零和自由半环上可逆矩阵的一些性质
2014-03-19龙艳华王学平
龙艳华, 王学平
(1. 成都学院 师范学院, 四川 成都 610106; 2. 四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)
1 预备知识
矩阵是重要的数学工具,在科研信息理论、不确定信息处理、图像处理、计算智能、群体决策等方面有着广泛应用[1-9].半环上的矩阵理论也在最优化理论、运筹学、自动化控制、离散事件网络与图论的模型方面有许多应用[5,10-15],其中,半环上的可逆矩阵是一类重要的矩阵.1952年,R. D. Luce[16]讨论了布尔代数(一种特殊的半环)上的布尔矩阵,证明了矩阵可逆当且仅当它是一个正交矩阵.从那以后,半环上可逆矩阵的理论得到了广泛研究[17-19].特别地,C. K. Zhao[20]得到了在Brouwer格上矩阵可逆存在的必要条件和充分条件,S. C. Han等[21]给出了坡矩阵可逆的一些充分必要条件,Y. J. Tan[22]考虑了交换零和自由半环(亦称为反环[22])上的可逆矩阵,得到了矩阵可逆的一些充要的条件.事实上,max-plus代数、min-max代数、完备Brouwer格、模糊代数、坡代数和瓶颈代数等都是半环[2,6,23-24].本文主要讨论交换零和自由半环上可逆矩阵的性质及其判定定理.
2 矩阵的一些性质
定义2.1[12]设R是一个非空集合,如果在R中有2个代数运算“+”和“·”使:
(i) (R,+,0)是一个交换幺半群;
(ii) (R,·,1)一个幺半群;
(iii) ∀r,s,t∈R,
r·(s+t)=r·s+r·t,(s+t)·r=s·r+t·r;
(iv) ∀r∈R,0·r=r·0=0;
(v) 0≠1,
则称R=〈R,+,·,0,1〉为半环.如果∀r,r′∈R,r·r′=r′·r,则称半环R是交换的.
设R=〈R,+,·,0,1〉是半环,若对∀a,b∈R,a+b=0蕴含a=b=0,则称半环 R是零和自由的.如果对∀a∈R,存在b∈R使得ab=ba=1,则称b是a的逆.容易证明,半环上a的逆元是唯一的.用U(R)表示半环R上所有可逆元的集合.若对∀a∈R都有a∈U(R),则称半环R是半域.
设R=〈R,+,·,0,1〉是半环,用Mm×n(R)表示R上所有m×n阶矩阵的集合.特别地,用Mn(R)表示半环R上所有n阶方阵的集合,用Vn(R)表示R中所有n维列向量的集合.明显地,Vn(R)=Mm×1(R).设A=(aij)∈Mn×m(R),用AT=(aij)m×n表示A的转置.设
定义2.2[25-26]设A∈Mn(R)且An(或SnAn)为{1,2,…,n}的偶(或奇)置换集合.矩阵A的双行列式|A|是一个序对|A|=(|A|+,|A|-),其中
或
其中
定义2.3设D∈Mn(R),任意选择D中k行k列(k≤n).如果位于这些行和列的交点上的k2个元素按照原来的次序组成k×k阶矩阵M,则称矩阵M为D的子矩阵,称M的双行列式det(M)为det(D)的k级子式.如果划去D中的k行k列,剩下的元素按照原来的次序组成(n-k)×(n-k)阶矩阵M′,称矩阵M′为M的余矩阵,称M′的双行列式det(M′)为det(M)的余子式.
以下如果没有特别说明,假定半环是交换的零和自由半环.
3 主要结果
对∀A∈Mn(R),如果存在B∈Mn(R)使得AB=I(BA=I),则称A是右(左)可逆的.如果A既是右可逆的又是左可逆的,则称A是可逆的.用GLn(R)表示Mn(R)中所有可逆矩阵的集合.设A,B∈Mn(R),若AB=In,则BA=In.
证明因A=(aij)∈Mn(R)是可逆的,设B=(bij)∈Mn(R)使AB=BA=I,因此B也可逆.设A1,B1∈Mn-1(R)分别是矩阵A、B去掉第i行、第j列后的余矩阵,则矩阵A、B、A1和B1分别为:
即A1B1=In-1,由引理3.1知B1A1=In-1,故A1可逆.
定理3.2如果A∈Mn(R)是可逆的,则A的所有行列上有且只有一个元素不为零.
(1)
a1j=a2j=…=ai-1,j=
ai+1,j=…=anj=0,
同理,由BA=I得
ai1=ai2=…=ai,j-1=
ai,j+1=…=ain=0.
注3.1定理3.2的逆命题一般不成立.
例3.1设R=〈R,+,·,0,1〉为图1所示的半环(在定义2.1中,+=∨,·=∧),
但A不可逆.
推论3.2设A∈Mn(R)是可逆的对角矩阵,
则A对角线上的元素全不为零.
定理3.3设A∈Mn(R)是可逆的,则|A|+和|A|-有且只有一个不为零.
证明由定理3.2知A的所有行列上有且只有一个元素不为零.不妨设a1σ(1),a2σ(2),…,anσ(n)不为零,其中,σ(1),σ(2),…,σ(n)是{1,2,…,n}的排列.若σ(1),σ(2),…,σ(n)是{1,2,…,n}的偶排列,则有
|A|+=a1σ(1)a2σ(2)…anσ(n)≠0,
|A|-=a1σ(2)a2σ(1)…anσ(n)=0.
反之,若σ(1),σ(2),…,σ(n)是{1,2,…,n}的奇排列,则有
|A|-=a1σ(1)a2σ(2)…anσ(n)≠0,
|A|+=a1σ(2)a2σ(1)…anσ(n)=0.
故定理成立.
引理3.2[22]设R是零和自由半环,A∈Mn(R),以下各条件等价:
1)A是左可逆的;
2)A是右可逆的;
3)A是可逆的;
4)ATA是可逆的对角矩阵;
5)AAT是可逆的对角矩阵;
6)AAT和ATA都是可逆的对角矩阵.
定义3.1设In∈Mn(R)是单位矩阵,将交换In的第i行和第j行后所得到的矩阵Pi↔j称为初等矩阵.
AT=(aji).
引理3.3[22]在零和自由半环R上,A∈Mn(R)是可逆的,则A[n]是可逆对角阵,其中,[n]是1,2,…,n的最小公倍数.
定理3.5在零和自由半环R上,A∈Mn(R),如果A是可逆的,则A[k]是可逆对角阵,其中,k是矩阵A对角线上为零的元素的个数,[k]是1,2,…,k的最小公倍数.
定理3.6在零和自由半环R上,A∈Mn(R),以下各条件等价:
1)A是左可逆的;
2)A是右可逆的;
3)A是可逆的;
4)ATA是可逆的对角矩阵;
5)AAT是可逆的对角矩阵;
6)AAT和ATA都是可逆的对角矩阵;
证明由引理3.2知仅需证3)⟺7).7)⟹3)显然成立.
由定理3.2和3.6可得到推论3.4.
推论3.4在零和自由半域R上,A∈Mn(R),A可逆当且仅当A的所有行列上有且只有一个元素不为零.
引理3.4[12]设A∈Mn(R),若A可逆,则|A|+≠|A|-.
定理3.7设A∈Mn(R),若存在A的一个子阵B,使得|B|+=|B|-,则|A|≡0.
证明由定义2.2知
不妨设B∈Mn-k(R),则有
其中,ε(1),ε(2),…,ε(k)是{1,2,…,k}的排列.又因为|B|+=|B|-,即有|A|+=|A|-,则|A|≡0.
注3.2反之,若A∈Mn(R),|A|≡0,则不一定存在A的一个子阵B,使得|B|+=|B|-成立,如例3.2.
例3.2设R=〈R,+,·,0,1〉,a+b=g·c·d·{a,b}(即a、b的最大公因子),a·b=l·c·m·{a,b}(即a、b的最小公倍数).
设A∈Mn(R),
|A|+=2·1·3=6,|A|-=(1·1·12)+(2·6·6)=12+6=6=|A|+,即|A|≡0.但不存在A的子阵B使得|B|+=|B|-.
注3.3由引理3.4知,设A∈Mn(R),若|A|+=|A|-,则A不可逆.
由定理3.7、引理3.4及定义知推论3.5成立.
推论3.5设A∈Mn(R),如果存在A的子阵B使得|B|+=|B|-,则A不可逆.
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