提高。建模过程充分体现了知识可以通过“体悟”、“构建”、“再创造”等创造性过程及认识过程而获得。在讲授过程中，教师结合适当的数学模型，展现数学思想的来龙去脉，架起枯燥知识和现实的桥梁。这不但利于展现知识发生的过程，还能增强数学知识的目的性，体现数学知识的应用价值，培养学生兴趣，对提高数学素质有着重要意义。

本文的研究以重庆第二师范学院为背景。该校是2012年由教育部正式批准的一所新建本科院校。在学院升本前，数学分析课程是针对数学教育专科学生的重要基础课程。学院升本，在保留优秀传统的情况下，进行了必要的教学改革，适应办学角色的转变。在本科教学中，《数学分析》[2]课程的教学目标定位为通过系统的学习与训练，能全面掌握数学分析的基本理论知识，培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力，具备熟练的运算能力与技巧，提高建立数学模型并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。

1 数学分析教学中渗透数学建模思想的必要性

第一，培养数学建模能力是素质教育的需要。

数学分析课程作为数学类专业的一门基础课程，是否学好不仅直接关系到学生后继专业课程(如概率论与数理统计，微分方程，数值计算方法，实变函数，复变函数、微分几何，泛函分析等)的学习，而且可能影响学生研究生阶段学习。因此，数学课程的设置不仅仅只教会学生一些数学的定理和方法，更重要的是教会他们怎样去思考问题，怎样运用手中的数学武器去解决实际问题的能力。对目前的“重理论灌输、轻实践应用”的大学数学教学必须进行改革。作为数学专业骨干课程的教学，正确处理具体与抽象、实践与认识的关系，是专业教师目前应该探讨的课题。

第二，培养数学建模能力是培养创新性应用型人才的需要。

从数学教学思想上说，培养本科学生的素质和能力有两方面：一是通过分析、计算或逻辑推理能够正确、快速地求解数学问题，即运用数学模型的能力；二是用数学语言和方法去抽象、概括客观对象的内在规律，构造出待解决的实际问题的数学模型。几乎所有传统的数学课程都着眼于和侧重于前者。数学模型[3]引入教学是加强后一方面训练的一条途径，是对原有数学教学体系的一种改革试验，也给数学思想的讨论提供了一些新鲜、生动的材料。注重定理的证明和公式的推导是传统的数学分析课程教学模式，它忽视了对数学分析思想的讲授，结果是很多学生理论知识掌握了不少，但真正遇到具体问题寻求解决的时候却无从下手，不知道怎么用，在何处用。学完三学期的课程后仍然不知所以。

第三，培养数学建模能力是高等数学教学改革的需要。

教师在讲台上过分地追求“数学上的完美”而板着面孔讲理论的教学模式，割裂了微积分与外界的联系，也没充分显示微积分的巨大生命力与应用价值。学生学了一大堆的定义、定理和公式，也许根本就没有搞清楚为什么要学习微积分，也不知道学了微积分究竟有什么用。教师在讲授时为了能充分体现数学建模的思想，将枯燥的教学内容与相应的数学模型有机结合，与丰富多彩的外部世界架起桥梁[4]，可以收到事半功倍的效果。这种数学思想的渗透将数学知识和数学应用穿插起来在填补数学理论与应用的鸿沟上能起到很大作用。从另一方面看，学生能力和素质的培养采取长期的、循序渐进的原则，有关能力和素质的培养便被提前了。数学分析知识结构由浅人深、循序渐进的特点，再配合循序渐进、由浅入深、由易到难的数学模型内容，教学中潜移默化地影响学生，从而提高学生的数学实践能力。这在学生的能力培养方面又达到了事半功倍的效果。

第四，培养数学建模能力是数学学科发展的需要。

笔者一直从事数学分析课程的教学，也培训和指导学生参加每年一次的大学生数学建模比赛。虽然这两门课程从内容到教学方式都不同，但笔者认为数学建模的思想方法是可以渗透到数学分析教学中的，且这种渗透有着较强的功能，它可培养学生的应用意识，激发学生主动学习的兴趣，帮助学生理解抽象的概念定理。从教学改革来说，加强数学建模思想在数学分析教学中的渗透，是探索处理上述问题的一条有效途径。

2 数学分析教学中渗透数学建模思想的实施

数学分析教学可以通过引入建模竞赛的思维和方法，来充分发挥学生的积极性和自主性，以举例分析为重点，以“用”为标准，取舍教学内容。在不损害知识体系的前提下，以“题”为中心组织基础知识讲授，以“练”为手段选择灵活多样的教学方法，突出重点，讲解难点，精讲多练。让学生在“练”中发现自己的知识缺陷，激发他们的求知欲。

第一，借助实际问题引入数学概念。数学概念大多数来源于实际问题，从实际问题入手引入数学概念是数学建模思想融入高等数学的重要机会。通过对实际问题的分析，把实际问题转化为数学问题，然后找出解决问题的方法，最后引入数学概念。这个过程本身就是一次数学建模的过程。教师大多都精心设计概念的引入，从恰当的案例中引入概念是将数学建模思想融人数学分析课程教学的重要形式。学生很易在被传授知识的时候便学会了数学的思想方法，领悟了数学的精神实质，知晓了数学的来龙去脉，懂得了他们现在所学的那些看来枯燥无味但又似乎天经地义的概念、定理和公式。这些并不是无本之木、无源之水，也不是人们头脑中所固有的，而是有现实的来源与背景，有其物理原型和表现的。

第二，将数学建模思想融入课内外作业中[5]。在每章内容结束后，适当补充一些相关的实际问题，使学生学会分析问题，建立数学模型，增强学生应用数学的意识。这样就使得学生更深刻地理解数学分析有关理论，为后续课程的学习打下了良好的基础[4]。比如在讲授初等函数连续性的零点定理后，便可以设计讨论“在一块不平的地面上，是否可以找到一个适当的位置而将一张凳子的四脚同时着地？”这种开放性的题目，学生可以形成小组、通过讨论、试验等方式认识问题，并要求将题目的求解过程以书面的形式提交。

第三，将数学建模思想融人数学分析课程考核中。传统的数学分析考试，大多是闭卷考试，考试内容涉及所学内容点的考察，由于受考试时间的限制，很难在试题中增加开放型的应用题，即使在试题中设计了一些应用题，一般也不是太难，通常是列出式子就可以求解。这样，可以打破传统的考试的风格，提前准备开放性试题，分组提交小论文，小论文成绩记人考核成绩。这样的考核，必然使得全体学生都参与进来，让学生更能加深对所学知识的理解，也锻炼了学生的写作能力，真正地考查了学生的数学能力水平。

第四，加强数学软件的使用。越来越多的人认识到数学教学不仅要注重演绎思维，归纳思维和创造思维等基本能力的培养，更应注意运用数学方法和计算机技术解决实际问题能力的培养。

第五，举办第二课堂活动。数学的教学不能和外部世界隔离开来，以致学生在学了十分有用的数学知识以后，却不怎么会用。可以在课堂之外举办数学建模讲座或开设数学建模公共选修课，为数学与外部的联系打开一条通道。鼓励学生参加数学建模培训和竞赛活动，数学建模竞赛是培养学生创新性应用能力的最有效的途径之一。

3 结束语

学数学的最高境界是用数学，在数学分析课程教学中渗透数学建模思想的目的就是让学生知晓数学有用和如何应用数学。在数学分析课程的教学里融入数学建模思想方法，配合适当的数学模型内容，将数学分析的理论知识与实际应用结合在一起，有利于学生对数学分析课程中基本概念、理论知识的掌握，也提高了学生的数学实践能力，同时还可以激发学生学习数学的积极性，提高学生的自身素质和数学素养。教学时选准合适的案例作为切入点，力争与数学分析有关内容有机结合，体现出建模思想。以学生为主体，采用案例教学、课堂讨论、启发式等教学方式。 “授人以鱼，不如授人以渔”。因此，在教学中应该注重的不是数学知识的讲授，而是学生学习能力的培养。正如李大潜先生所指出的：学校里学过的一堆数学知识很多都没有派上什么用处，有的甚至已经淡忘，但所受的数学训练，所领会的数学思想与精神，却无时无刻不在发挥着积极的作用，成为取得成功的最重要的因素。教师充分调动学生学习的积极性，让学生真正成为教学活动的主体，那么教学活动不仅使学生获取了知识，而且能为学生的能力培养创造极为有利的条件。

参考文献：

[1]王全林.数学教育研究的现代发展[J].数学通报,2001,(11):0-1.

[2]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2008.

[3]姜启源.数学模型[M].北京:高等教育出版社,2005.

[4]李文赫,张彩霞,李阳.《数学分析》课程的教学改革探索与实践[J].教育教学论坛,2012,13:23-24.

[5]黄敬频.浅谈数学建模思想在数学分析教学中的渗透[J].广西大学学报(自然科学版),2003,28(10):21-24.