M-矩阵与其逆的Hadamard积的最小特征值下界新的估计式

高美平

(文山学院 数学学院, 云南 文山 663000)

许多专家学者对矩阵特征值的估计进行了研究[1-14].因为M-矩阵是一类有重要应用背景的特殊矩阵,所以关于M-矩阵与其逆矩阵的Hadamard积的最小特征值下界的估计式成为被关注的问题之一[1-12].对于M-矩阵A与其逆A-1的Hadamard积最小特征值q(A∘A-1)下界问题.M.Fiedler等首先在文献[1]中得出

(1)

且猜想

(2)

随后文献[2-5,9]中证明了M.Fiedler和T.L.Markham的猜想.(2)式形式简单,计算容易,但矩阵A的阶数很大时,该估计式所得的效果不佳.文献[6]给出了改进的结果,即

其中ρ(J)是矩阵A的Jacobi迭代矩阵的谱半径.

当阶数n比较大时(3)式改进了(2)式,但由于ρ(J)计算比较复杂,于是文献[7]从矩阵的元素得出

(4)

其中

H. B. Li等[7]改进了以上结论, Y. Y. Li等在文献[8]中得出,当A是M-矩阵,A-1是双随机矩阵时q(A∘A-1)的估计式,即

(5)

文献[8]还得到M-矩阵A与其逆A-1的Hadamard积的最小特征值下界的估计式

(6)

其中

最近,文献[12]得到的结果为

(7)

本文继续对M-矩阵A与其逆A-1的Hadamard积的最小特征值下界问题进行研究,得到了q(A∘A-1)新估计式.

1 预备知识

下面先给出一些定义和引理,以便于后面的叙述.

设Cn×n(Rn×n)表示复(实)数域上所有n×n矩阵作成的集合,N表示正整数集.

定义1[15]设

Zn×n=A=(aij)|A∈Rn×n,

aij≤0, ∀i,j∈N,i≠j,

则称An×n的矩阵A为Z矩阵(简记为A∈Zn×n).

定义2[15]若矩阵A=(aij)∈Rm×n的所有元素aij≥0,则称矩阵A为非负矩阵,记为A≥0.非负矩阵A=(aij)m×n中的所有元素aij>0,则称矩阵A为正矩阵,记为A>0.

定义3[15]设A为Z矩阵且A-1≥0,则称A为(非奇)M-矩阵.

定义4[15]设矩阵A=(aij)m×n,B=(bij)m×n则矩阵A与B的Hadamard积为C=A∘B=(cij)m×n,其中cij=aijbij.

定义5[15]矩阵A=(aij)n×n的n个特征值λ1,λ2,…,λn组成的集合称为A的谱,记为σ(A).

定义7[15]若n阶实矩阵A的各行元素之和均为1,则称A为行随机矩阵;若n阶实矩阵A的各列元素之和均为1,则称A为列随机矩阵;若A与AT均为行随机矩阵,则称A为双随机矩阵.

定义8[16]设矩阵A=(aij)∈Zn×n,记q(A)=min{Re(λ):λ∈σ(A)},称q(A)为A的最小特征值.

引理1[7](a)若A=(aij)是n阶行严格对角占优矩阵,则A-1=(bij)满足

(b) 若A=(aij)是n阶列严格对角占优矩阵,则A-1=(bij)满足

j≠i,j∈N,

引理2[2]若A是M-矩阵,A-1是双随机矩阵,则Ae=e,ATe=e,其中e=(1,…,1)T.

引理3[17]设A=(aij)∈Cn×n,x1,x2,…,xn是任意给定的一组正实数,则A的所有特征值包括在复平面C的如下区域内

引理4[16]设A是非负矩阵,则存在对角元都是正实数的对角矩阵D1和D2使得D1AD2是双随机阵.

引理5[1]若P是不可约的M-矩阵且对于非负非零向量z满足Pz≥kz(其中k∈R),则k≤τ(P).

2 主要结论

2.1逆矩阵元素的估计以下给出严格对角占优矩阵A=(aij)的逆矩阵A-1=(bij)的元素bij的估计式.

定理1(a) 若A=(aij)∈Rn×n是行严格对角占优矩阵,则A-1=(bij)满足

(b) 若A=(aij)∈Rn×n是列严格对角占优矩阵,则A-1=(bij)满足

j≠i.

证明(a) 设

因为A是行严格对角占优矩阵,所以

因此,存在ε>0使得0

即

j≠i,j∈N.

(8)

当j=i时有

(9)

由(8)和(9)式知ARi(ε)是行严格对角占优矩阵.

由引理1(a)得

j≠i,j∈N.

也就是

j≠i,j∈N.

上式中令ε→0得

j≠i,j∈N.

(b) 设

因为A是列严格对角占优矩阵,所以

因此,存在ε>0,使得0

为了叙述方便,记为

注1定理1分别改进了文献[2,7-8]的引理2.2,定理2.1和引理2.2.

这是因为矩阵A是严格对角占优矩阵可得dk<1.文献[8]指出ri≤dk<1.另易证|mki|≤ri.事实上,

因此,若A是行严格对角占优的M-矩阵,则A-1=(bij)满足

j≠i,j∈N.

定理2若A=(aij)∈Rn×n是行严格对角占优的M-矩阵,则A-1=(bij)满足

证明一方面,由A是M-矩阵知:A-1=(bij)≥0.由AA-1=I得

即

于是

另一方面

由A=(aij)∈Rn×n是行严格对角占优的M-矩阵知

于是

因此

定理3若A=(aij)∈Rn×n是M-矩阵,且A-1=(bij)是双随机矩阵,则

所以A是严格对角占优矩阵.由定理1知

即

2.2M-矩阵与其逆的Hadamard积的最小特征值下界的估计式在文献[1-2,5-8,12]中分别给出了M-矩阵A与其逆矩阵A-1的Hadamard积的最小特征值下界的估计式为(1)～(7)式.下面给出M-矩阵A与其逆矩阵A的Hadamard积的最小特征值下界新的估计式.

定理4若A=(aij)∈Rn×n是M-矩阵,且A-1=(bij)是双随机矩阵,则

(10)

证明1) 若A是不可约的,因为A-1是双随机矩阵,所以由引理2知

aii>1,i∈N.

所以

因此,矩阵A是一个严格对角占优矩阵.设

则对于∀j∈N,j≠i有

因此,存在实数γji(0≤γji≤1)使得

所以

令

由A是不可约矩阵得

设A∘A-1的特征值为λ,由引理3知,存在i0∈N得

因此

(ai0i0-vi0Ci0)bi0i0=(ai0i0-vi0Ri0)bi0i0≥

2) 若A是可约的M-矩阵,则存在置换矩阵P使得

其中Ai1i1,Ai2i2,…,Aisis是不可约方阵.不失一般性,可假设A是块上三角形式

其中Ai1i1,Ai2i2,…,Aisis是不可约方阵,于是A-1仍为块上三角矩阵.因为

所以当A可约时,由1)的证明过程知,(10)式仍然成立.

定理5设矩阵A=(aij)∈Rn×n是M-矩阵,且A-1=(bij)是双随机矩阵,则

证明因为

且

由mki≤ri,得0≤vji≤mji,0≤vi≤mi,所以

aii-viRi≥aii-miRi≥aii-Ri>0.

因此

注2定理5指出,本文的定理4比文献[8]的定理3.2更加接近于q(A∘A-1).

定理6设矩阵A=(aij)∈Rn×n是M-矩阵,则

因此,为了方便和不失一般性,设A是不可约且A-1是双随机矩阵.

由A-1是双随机矩阵和引理2得:对于∀i∈N有

且q(A∘A-1)=q((A∘A-1)T)=q(AT∘(AT)-1).

令(AT∘(AT)-1)e=(q1,q2,…,qn)T,则

于是

由引理5知

因此

2) 当A是可约的M-矩阵时,证明与定理4的2)类似的方法可以证(11)式成立.

推论若矩阵A=(aij)∈Rn×n是M-矩阵,则

推论表明定理6比文献[8]的定理3.4更加接近于q(A∘A-1).

本文得到的M-矩阵A与其逆矩阵A-1的Hadamard积最小特征值的下界,改进了文献[8],而文献[8]改进了文献[7],文献[7]改进了文献[2-6].因此所得的结果是现有的结果提高.另外,新估计式的计算仅依赖于矩阵的元素.最后用数值算例表明文中得到的估计式比现有的估计式更为精确.

3 数值算例

下面给出数值算例以说明本文定理的正确性和有效性.

对于矩阵

显然矩阵A是严格对角占优的M-矩阵,且A-1是双随机矩阵.

1) 对矩阵A的逆矩阵A-1=(bij)的非对角元上界的估计.根据文献[3]的引理2.2得

(12)

把文献[7]的定理1(a)和推论2.5相结合得

(13)

根据文献[8]的引理2.2(a)得

(14)

根据定理1(a)得

(15)

由(12)～(15)式可看出,由定理1所得的结果比文献[3,7-8]所得的结果能更好地估计A-1的非对角元.

2) 对逆矩阵A-1的对角元的估计.由文献[7]的定理2.3和引理3.2,可知矩阵A-1的对角元的上界与下界的估计值为

0.341 9≤b11≤0.481 9;

0.340 4≤b22≤0.410 3;

0.341 9≤b33≤0.484 8;

0.340 4≤b44≤0.484 8.

由文献[8]的引理2.3和定理3.1,可以得到矩阵A-1的对角元的上界与下界的估计值

0.363 6≤b11≤0.444 4;

0.352 9≤b22≤0.3871;

0.400 0≤b33≤0.400 0;

0.400 0≤b44≤0.400 0.

如果根据本文的定理2和定理3得到矩阵A-1的对角元的上界与下界的估计值

0.379 1≤b11≤0.423 3;

0.360 9≤b22≤0.375 0;

0.400 0≤b33≤0.400 0;

0.400 0≤b44≤0.400 0.

对以上结果进行比较,可知定理2和定理3比文献[7-8]对矩阵A的逆矩阵A-1的对角元素的上界和下界更好地进行了估计.

3) 对A∘A-1的最小特征值下界的估计,由Fiedler和Markham的猜想得:q(A∘A-1)≥0.5.由文献[7]中的定理3.1得:q(A∘A-1)≥0.662 4;由文献[8]中的定理3.2得:q(A∘A-1)≥0.799 9;由本文定理4得:q(A∘A-1)≥0.825 0,而q(A∘A-1)的真实值为q(A∘A-1)=0.975 5.

对以上结果进行比较,可知定理4的结果有效地改进了M.Fiedler和T.L.Markham猜想以及文献[7-8]的结果.

致谢文山学院重点学科建设项目(12WSXK01)对本文给予了资助,谨致谢意.

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