星系中轴子暗物质分布的研究

肖斗玉, 颜 骏, 李宝霖, 田红金

(四川师范大学 物理与电子工程学院, 四川 成都 610066)

20世纪30年代,天文学家F. Zwicky发现,在星系团中可能存在着大部分看不见的物质,这一发现首先预言了暗物质的存在[1-10].文献[11-14]测量了围绕某个极高温恒星的气体云所发出的光的红移,由于谱线的红移正比于发光物体的速度,所以通过红移能得出星体围绕星系旋转的速度,结果发现随着星云到星系中心距离的增加,星云的旋转速度变得越来越平缓,并且趋于一个与距离几乎无关的定值,这一结果与牛顿引力理论相矛盾,因为从牛顿引力理论中可知物体的旋转速度是与旋转半径成反比的.文献[11-14]的观测结果说明,在星系中可见物质的引力不能产生这么大的旋转速度.为了解释这一现象,人们认为星系团中可能存在暗物质,而且暗物质的质量必须比可见物质大很多才能解释实际观测的结果.目前暗物质存在的证据都是通过引力效应而得到的,例如星系转动曲线、引力透镜效应、宇宙微波背景辐射、宇宙大尺度的结构等.根据这些观测证据,可以推测出暗物质粒子的主要特点是：不发光也不会反射光、电中性、长寿命、相互作用较弱.暗物质的主要候选者有：原初黑洞、镜物质、轴子、WIMP等.观测证据还表明：宇宙中可见物质的质量约占宇宙总质量的4%,暗物质约占宇宙总质量的23%,而其余73%的物质称为暗能量.

本文以轴子暗物质作为研究对象[15-17].首先,找出描写轴子的宏观波函数,从而计算出星系晕中轴子的质量,再根据牛顿引力理论得出星系的旋转速度和距离的关系,并作出速度距离关系图,然后将其与实际观测的结果和其它理论比较.

量子色动力学虽然能很好地解释强相互作用中的一些实验现象,但也存在一些疑难问题,为了解释QCD中的CP破缺问题,R. Peccei和H. Quinn等假设存在一种轻的长寿命的中性玻色子,这种粒子称为轴子.

1 Robertson-Walker度规下的Gross-Pitaevski方程

设弯曲时空下轴子的拉氏量为

(1)

弯曲时空下的欧拉方程为

(2)

将(1)式代入(2)式得弯曲时空下的Gross-Pitaevski(GP)方程为

(3)

均匀各向同性膨胀宇宙可以由Robertson-Walker(RW)度规描写

gμv=

(4)

其中,R(t)是标度因子,k是空间曲率常数,目前天文观测表明宇宙整体趋于平坦,即k≈0.将(4)式代入(3)式得到膨胀宇宙背景下的GP方程为[19]

(5)

(6)

对GP方程(6)中波函数ψ进行分离变量,即

ψ(t,r,θ,φ)=ψ(t)ψ(r,θ,φ),

(7)

这时方程(6)化为如下2个方程

(8)

(9)

式中,λ是常数,ψ(t)是时间波函数,ψ(r,θ,φ)是空间波函数,对方程(9)中空间波函数进一步分离变量

ψ(r,θ,φ)=ψ(r)Y(θ,φ),

(10)

于是方程(9)化成2个方程

(11)

式中,β是常数,ψ(r)是径向波函数,方程(11)中Y(θ,φ)为球谐函数,当β=l(l+1)时,存在有限解

l=0,±1,±2,…;m=0,±1,±2…

2 轴子波函数与星系中的暗物质分布

2.1 膨胀宇宙中的轴子密度 根据径向方程(12)式有

(13)

(14)

方程(14)为标准的球贝塞尔方程,所以径向方程(14)的解可表示为

(15)

因此轴子总波函数应为

(16)

(17)

经计算后得到含时波函数的解为

(18)

于是轴子的总波函数为

ψ=ψ(t)ψ(r,θ,φ)=Ct-3α/2×

而轴子暗物质密度为

ρ(r,t)～ψψ*=|ψ|2.

(20)

根据(19)和(20)式可得轴子密度表达式为

(21)

这时背景宇宙呈现幂律膨胀,比暴胀状态的膨胀速度慢,此时轴子密度随时间t按t-3α衰减

(22)

2.2 无作用轴子暗物质的分布 在轴子凝聚中可形成量子化环流[20],这种环流可用如下表达式描述

(23)

C代表环绕一个漩涡的任一环,u代表环流速度,l=0,对应无漩涡状态,环流为零,在转动环境下凝聚物中漩涡将形成.在凝聚中l>1的漩涡不稳定,将衰变为量子数l=1的漩涡,因此本文仅研究基态l=0和稳定激发态l=1的情况.

对于l=0,m=0的基态情况,无漩涡形成,在(21)式中

所以轴子密度变为

(24)

(25)

其中,R(t)为宇宙标度因子,某一固定时刻的轴子密度为

(26)

(27)

所以星体速度为

(28)

这时星系中轴子暗物质的质量为

(29)

(30)

将(30)式代入(28)式得到

(31)

对于l=1,m=0的是激发态,可形成稳定漩涡态.这时轴子密度为

(32)

所以球坐标系中轴子的暗物质质量为

2cos(2aR)+aRsin(2aR)),

(33)

v(R)={(-2+2a2R2+2cos(2aR)+

(34)

这时星云约化速度v和到星系中心的距离R的关系如图2所示.

由图1和图2比较后可以看出,星系的旋转速度随着距离的增大而增大,并振荡趋于一个定值.当轴子暗物质处于基态时,星系的旋转速度较大,轴子处于激发态时,星系的旋转速度较小,这定性解释了天文观测中的暗物质分布规律.

2.3 化学势μ≠0时,轴子暗物质的分布 当即轴子的相互作用很弱,可忽略,当V(r)=0,即轴子与其它物质无相互作用.如果μ≠0,那么轴子与外界有能量交换.这时方程(6)变为

(35)

如果μ=μ0/R(t)为随时间变化的化学势,那么(35)式将无法分离变量,而标度因子取R=1的特殊情况,即宇宙标度因子不随时间变化时,则GP方程(35)变为

(36)

其中,α=8π2mμ0/h2(μ0>0或μ0<0).

对于l=0的基态无漩涡情况,当α>0,则方程(36)的解为

(37)

其中,C1和C2为积分常数.当α<0,则方程(36)的解为

(38)

令

则轴子密度有如下可能的组合形式

(39)

(40)

当轴子密度取ρ1时,轴子暗物质的质量为

(41)

此时v(R)和R的关系为

(42)

当轴子密度取ρ2时,轴子暗物质的质量为

(43)

此时v(R)和R的关系为

(44)

当轴子密度取ρ3时,轴子暗物质的质量为

(45)

此时v(R)和R的关系为

(46)

当轴子密度取ρ4时,轴子暗物质的质量为

(47)

此时v(R)和R的关系为

(48)

所以,μ≠0,l=0时,上述4种情况得出的星云速度和到星系中心的距离的关系与实际观测不相符,因此基态情况下得不到与观测相吻合的轴子分布规律.

对于l=1的激发态有漩涡形成的情况,方程(36)变为

(49)

这时方程(49)的解为

(50)

所以轴子密度为

(51)

此时轴子暗物质的质量应为

(52)

将(52)式代入(28)式,得到星云约化速度v和到星系中心的距离R的关系如图3所示.

当μ≠0时,这时轴子暗物质与外界有能量交换,从图3可看出,星云速度v和到星系中心的距

离R的关系也比较符合实际观测结果.

在银河系中暗物质的质量大约为太阳质量的12.2×1011倍,而太阳质量M⊙=1.989×1030kg,因此暗物质的质量不超过Md=2.426 58×1042kg,由牛顿万有引力定律得星云旋转速度为

(53)

其中,牛顿引力常数G=6.67×10-20km3/(kg·s2),取星体离星系中心的距离约为10 kpc,由(53)式得星云旋转速度的上限为vd≈734 km/s.由于地球到太阳的距离为Re≈1.496×108km,根据(53)式可得出地球绕太阳的旋转速度为ve≈29.8 km/s,所以vd≫ve,由此可知引入暗物质才能解释星云较大的旋转速度.

在本文计算作图时,横坐标表示星体离星系中心的距离,纵坐标表示约化速度v,其定义为

(54)

3 结论与讨论

在本文中研究了4种情况,即:l=0,μ=0;l=1,μ=0;l=0,μ≠0;l=1,μ≠0.前面2种情况没有考虑化学势,是比较理想的物理状况,结果表明无论是基态还是激发态,所得到的v(R)～R关系图与实际观测的都比较吻合.后2种情况中化学势不为零,对应于比较真实的物理状况,这时l=0,μ≠0的情况下所得到的v(R)～R关系图与实际观测的不相符,而l=1,μ≠0的情况下所得到的v(R)～R关系图与实际观测比较符合,这说明基态并不描述真实的物理状况,当化学势存在时,也就是轴子暗物质与外界有能量交换的时候,处于激发态的轴子暗物质的分布更符合真实的物理观测结果.

T. D. Lee等[21-22]提出在弱相互作用情况下宇称不守恒的观点,在此基础上,L. B. Okun等[23-25]提出镜子粒子的概念,随后文献[26-33]将镜子粒子跟暗物质联系起来.Z. Berezhiani等[34]同时考虑镜子暗物质和修改牛顿引力定律的情况,由此拟合出了星云旋转速度和到星系中心距离的关系曲线.

首先,本文不需要修改引力理论,目前在大尺度上修改引力理论的物理根源并不清楚；其次,本文中拟合出来的曲线有一定的波动性,与文献[11-14]的观测结果比较符合.而N. Rossi等[34]拟合出来的曲线并没有波动性；另外,本文考虑了物质与外界交换的情况,对应于比较真实的物理状况.

在前面的工作中,曾经研究了Q泡和Q球暗物质的能量稳定性和激发性质[35-36],本文进一步研究了轴子暗物质的分布规律,这些研究为暗物质的实验观测提供了理论依据和可能的物理解释.

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