论连分数的应用

于海杰

（赤峰学院 初等教育学院，内蒙古 赤峰 024000）

论连分数的应用

于海杰

（赤峰学院 初等教育学院，内蒙古 赤峰 024000）

实数通常用十进制数表示，可写成整数部分与小数部分.实数也可用连分数表示.本文简要介绍连分数的几点应用.

连分数；应用

1 连分数的定义

所谓连分数就是一种特殊类型的繁分数.如

定义 设a0,a1,a2,……是一个无穷实数列，ai>0,i≥1.对于给定的n≥0，我们把表示式

称为有限连分数，通常简写为[a0,a1,a2,……,an].

在（1）式中当n→∞时，我们把相应的表达式

称为无限连分数，通常简写为[a0,a1,a2,……,an,…].

2 连分数与实数的关系

定理（1）有限连分数[a0,a1,a2,……,an]是一个有理数.

（2）任意一个有理数都可以表示为有限连分数.

（3）任意一个无限连分数[a0,a1,a2,……,an,…]是一个无理数.

（4）每一无理数只有唯一一种方法表示成无限简单连分数.

证明略，详见参考文献[1].

3 连分数的截断值

利用分数的连分数表达式的逐次截断值可求出该分数的近似值.

According to the Japanese guidelines on the gastric cancer treatment issued by JGCA (2011)[13], the algorithm of surgical treatment in patients with GC is as follows (Figure 7).

其截断值依次是：

可以发现以下不等式：a0

这说明上述连分数的逐次截断值从左、右两个方向交叉地逐次逼近真值.可以证明，任意一个数的连分数的逐次截断值都有这个渐进逼近性[1]，每一个截断值称为渐进分数.

4 简单应用

4.1 无理数化为无限连分数

4.2 有理数化为有限连分数

将有理数化为有限连分数，用辗转相除法即可得到.

4.3 连分数在求解一元二次方程方面的应用

例3求x2-3x-1=0的解.

依次得到方程的近似解，而且越往后越精确：3，3.3，L，3.333,3.303L

4.4 利用连分数求最大公约数[3]

例4求61446与18326的最大公约数.

4.5 连分数在历法方面的应用[4]

闰年，是阴历中的一种现象，固定在二月，比平年加一天即29天.我们通常所说的一年365天，其实是个约数，比较准确的应该是365.2422天.那么一年365天就与实际一年少0.2422日，这样四年后就比实际的四年少了近一天，为了弥补这个差值，历法中规定了四年一润，百年少一润.

〔1〕王进明.初等数论[M].北京：人民教育出版社，2007.

〔2〕杨中和.二次无理数的连分数[J].西安文理学院学报（自然科学版），2008（11）.

〔3〕袁明豪，等.有限简单连分数的几个应用[J].黄冈师范学院学报，2003（23）.

〔4〕徐诚浩.连分数与历法[M].北京：高等教育出版社，2008.

O112

A

1673-260X（2014）02-0004-02