深入研究课程标准，精心选取课程内容

李树臣

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》提出了五条“课程基本理念”，并且对教材编写提出了“科学性、整体性、过程性、现实性、弹性和可读性”的具体建议。这些理念建议从宏观上体现了国家的意志，具有强制性和规范性，是我们进行教材编写、教学改革必须遵循的总原则。本文以青岛版《义务教育教科书·数学》（七—九年级）为例，就课程内容选取的主要原则介绍如下：

1整体体现课程内容的核心

《课标（2011年版）》针对“课程内容”指出，“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。”可见，这十个关键词应成为课程内容的核心，课程内容的选取要突出它们的核心地位，以其为主线进行整体设计。

例如，模型思想是指把现实世界中有待解决或未解决的问题，从数学的角度发现问题、提出问题、理解问题，通过转化，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，并综合运用所学的数学知识求得解决的一种数学思想和方法。青岛版教科书十分注重对模型思想的渗透，可以说渗透模型思想的意识几乎体现在教科书的每一个章节里。数学中的各种基本概念、法则、知识等，都是以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的。如正、负数是表示“具有相反意义的量”的数学模型；有理数的加法法则是借助于数轴模型探索得到的；分式是表示两个整式相除的数学模型；方程及不等式都是在已知数和未知数之间建立的一个数学模型；函数是表示两个集合之间对应关系的一个数学模型；三角形全等是描述图形重合的数学模型；相似形则是表示形状相同的数学模型；400个同学的学校里一定有两个同学是同一天出生的数学模型叫做抽贴原理；转盘游戏的评判与设计的关键在于建立概率模型；测量不可到达的两点之间的距离，就是通过建立全等或相似三角形的模型加以解决的典型例子……。可见，数学教学实际上就是教给学生前人构建的一个一个的数学模型，并逐步形成模型思想的过程。

2突出科学性，反映数学的本质

《课标（2011年版）》明确指出：“科学性是对教材编写的基本要求。教材一方面要符合数学的学科特征，另一方面要符合学生的认知规律。”我们在编写青岛版教科书时，始终把准确理解《课标（2011年版）》的精神、全面体现其基本理念和具体落实它的各项目标作为出发点和落脚点，所选课程内容都是与数学有实质性联系的、符合学生认知水平和年龄特点的素材，这些材料能帮助学生正确理解数学的实质，提高对数学的兴趣。

案例1：零指数幂和负整数指数幂的建立过程（七（下））。

零指数幂是在学生学过的正整数指数幂的基础上，对指数范围进行的第一次扩充。教科书巧妙地把一则国际象棋发名者的数学故事作为情境。通过表格形式，引导学生利用正整数指数幂，发现棋盘中从第2个方格开始，各个方格中麦粒数目的排列规律，然后提出挑战性问题：能把棋盘中第1格中的麦粒数写成底数是2的幂的形式吗？启发学生进行数学猜想。教科书又通过卡通人物的对话，说出学生发现新知的喜悦和随之而来的困惑：“20=1，这在数学上合理吗？”从而转向数学自身对零指数幂产生背景的探索：在同底数幂除法的运算性质中，被除式指数与除式指数大小限制如果放宽，即在除式am÷an=am-n中，允许m=n，将会得出a0=1（a≠0）的结果。经历这一过程，学生不仅可以了解数学上指数概念是怎样扩充的，掌握有关的知识技能，而且还能感受零指数幂意义“规定”的合理性。

负整数指数幂的引进是在将指数范围扩充到自然数范围后，指数范围的又一次扩充。教科书先从2的正整数指数幂和零指数幂的意义出发，利用动点从数轴上原点的右侧向原点跳动的背景，从动点依次落在数轴上的点23=8，22=4，21=2，20=1，引导学生思考当动点继续跳动时将会出现2-1，2-2，2-3，…的情况，并且依照上面跳动的规律将会得到2-1=112，2-2=114，2-3=118，…的结果，由此引出负整数指数幂的意义；然后借助学习零指数幂所获得的经验，继续扩大同底数幂的除法中对被除式指数不小于除式指数的限制，从而对负整数指数幂的意义做出合理的“规定”。

最后再通过具体的验证，让学生体会零指数幂、负整数指数幂意义的“规定”与原有的幂的运算性质是无矛盾的，从而完成指数概念和运算性质的扩展。

3贴近学生的生活现实

数学来源于生活又服务于生活，数学中的许多知识点都有“生活”基础。因此，《课标（2011年版）》要求“素材的选用应当充分考虑学生的认知水平和活动经验。这些素材应当在反映数学本质的前提下尽可能的贴近学生的现实，以利于他们经历从现实情境中抽象出数学知识与方法的过程。”这里的现实，主要包括生活现实、数学现实和其他学科的现实。

青岛版教科书中的数学概念、运算法则、性质等，都是以各种各样的现实问题作为情境，引导学生进行观察、思考、操作、探究发现的。这样的素材可使学生有更多的机会从周围熟悉的事物中学习和理解数学，从而体会到数学就在自己的身边，感受到数学的趣味和作用、数学与现实生活的联系，体验到数学的魅力，逐步树立起“数学生活化”、“生活即数学”的观点，真正实现“数学问题生活化”的目的。

案例2：抽样调查概念的形成过程（七（上））。

普查和抽样调查是两种不同的调查方式，运用普查可以获得准确全面的数据资料。然而对于许多问题，没有必要甚至也不可能得到与问题有关的所有数据，这时应采用抽样调查的方式，为了引出这个概念，青岛版教科书是用以下三个问题引导学生进行分析与思考的：

（1）某部门要调查全省七年级学生每周课外活动的时间；

（2）质量监督部门要检测某种品牌的复合木地板的耐磨程度；

（3）河务部门要了解7月份流经某水文站的黄河河水的泥沙含量。endprint

显然这些问题都是与学生的生活实际有关的，它们说明：问题（1）中的学生人数多，如果采用普查的方法，要耗费大量人力物力和财力，并且这种调查的结果也不需要准确值；问题（2）中如果采用普查的方法，需要对该品牌的每块地板都进行试验，这种试验是破坏性的；问题（3）中，不可能将7月份流经该地的黄河水全部封存，然后让泥沙沉淀，再测出泥沙的质量。因此，问题（1）（2）（3）不能通过普查来收集数据。这时，引出抽样调查概念恰到好处。这样的生活素材能让学生体会到引进抽样调查的必要性，帮助学生理解抽样调查的意义，也说明了数学的发展是为了解决生活、生产中实际问题的需要。

4体现螺旋式上升的原则

《课标（2011年版）》指出：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的。”“教材在呈现相应的数学内容与思想方法时，应根据学生的年龄特征与知识积累，在遵循科学性的前提下，采用逐级推进、螺旋上升的原则”。

案例3：函数概念的形成与发展。

函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，也是“数与代数”的重要内容。在传统的教科书中，代数式与函数的知识都是分别独立出现的，并且函数概念出现的较晚。国际数学课程改革的研究和实践表明，对变化规律的探索、描述应从低年级非正式的开始，早期让学生经历函数的形成与变化过程对其发展是十分重要的。

青岛版教科书对函数的处理安排就吸收了最新的研究成果，采取了“提前渗透、分层推进、及时穿插、不断深化”的编排方式，具体说来，对函数内容的呈现是分三个阶段完成的：

第一阶段安排在七（上），初步感受函数概念：主要内容是结合代数式的学习及早给出函数概念。鉴于代数式与函数知识存在着内在的逻辑关联，我们利用这一关联，在学生学习完求代数式的值后，通过一些具体例子让他们感受到当代数式中字母的取值发生变化时代数式的值也相应发生变化，并适时给出变量与函数的概念。

第二阶段安排在八（下），函数知识的理解与应用阶段：主要内容有一次函数的概念、图象、性质及利用一次函数图象解二元一次方程组及一元一次不等式。本阶段首次经历用初等方法研究函数的过程，如用描点法画函数图象，以及通过图象研究函数的性质，同时使学生进一步感受数形结合思想，并体会一次函数与二元一次方程、一元一次不等式的联系，从而对函数有进一步的认识。

第三阶段安排在九（下），主要是深化对函数的认识：在“对函数的再探索”中，学生将在已有认识的基础上，从函数的自变量取值范围和对应这两个要素深化对函数概念的认识。这里再次给出的函数定义比七（上）给出的定义进了一步，更加接近函数的近代定义。本阶段，学生将再次利用初等方法研究反比例函数、二次函数的性质以及二次函数与一元二次方程的联系，进一步获取用初等方法研究函数的体验，为高中阶段继续学习函数打下必要的基础。

5注重知识的形成和应用过程

《课标（2011年版）》提出“课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系。”教材的编写应根据课程内容，尽量体现知识的形成过程和应用过程。

5。1体现数学知识的形成过程

青岛版教科书在设计一些新知识的学习活动时，注意展现“知识背景——知识形成——揭示联系”的过程，对于一个个的数学知识点不能直接向学生作简单的介绍，而是结合具体的知识点，精选恰当的学习素材，设计必要的数学活动，让学生在经历观察、实验、猜测、推理、交流与反思的过程中，以已有的知识和经验为基础进行积极“和谐”的建构过程，从而把新的学习内容正确地纳入到已有的认知结构中。

案例4：加法交换律和结合律的学习（七（上））

教科书直接用“观察与思考”栏目提出了下面两个问题，引导学生进行观察、思考、归纳等活动。

（1）分别计算下面的算式，比较每组中两个加数的位置和运算结果。你能得出什么结论？

①（-8）+（+5）=；

（+5）+（-8）=；

②（-3。5）+（-4。3）=；

（-4。3）+（-3。5）=。

再任取两个数相加，并交换加数的位置，还能得出同样的结论吗？

（2）任意取三个有理数a，b，c，如a=-2，b=5，c=-8，分别计算（a+b）+c与a+（b+c），比较两个算式的运算顺序及运算结果。你发现了什么？再换三个数试一试，你能得到什么结论？与同学交流。

第（1）个问题是为了引导学生发现、归纳加法交换律的。教材安排这两组题目的目的是让学生通过计算，发现每组中两个加数的位置虽然不同，但结果是一样的。“再任取两个数相加，并交换加数的位置，还能得出同样的结论吗？”，是为了归纳的需要，这里“任取”二字很重要，是由特殊到一般的过程。在学生完成以上问题后，学生已经意识到加法交换律在有理数范围内仍然是适用的。教材适时给出了加法交换律，并给出了字母表示。学生借助探究加法交换律的经验，不难对问题（2）作出回答，并得到加法结合律。

从这两个法则的归纳过程看，该设计注重了学生的活动，这样做既尊重了学生的个性，又促进了学生的发展。教科书中的许多知识都是用类似这样的形式呈现的，这样处理，将有利于学生理解数学的实质，发展学生的思考能力，并逐渐形成良好的数学思维习惯。

5。2反映数学知识的应用过程

学习数学的主要目的是利用数学知识解答所遇到的实际问题，在解答这些问题的过程中，形成并发展同学们的数学能力，养成用数学的眼光看待问题的习惯。教材的编写应精心设计能运用数学知识解决问题的活动，这样的活动应体现《课标（2011年版）》提出的“问题情境——建立模型——求解验证”的要求。

青岛版教科书对于所有的教学内容，在引导学生探索和发现得到新的数学知识后，都设计了运用新知识解决问题的活动。另外，还精心设计了综合与实践活动。一方面在学习了相关的知识后，就安排一些能利用这些知识进行的简单实践活动，如学习了普查和抽样调查的知识后，安排学生上网查询第六次全国人口普查的有关资料；学习了三角形全等的知识后，设计了如何测量不可到达的两点之间的距离；学习了解直角三角形的知识后，引导学生测量某建筑物的高度等。类似这样的实践活动，教科书都会结合“恰当”的知识点及时安排学生去做。另一方面还在每一册教科书中设计了一个（九（下）两个）适用于“综合与实践”学习活动的题材，这样的题目以“长作业”的形式出现，目的是以此将课堂内的数学活动延伸到课堂外，让学生经历收集数据、查阅资料、独立思考、合作交流、实践检验、推理论证等多种形式的活动。

6突出知识之间的实质性联系

《课标（2011年版）》强调“教材编写应体现整体性”，指出“教材的整体设计要呈现不同数学知识之间的关联。一些数学知识之间存在逻辑顺序，教材编写应有利于学生感悟这种顺序。”我们知道，很多数学知识之间存在着实质性的联系，这种联系既体现在《课标（2011年版）》界定的“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”四个方面中的某一个方面内部，也体现在四个方面之间。

例如，我们将“勾股定理”和“数的开方”合为“实数”一章。这种处理方式是符合数学史实的。由《课标（2011年版）》可知，勾股定理和无理数分别是“图形与几何”和“数与代数”两个方面的核心内容，它们分别代表着“形”和“数”。从科学发展史来看，二者是并存发展的，硬把它们分开处理既不符合史实，教学中也不好处理。如2、3等无理数是伴随着勾股定理的发现而诞生的，所以说无理数使得勾股定理对于边长是任意正数的直角三角形都能成立，反过来，勾股定理使得无理数有了明确直观的几何解释。

可见，这种安排是还实数（勾股定理）到其应在的“位置”之中。二者合为一体，揭示了他们之间本来固有的实质性的联系，体现了数学的整体性和文化价值。除此之外，这种整体设计方式不仅解决了传统教材中将二者分设后，究竟先安排勾股定理再安排无理数，还是先安排无理数再安排勾股定理的矛盾。还突出了对数形结合思想的渗透。

编写教科书所遵循的原则还有许多，如重视实验活动、充分利用信息技术等。我们这里陈述的仅是主要原则。希望教师们深入研究《课标（2011年版）》及相关的材料，加强交流，不断吸收国内外对课程研究的新成果，努力为我国的课程建设作出自己的贡献。endprint