不能这样定义实数

申祝平

文[1]有这么一段——

四、巧用实数相等的意义

当a，b，c都是有理数，且c>0，则形如a+bc的数，称为实数。a为有理部，b为无理部。两个实数相等的意义是：有理部等于有理部，无理部等于无理部.

例4已知x，y为有理数，且（x-y2）2=6-42，求x，y的值.

解由已知条件，得x2+2y2-22xy=6-42.

由实数相等的意义，得x2+2y2=6，

2xy=4。

由2xy=4得x=21y.

把x=21y代入x2+2y2=6，得（21y）2+2y2=6，y4-3y2+2=0，（y2-2）（y2-1）=0。解得y=±1或y=±2（不合题意，舍去）.

把y=±1代入x=21y，得x=±2.

因此，x，y的值为x=2，y=1；或x=-2，y=-1.

点评此题为概念解题，十分巧妙，值得一学.

质疑“当a，b，c都是有理数，且c>0，则形如a+bc的数，称为实数。……”那么，（1）不形如a+bc（a，b，c都是有理数，且c>0）的无理数，如π，312，2+3，lg2，…，还是实数吗？（2）有理数2+34（这里，a=2，b=3，c=4，符合文[1]要求）的“有理部”是2、“无理部”是3吗？（3）显然，2+34=8+04，但2+34与8+04的“有理部”不相等（2≠8），“无理部”也不相等（3≠0）呀！

结论文[1]所谓“实数、有理部、无理部、实数相等的意义”等概念，挂一漏万，不能自圆其说。不可取！

猜想文[1]作者可能是由复数（complex numbers）的“实部”、“虚部”突发奇想，制造了实数的所谓“有理部”、“无理部”。可惜作者没有注意到：复数有统一的虚数单位i，而实数没有统一的无理数单位！

定理若a，b都是有理数，α是无理数，则a+bα=0a=0，

b=0。

证明假设b≠0，则由a+bα=0得α=-a1b（有理数），这与已知“α是无理数”矛盾。假设错误！所以b=0。把b=0代入a+bα=0，得a=0。证毕.

让我们利用这个定理来解文[1]的例4——

解（x-y2）2=6-42

x2+2y2-2xy2=6-42

（x2+2y2-6）+（4-2xy）2=0

x2+2y2-6=0，

4-2xy=0，（21y）2+2y2-6=0，

x=21y，

y2=1，

x=21y，x=2，

y=1。或x=-2，

y=-1。

忠告：做“知识迁移”要深思熟虑！

参考文献

[1]赵建勋。一类方程的巧解[J]。中学生数学，2013（14）.

中国数学史中的正负数及其运算法则文为山东省高校人文社科研究计划课题“数学文化及其在数学教育中的应用研究”（编号J11WH11）、全国教育科学“十二五”规划课题——“数学史应用于数学教育的方法论研究（DHA130273）”成果之一。endprint

文[1]有这么一段——

四、巧用实数相等的意义

当a，b，c都是有理数，且c>0，则形如a+bc的数，称为实数。a为有理部，b为无理部。两个实数相等的意义是：有理部等于有理部，无理部等于无理部.

例4已知x，y为有理数，且（x-y2）2=6-42，求x，y的值.

解由已知条件，得x2+2y2-22xy=6-42.

由实数相等的意义，得x2+2y2=6，

2xy=4。

由2xy=4得x=21y.

把x=21y代入x2+2y2=6，得（21y）2+2y2=6，y4-3y2+2=0，（y2-2）（y2-1）=0。解得y=±1或y=±2（不合题意，舍去）.

把y=±1代入x=21y，得x=±2.

因此，x，y的值为x=2，y=1；或x=-2，y=-1.

点评此题为概念解题，十分巧妙，值得一学.

质疑“当a，b，c都是有理数，且c>0，则形如a+bc的数，称为实数。……”那么，（1）不形如a+bc（a，b，c都是有理数，且c>0）的无理数，如π，312，2+3，lg2，…，还是实数吗？（2）有理数2+34（这里，a=2，b=3，c=4，符合文[1]要求）的“有理部”是2、“无理部”是3吗？（3）显然，2+34=8+04，但2+34与8+04的“有理部”不相等（2≠8），“无理部”也不相等（3≠0）呀！

结论文[1]所谓“实数、有理部、无理部、实数相等的意义”等概念，挂一漏万，不能自圆其说。不可取！

猜想文[1]作者可能是由复数（complex numbers）的“实部”、“虚部”突发奇想，制造了实数的所谓“有理部”、“无理部”。可惜作者没有注意到：复数有统一的虚数单位i，而实数没有统一的无理数单位！

定理若a，b都是有理数，α是无理数，则a+bα=0a=0，

b=0。

证明假设b≠0，则由a+bα=0得α=-a1b（有理数），这与已知“α是无理数”矛盾。假设错误！所以b=0。把b=0代入a+bα=0，得a=0。证毕.

让我们利用这个定理来解文[1]的例4——

解（x-y2）2=6-42

x2+2y2-2xy2=6-42

（x2+2y2-6）+（4-2xy）2=0

x2+2y2-6=0，

4-2xy=0，（21y）2+2y2-6=0，

x=21y，

y2=1，

x=21y，x=2，

y=1。或x=-2，

y=-1。

忠告：做“知识迁移”要深思熟虑！

参考文献

[1]赵建勋。一类方程的巧解[J]。中学生数学，2013（14）.

中国数学史中的正负数及其运算法则文为山东省高校人文社科研究计划课题“数学文化及其在数学教育中的应用研究”（编号J11WH11）、全国教育科学“十二五”规划课题——“数学史应用于数学教育的方法论研究（DHA130273）”成果之一。endprint

文[1]有这么一段——

四、巧用实数相等的意义

当a，b，c都是有理数，且c>0，则形如a+bc的数，称为实数。a为有理部，b为无理部。两个实数相等的意义是：有理部等于有理部，无理部等于无理部.

例4已知x，y为有理数，且（x-y2）2=6-42，求x，y的值.

解由已知条件，得x2+2y2-22xy=6-42.

由实数相等的意义，得x2+2y2=6，

2xy=4。

由2xy=4得x=21y.

把x=21y代入x2+2y2=6，得（21y）2+2y2=6，y4-3y2+2=0，（y2-2）（y2-1）=0。解得y=±1或y=±2（不合题意，舍去）.

把y=±1代入x=21y，得x=±2.

因此，x，y的值为x=2，y=1；或x=-2，y=-1.

点评此题为概念解题，十分巧妙，值得一学.

质疑“当a，b，c都是有理数，且c>0，则形如a+bc的数，称为实数。……”那么，（1）不形如a+bc（a，b，c都是有理数，且c>0）的无理数，如π，312，2+3，lg2，…，还是实数吗？（2）有理数2+34（这里，a=2，b=3，c=4，符合文[1]要求）的“有理部”是2、“无理部”是3吗？（3）显然，2+34=8+04，但2+34与8+04的“有理部”不相等（2≠8），“无理部”也不相等（3≠0）呀！

结论文[1]所谓“实数、有理部、无理部、实数相等的意义”等概念，挂一漏万，不能自圆其说。不可取！

猜想文[1]作者可能是由复数（complex numbers）的“实部”、“虚部”突发奇想，制造了实数的所谓“有理部”、“无理部”。可惜作者没有注意到：复数有统一的虚数单位i，而实数没有统一的无理数单位！

定理若a，b都是有理数，α是无理数，则a+bα=0a=0，

b=0。

证明假设b≠0，则由a+bα=0得α=-a1b（有理数），这与已知“α是无理数”矛盾。假设错误！所以b=0。把b=0代入a+bα=0，得a=0。证毕.

让我们利用这个定理来解文[1]的例4——

解（x-y2）2=6-42

x2+2y2-2xy2=6-42

（x2+2y2-6）+（4-2xy）2=0

x2+2y2-6=0，

4-2xy=0，（21y）2+2y2-6=0，

x=21y，

y2=1，

x=21y，x=2，

y=1。或x=-2，

y=-1。

忠告：做“知识迁移”要深思熟虑！

参考文献

[1]赵建勋。一类方程的巧解[J]。中学生数学，2013（14）.

中国数学史中的正负数及其运算法则文为山东省高校人文社科研究计划课题“数学文化及其在数学教育中的应用研究”（编号J11WH11）、全国教育科学“十二五”规划课题——“数学史应用于数学教育的方法论研究（DHA130273）”成果之一。endprint