探明路径，后求其长

解答中考题时，经常会碰到求动点的运动路径长问题。此类问题往往因运动路径比较抽象，以至于搞不清楚运动路径是何种图形，所以常常让答题者束手无策，甚至颇费周折。事实上，此类问题可以先在一般图形中探究动点轨迹，探明运动路径，然后设法求出其长。现举两例，供读者参考.

例1 （2011福建三明）在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1。将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF（如图1）.

（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图2），求PC的长；

（2）探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止。在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：①tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长.

图1图2解析 （1）如图2，由条件，易知，∠PCD=∠BPA，∠D=∠A=90°，所以△PCD∽△BPA，所以PC1PB=CD1AP，所以PC122+12=211，所以PC=25.

（2）①tan∠PEF的值不变（过程略）.

②如图1，取EF的中点O1，连结O1B、O1P、BP，在Rt△EFB和Rt△EFP中，

图3因为∠EPF=∠EBF=90°，O1E=O1F，所以O1P=O1B=112EF，所以点O1在BP的垂直平分线上，这就说明线段EF的中点始终在BP的垂直平分线上运动。如图3，作出直角尺在开始与停止时的位置图（以下简称“始末位置图”），设EF在开始时的中点为O，在停止时的中点为O′，连结OO′，则线段OO′就是线段EF的中点经过的路线。易知，OO′是△PBC的中位线，所以OO′=112PC，由（1）知，PC=25，所以OO′=5，所以从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长为5.

点评 探究EF的中点的运动轨迹时，基于一般性，在图1中取EF的中点O1，添加了辅助线O1B、O1P、BP，一方面，容易寻找到常量为∠EPF=∠EBF=90°，O1E=O1F，另一方面，又挖掘出线段BP是固定不动的，这就引发了O1P=O1B，决定了线段EF的中点始终在BP的垂直平分线上运动，这为下一步画线段OO′奠定了重要的基础.

例2 （2013浙江湖州）如图4，已知点A是第一象限内横坐标为23的一个定点，AM⊥x轴于点M，AM的延长线交直线y=-x于点N。若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动。求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是.

图4图5图6解析 依题意，设A（23，m）（m是大于0的常数），P（t，-t）（t≥0），B（x，y）。如图4，过点A作直线l∥x轴，过点P作PC⊥l于点C，过点B作BD⊥l于点D，因为BA⊥PA，所以∠PAC+∠BAD=90°，因为PC⊥l，所以∠PAC+∠APC=90°，所以∠APC=∠BAD。

又∠PCA=∠ADB=90°，所以△PAC∽△ABD，所以AC1BD=PC1AD=PA1AB，因为AC=23-t，BD=m-y，PC=m+t，AD=x-23，所以23-t1m-y=m+t1x-23=PA1AB。在Rt△PBA中，因为∠APB=30°，所以tan 30°=AB1PA，所以PA1AB=3，所以23-t1m-y=m+t1x-23=3，所以23-t=3（m-y）……（1），m+t=3（x-23）……（2），（1）+（2），得23+m=3（m-y）+3（x-23），解得y=x+（m-2）-（23+313m），很明显，这是一次函数的解析式，这就说明点B始终在直线y=x+（m-2）-（23+313m）上运动，所以当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径是一条线段.

如图5，当点P与点O重合时，设B（x′，y′），过点A作直线l′∥x轴，设l′与y轴交于点E，过点B作BF⊥l′于点F，则AE=23，PE=m，AF=x′-23，BF=m-y′，易知△PAE∽△ABF，所以AE1BF=PE1AF=PA1AB，所以231m-y′=m1x′-23=3，解得x′=23+313m，y′=m-2，所以B（23+313m，m-2）。

如图6，当点P与点N重合时，易知PA=m+23，在Rt△PBA中，由tan 30°=AB1PA，得AB=2+313m，所以B（23+2+313m，m）。所以点B运动的路径长是

（23+2+313m）-（23+313m）2+m-（m-2）2

=22+22=22.

点评 探究动点B的运动轨迹时，先设A（23，m），P（t，-t），B（x，y），这样便于表示图中的线段AC、BD、PC、AD的长。运用相似三角形的性质和三角函数的定义后，顺利列出了x，y，t所满足的方程。消去t，得到y=x+（m-2）-（2+m13）3后，即可确定动点B运动的路径是一条线段，让人心服口服。在图5、图6中，当求出点B在运动开始、结束时的坐标后，自然会联想到运用平面内两点间距离公式求点B运动的路径长。在计算过程中，常数m被消去，同时也体现了“设而不求法”在解题中的应用.

作者简介马先龙，男，江苏淮阴人，中学高级教师，江苏省淮安市淮阴区骨干教师。一直从事中学数学教学和解题教学研究工作，在省级以上数学刊物上发表文章60余篇.endprint

解答中考题时，经常会碰到求动点的运动路径长问题。此类问题往往因运动路径比较抽象，以至于搞不清楚运动路径是何种图形，所以常常让答题者束手无策，甚至颇费周折。事实上，此类问题可以先在一般图形中探究动点轨迹，探明运动路径，然后设法求出其长。现举两例，供读者参考.

例1 （2011福建三明）在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1。将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF（如图1）.

（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图2），求PC的长；

（2）探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止。在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：①tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长.

图1图2解析 （1）如图2，由条件，易知，∠PCD=∠BPA，∠D=∠A=90°，所以△PCD∽△BPA，所以PC1PB=CD1AP，所以PC122+12=211，所以PC=25.

（2）①tan∠PEF的值不变（过程略）.

②如图1，取EF的中点O1，连结O1B、O1P、BP，在Rt△EFB和Rt△EFP中，

图3因为∠EPF=∠EBF=90°，O1E=O1F，所以O1P=O1B=112EF，所以点O1在BP的垂直平分线上，这就说明线段EF的中点始终在BP的垂直平分线上运动。如图3，作出直角尺在开始与停止时的位置图（以下简称“始末位置图”），设EF在开始时的中点为O，在停止时的中点为O′，连结OO′，则线段OO′就是线段EF的中点经过的路线。易知，OO′是△PBC的中位线，所以OO′=112PC，由（1）知，PC=25，所以OO′=5，所以从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长为5.

点评 探究EF的中点的运动轨迹时，基于一般性，在图1中取EF的中点O1，添加了辅助线O1B、O1P、BP，一方面，容易寻找到常量为∠EPF=∠EBF=90°，O1E=O1F，另一方面，又挖掘出线段BP是固定不动的，这就引发了O1P=O1B，决定了线段EF的中点始终在BP的垂直平分线上运动，这为下一步画线段OO′奠定了重要的基础.

例2 （2013浙江湖州）如图4，已知点A是第一象限内横坐标为23的一个定点，AM⊥x轴于点M，AM的延长线交直线y=-x于点N。若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动。求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是.

图4图5图6解析 依题意，设A（23，m）（m是大于0的常数），P（t，-t）（t≥0），B（x，y）。如图4，过点A作直线l∥x轴，过点P作PC⊥l于点C，过点B作BD⊥l于点D，因为BA⊥PA，所以∠PAC+∠BAD=90°，因为PC⊥l，所以∠PAC+∠APC=90°，所以∠APC=∠BAD。

又∠PCA=∠ADB=90°，所以△PAC∽△ABD，所以AC1BD=PC1AD=PA1AB，因为AC=23-t，BD=m-y，PC=m+t，AD=x-23，所以23-t1m-y=m+t1x-23=PA1AB。在Rt△PBA中，因为∠APB=30°，所以tan 30°=AB1PA，所以PA1AB=3，所以23-t1m-y=m+t1x-23=3，所以23-t=3（m-y）……（1），m+t=3（x-23）……（2），（1）+（2），得23+m=3（m-y）+3（x-23），解得y=x+（m-2）-（23+313m），很明显，这是一次函数的解析式，这就说明点B始终在直线y=x+（m-2）-（23+313m）上运动，所以当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径是一条线段.

如图5，当点P与点O重合时，设B（x′，y′），过点A作直线l′∥x轴，设l′与y轴交于点E，过点B作BF⊥l′于点F，则AE=23，PE=m，AF=x′-23，BF=m-y′，易知△PAE∽△ABF，所以AE1BF=PE1AF=PA1AB，所以231m-y′=m1x′-23=3，解得x′=23+313m，y′=m-2，所以B（23+313m，m-2）。

如图6，当点P与点N重合时，易知PA=m+23，在Rt△PBA中，由tan 30°=AB1PA，得AB=2+313m，所以B（23+2+313m，m）。所以点B运动的路径长是

（23+2+313m）-（23+313m）2+m-（m-2）2

=22+22=22.

点评 探究动点B的运动轨迹时，先设A（23，m），P（t，-t），B（x，y），这样便于表示图中的线段AC、BD、PC、AD的长。运用相似三角形的性质和三角函数的定义后，顺利列出了x，y，t所满足的方程。消去t，得到y=x+（m-2）-（2+m13）3后，即可确定动点B运动的路径是一条线段，让人心服口服。在图5、图6中，当求出点B在运动开始、结束时的坐标后，自然会联想到运用平面内两点间距离公式求点B运动的路径长。在计算过程中，常数m被消去，同时也体现了“设而不求法”在解题中的应用.

作者简介马先龙，男，江苏淮阴人，中学高级教师，江苏省淮安市淮阴区骨干教师。一直从事中学数学教学和解题教学研究工作，在省级以上数学刊物上发表文章60余篇.endprint

解答中考题时，经常会碰到求动点的运动路径长问题。此类问题往往因运动路径比较抽象，以至于搞不清楚运动路径是何种图形，所以常常让答题者束手无策，甚至颇费周折。事实上，此类问题可以先在一般图形中探究动点轨迹，探明运动路径，然后设法求出其长。现举两例，供读者参考.

例1 （2011福建三明）在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1。将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF（如图1）.

（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图2），求PC的长；

（2）探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止。在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：①tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长.

图1图2解析 （1）如图2，由条件，易知，∠PCD=∠BPA，∠D=∠A=90°，所以△PCD∽△BPA，所以PC1PB=CD1AP，所以PC122+12=211，所以PC=25.

（2）①tan∠PEF的值不变（过程略）.

②如图1，取EF的中点O1，连结O1B、O1P、BP，在Rt△EFB和Rt△EFP中，

图3因为∠EPF=∠EBF=90°，O1E=O1F，所以O1P=O1B=112EF，所以点O1在BP的垂直平分线上，这就说明线段EF的中点始终在BP的垂直平分线上运动。如图3，作出直角尺在开始与停止时的位置图（以下简称“始末位置图”），设EF在开始时的中点为O，在停止时的中点为O′，连结OO′，则线段OO′就是线段EF的中点经过的路线。易知，OO′是△PBC的中位线，所以OO′=112PC，由（1）知，PC=25，所以OO′=5，所以从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长为5.

点评 探究EF的中点的运动轨迹时，基于一般性，在图1中取EF的中点O1，添加了辅助线O1B、O1P、BP，一方面，容易寻找到常量为∠EPF=∠EBF=90°，O1E=O1F，另一方面，又挖掘出线段BP是固定不动的，这就引发了O1P=O1B，决定了线段EF的中点始终在BP的垂直平分线上运动，这为下一步画线段OO′奠定了重要的基础.

例2 （2013浙江湖州）如图4，已知点A是第一象限内横坐标为23的一个定点，AM⊥x轴于点M，AM的延长线交直线y=-x于点N。若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动。求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是.

图4图5图6解析 依题意，设A（23，m）（m是大于0的常数），P（t，-t）（t≥0），B（x，y）。如图4，过点A作直线l∥x轴，过点P作PC⊥l于点C，过点B作BD⊥l于点D，因为BA⊥PA，所以∠PAC+∠BAD=90°，因为PC⊥l，所以∠PAC+∠APC=90°，所以∠APC=∠BAD。

又∠PCA=∠ADB=90°，所以△PAC∽△ABD，所以AC1BD=PC1AD=PA1AB，因为AC=23-t，BD=m-y，PC=m+t，AD=x-23，所以23-t1m-y=m+t1x-23=PA1AB。在Rt△PBA中，因为∠APB=30°，所以tan 30°=AB1PA，所以PA1AB=3，所以23-t1m-y=m+t1x-23=3，所以23-t=3（m-y）……（1），m+t=3（x-23）……（2），（1）+（2），得23+m=3（m-y）+3（x-23），解得y=x+（m-2）-（23+313m），很明显，这是一次函数的解析式，这就说明点B始终在直线y=x+（m-2）-（23+313m）上运动，所以当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径是一条线段.

如图5，当点P与点O重合时，设B（x′，y′），过点A作直线l′∥x轴，设l′与y轴交于点E，过点B作BF⊥l′于点F，则AE=23，PE=m，AF=x′-23，BF=m-y′，易知△PAE∽△ABF，所以AE1BF=PE1AF=PA1AB，所以231m-y′=m1x′-23=3，解得x′=23+313m，y′=m-2，所以B（23+313m，m-2）。

如图6，当点P与点N重合时，易知PA=m+23，在Rt△PBA中，由tan 30°=AB1PA，得AB=2+313m，所以B（23+2+313m，m）。所以点B运动的路径长是

（23+2+313m）-（23+313m）2+m-（m-2）2

=22+22=22.

点评 探究动点B的运动轨迹时，先设A（23，m），P（t，-t），B（x，y），这样便于表示图中的线段AC、BD、PC、AD的长。运用相似三角形的性质和三角函数的定义后，顺利列出了x，y，t所满足的方程。消去t，得到y=x+（m-2）-（2+m13）3后，即可确定动点B运动的路径是一条线段，让人心服口服。在图5、图6中，当求出点B在运动开始、结束时的坐标后，自然会联想到运用平面内两点间距离公式求点B运动的路径长。在计算过程中，常数m被消去，同时也体现了“设而不求法”在解题中的应用.

作者简介马先龙，男，江苏淮阴人，中学高级教师，江苏省淮安市淮阴区骨干教师。一直从事中学数学教学和解题教学研究工作，在省级以上数学刊物上发表文章60余篇.endprint