数学教科书实现数学基本活动经验的路径探析

1前言

数学活动经验的获取是数学教学活动的一种基本追求，探讨数学基本活动经验的内涵与外延，析理高效获取数学基本活动经验的路径与方法已成为数学教育界关注的核心议题。数学教科书是实现数学基本活动经验的重要载体，它或隐或显的将人类在创造数学知识的过程中所积累的宝贵经验展现在它的文本结构中，引导着师生在数学教学活动过程中共享与生成。本文利用对比分析的方法，以人教版与北师版初中数学教科书中的“有理数的乘法”一节为例，剖析数学教科书是如何实现数学基本活动经验的，以期更好地利用与拓展这一课程资源，为推进数学课程改革深度进行提供参考信息。

关于数学基本活动经验论述较早出现在曹才翰和蔡金法主编的《数学教育学概论》中，认为数学活动经验就是相应数学知识的发生、发展和应用过程的经验，数学活动经验是在数学活动中积累起来的，然而只有在实际的数学活动中有意识地把这种经验变成自己的财富，这种经验才从属于个人。[1]此后“数学活动经验”的含义有过多种解读，如“数学活动经验”是对以往数学经历在认知方面的感性概括（自觉或不自觉），同时又自然地迁移到新的数学活动之中（通过影响其认知方式和思维方式等）。[2]数学活动经验属于学生主观性数学知识的范畴，它形成于学生的自我数学活动过程之中，伴随着学生的数学学习而发展，反映了学生对数学的真实理解。[3]数学活动经验，意旨在数学目标的指引下，对具体事物进行实际操作、观察和思考，从感性到理性飞跃的过程中所积淀下来的认识。[4]]数学活动经验对于数学活动的顺利探究、数学思想方法的领悟、学生数学观念的形成等有着十分重要的作用，储备充足的数学活动经验是学生学好数学、提高数学素养的重要基础。[5]数学活动经验是学生主体通过亲身经历数学活动的过程，能够获得具有个体特征的感性认识、情感体验、以及数学意识、数学能力和数学素养。[6]综上，数学基本活动经验的获得是提升学生数学素养的重要基因，是学习的重要目标之一，是学习者在参与数学活动的过程中与自我经验整合所积累的发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的技能策略。由于数学教科书的基本职能是承载人类创造的经过教育化处理的数学文化，那么彰显数学基本活动经验就是数学教科书的一项基本职能。

2数学教科书实现数学基本活动经验的基本路径

数学课程是一种系统的知识、经验，其物化形式就是数学课程标准与教材（有系统性、可物化）。[7]可见数学教科书作为最重要的数学教材，担负着数学基本活动经验实现的重任，它是以选编的形式把人类在创造数学文化的过程中所形成的最为经典的语言、问题、方法、命题以及所形成的精神、思想、方法用图文表述、活动操作、案例示范等形式呈现出来，实现数学教科书传播知识、丰富智慧、拓展视野的价值诉求。不同版本的数学教科书总是以其独特的视角把数学知识镶嵌在某种情境之中，成为数学实践的场所。因此数学教科书就具有强烈的实践关切，具体的表征与应用就是数学基本活动经验获取的途径与方式。

数学教科书的建构者精心创设了一种有意义的数学活动结构，创造性的将数学活动经验渗透在文本的字里行间，通过问题导入、问题解决、巩固反馈、实践尝试及做一做、议一议、读一读、思考、观察、探究、归纳、概括、例题、练习、习题、课题等活动方式，将师生带入数学的活动天地，构筑深层次的知识建构网、情感交流网、经验丰富网。

表1是北师版[8]、人教版[9]中有理数乘法实现数学基本活动经验途径的对比，在比较中感悟数学活动经验在教科书层面实现的异同性。

通过表1的对比分析，可以清晰地知晓两种不同版本的数学教科书在实现数学基本活动经验方面的基本特点是和而不同，虽然都从五个途径来实现，但表征的方式无论是从质上还是量上都有很大的差异。

析理上述表格，可以发现其实现数学基本活动经验的特点是：

“独立性思考”来实现。通过源于现实生活的现实问题导入，让学习者通过观察、思考、抽象概括、归纳分析等解决问题，以议一议、猜一猜、填空等活动得出有理数乘法法则，体验数学原理的形成过程。人教版与北师版实现数学基本活动经验的路径表

路径1北师版1人教版问题导入途径1水库水位变化问题。表征的方式：直接进入式，有问题情景图。

展开的方式：从加法过渡到乘法，导出正数乘正数与负数乘正数的问题。进而到有理数相乘的法则及规律的问题。1蜗牛爬行路程问题。表征的方式：间接进入式，有问题情景图。

展开的方式：四个小问题、形成四种类型，图示法形成解决思路。得出思考问题，填空。进而顺次过渡到法则及规律的问题。通过议一议（示范1例、递减4例）、猜一猜（4例）活动，渗透归纳推理的思想，提练出有理数乘法法则。1在直观图形的导引下，解答4个小问题，观察、思考，以填空的形式得出有理数乘法法则。例题示范途径1分2个层次：通过例1（4个小问题）、例2（2个小问题）示范运用法则的技巧，从两数相乘过渡到三数相乘。

通过做一做（3个例题）的示范，以想一想的活动方式归纳总结出有理数乘法的运算规律。再以例3（2个小问题）的方式深化对运算律的认知。1分6个层次：第一层次是以例如、例1（2个计算题）、例2（气温变化题）的形式示范法则的应用；第二层次是通过观察、思考、例3、观察的方式得出多个有理数相乘的运算规律；第三个层次是以例4的方式借用计算器来感知法则；第四个层次通过例如、填空、例5、思考的方式来获取对运算律的认知；第五个层次通过数字字母、例6等形式的示范获取对运算律简便运算的特性；第六个层次是认知去括号问题，通过论述、观察发现、例7计算来感知去括号的规律。练习巩固途径1分两部分进行：对乘法法则是通过课堂练习（6个小题）来巩固。

对运算规律通过两大计算题（共8个小题）来加强认知。1对应6个层次，分别以练习的方式展开。层次1有3个问题，三类题型；层次2有3个计算题来强化对运算律的使用；层次3有两个小问题借助计算器进行计算；层次4用3个计算题来强化对三大规律的认识；练习5是对同类项合并的深化认识；练习6是对去括号问题的强化。习题实践途径1分两部分进行：对乘法法则以知识技能、问题解决、联系拓广的形式来实践体验其本真的特征。知识技能部分一是以计算的方式设置了8个问题，二是以算子的方式设置了4个小问题强化法则。问题解决部分是一个气温变化的现实问题。联系拓广是在一个表格内填空的形式拓广与开发思维的空间。endprint

对运算律是以知识技能、联系拓广形式来实践运用其运算律。知识技能中有8个小问题，联系拓广中有两个不同类型的问题进行，一是问答式，一是填空式。1习题是把乘法与除法两种运算的问题放在一起以复习巩固、综合运用、拓广探索的形式出现。仔细区分，在复习巩固部分涉及到的习题类型有计算、写出、填空，其中计算有26个小问题、写出有6个小问题、填空有6个；综合应用有正负数填空（4个小问题）、两个现实问题、一个推理题；联系探索是以填空、计算问答的形式来强化运算法则的。“共同性体验”来实现。通过设计“实例引入”、“议一议”、“猜一猜”、“做一做”、“填空”、“例题”、“练习”等环节，让学习者观察、分析、归纳、探索得出有理数乘法法则及运算律。在此过程中，积极引导学习者参与各项数学活动，经历数学知识的形成过程，促进学习者获得操作性、探究性，应用性、思考性的基本数学活动经验。

“实践性操作”来实现。两种版本的数学教科书都是以栏目的形式导引学习者通过实践操作来获取知识、巩固知识、深化知识。无论是法则、倒数、运算律的认知，还是归纳、类比、推理等方法的掌握都是着力于自主探索、合作学习、动手实践来实现。

“导引性示范”来实现。在例题示范下，通过一定量的练习、习题引导学习者获取经验，经过课堂练习，参与联系拓展，从而强化归纳推理的数学基本活动经验。

教科书有时空的限制，它既要展现间接经验与直接经验之蕴，又要体现设计经验与反思经验之境，因此用来呈现数学活动经验的途径就得精心选择，要能使学习者在学习中感悟到设计中的经验、体验到实践中的经验、反思到认知中的经验，进而获取显性经验与隐性经验

3数学教科书实现数学基本活动经验的思考

数学教科书担负数学基本活动经验的表达，如同概念知识、原理方法表达一样。因此，以系统的设计理念去构思实现的方式就至关重要。数学教科书是一种文本结构，是由特定的语言体系构成，传递着数学文化体系的精华，不同的建构团体基于自我的认知采用不同的方式来展现数学，因而设计方式、表达特色会不同，无论是在技术层面还是在文化层面都是如此。因此，不同版本的教科书建构团体相互借鉴、整合精华是有效实现数学基本活动经验的最优选择。

数学教科书通过核心事件（事例、实践、能力、环境等）、关键事件等营建数学知识、思想方法的栖息地，让学习者能在数学活动实践中形成与完善经验。同时要调动学习者的认知情感，激发学习者的学习热情，恰如其分地联系新旧知识，自然而然地激发灵感，启迪思维，这就为数学教科书的话语表征提出了挑战。一个关键点就是要把知识、技能、过程、方法、情感因素作为一个整体来构思，使情境数学、日常数学、关联数学中的合理的成分恰当的嵌入教科书体系之中，通过问题情境的创设、解决活动的预设，形成学生理解数学概念、学会数学思考、形成思维能力的通道。这种相关的、日常的、生活的数学进入学生的视域，既拓展了数学知识的有用性，又丰富了数学知识的经验性，又能促使学生有效的获得基本数学知识、体验数学思维方式、认知数学原理体系。

相互借鉴是要在各自建构特色的基础上，汲取别的版本的建构经验，在防止同质化倾向的同时，深入分析学习者数学基本活动的经验，找准切入点，进行再创造。如在“有理数乘法”这一节中，人教版的导入路径就值得北师版建构团队的学习；在例题示范的路径上，北师版显得精炼，人教版涉及的知识点显得过多；在练习与习题的数量上，各自有明显的不同：在表征形式上，使用的称谓不一样，如人教版用的是复习巩固、综合应用、拓广探索，北师版用的是知识技能、问题解决、联系拓广，设置的路径也有差异，如人教版是把习题放在有理数乘法与除法内容后设置的，而北师版则在有理数乘法内容后就设置，重要的差异是两种版本选择的问题域的不同，孰优孰劣仍需做深入细致的研究，如到底设置多少练习、习题才能使学生在尽可能少的时间内达到较高的理解水平，设置什么样的问题类型才能使学生获益最佳。

比较分析两种版本“有理数乘法”，发现在语言表述、素材选择、活动设计等方面有很大的差异，将会导致不同的学习经历，获取的数学活动经验也就有所不同，怎样的设置、表述富有特色与力量，完全取决于学生的实际。因此，教学要对教科书进行再创造，其中最为核心的一点就是要改编数学问题，选择恰当的问题表达语言、问题解决路径语言、问题拓展深化语言使学生顺利的通向理解之途。这样既可防止学生接受教科书的权威观点，抑制学生创造性的思考，以免形成偏见，又可与现实的学生经验相吻合，把知识、思想、方法通过巧妙的方法渗透到独特的问题情境中，丰富和发展学生的经验空间。

教科书是表述数学世界的一种工具，他向学习者做了诸多方面的导引，导引着学习者通过数学活动（外在的与内在的）的实践去感悟、体验、理解数学，真正经历富有个性化的数学活动过程，进而不断激活知识、猜测讨论知识、内化拓展知识，从“经历”走向“经验”。那么融合知识的逻辑、实证、心理三个层面就十分关键。这就需要研究者运用精细加工理论、学习环境设计思想、认知弹性理论对每一节课、每一个单元、每一门课程之间的关系进行深度解析，做到明白、清晰、适切就能使所教的每一项知识背后的观念、概念和范畴成为学生经验之源，满足教师与学生的需要、愿望、抱负，实现数学教育目标。

参考文献

[1]曹才翰，蔡金法。数学教育学概论[M]。南京：江苏教育出版社，1989：30，78.

[2]马复。论数学活动经验[J]。数学教育学报，1996（4）：22-25.

[3]黄翔，童莉。获得数学活动经验应成为数学课堂教学关注的目标[J]。课程·教材·教法，2008（1）：40-43.

[4]张奠宙，竺仕芬，林永伟。“数学基本活动经验”的界定与分类[J]。数学通报，2005（5）：4-7.

[5]仲秀英。名师授课案例对数学活动经验教学的启示[J]。中国教育学刊，2009（10）：69-72.

[6]顾沛。数学基础教育中的“双基”如何发展为“四基”[J]。数学教育学报，2012（1）：14-16。

[7]章建跃。中学数学课程论[M]。北京：北京师范大学出版社，2011：7.

[8]林群。义务教育课程标准实验教科书。数学（七年级上册）[M]。北京：人民教育出版社，2005：34-43.

[9]马复。义务教育课程标准实验教科书。数学（七年级上册）[M]。北京：北京师范大学出版社，2005：74-79.

作者简介张定强，男，1963年生，甘肃天水人，西北师范大学教育学院副院长、教授、教育学博士，主要从事数学教育基本理论、教师教育研究。曾在《课程·教材·教法》等刊物发表论文90多篇，主编著作3部，参编6部。endprint