三线摆测量物体转动惯量实验方法的改进

张国玺，丁 俊

（1.郑州幼儿师范高等专科学校，河南 郑州450000；2.河南工程学院 理学院，河南 郑州451191）

转动惯量是理论力学中的一个基本的物理量，它是刚体转动时惯性的量度，其量值取决于物体的形状、质量分布以及所选转轴的位置.对于几何形状简单、质量分布均匀的刚体可以直接用公式计算出它相对于某一确定转轴的转动惯量.但是，对于外形复杂和质量分布不均匀的物体就只能通过实验的方法来精确地测定其转动惯量了，因此用实验的方法来测量刚体的转动惯量就显得更为重要.测量物体转动惯量的方法很多，如三摆线法、扭摆法等.其中三摆线法有着物理图像清楚、操作简便易行、适合各种形状等优点.因此，三线摆测量物体转动惯量的实验一直以来都是理工科物理实验中一个常见的实验项目.但是，三线摆法也有一些因传统的实验装置和依靠人类手工操作而引起实验误差的因素，笔者在分析引起该实验误差因素的基础上，对其进行改进.

在以往的研究中，2001年，董英伟［1]导出摆角与转动惯量测量表达式的关系，探讨了摆角、摆动次数的选择和空气阻尼对测量精度的影响；2004年，盛忠志等［2]分析了刚体转动惯量测量公式的推导及所用的近似方法，以及各种近似对实验测量结果的影响；2006年，药树栋［3]在推导三线摆测量刚体转动惯量公式的过程中，得出转动惯量的误差主要来源于摆动的最大角位移过大以及操作中测量周数、晃动和长度测量失误；2012年，葛宇宏和葛志利［4]指出三线摆法是测量转动惯量的常用方法；1994年，单金德和李志源［5]指出用数字毫秒计和光电管取代手工操作，使改进后的三线摆实验仪提高了测量精度；1996年，王淑贤［6]介绍了三线摆测物体转动惯量实验中用光控数字毫秒计测量周期的方法，提高了测量精度；2003年，李建设和柳闻鹃［7]指出在三线摆测量转动惯量的实验中，可以利用微机的串行口来记录三线摆的振动周期.以上研究都在一定程度上提高了实验效率.

1 实验装置和步骤

1.1 实验装置的改进

实验设备为J-L24型三线摆、MUJ-Ⅱ型电脑通用计数器（2个）、JGQ-250He-Ne激光器、气垫导轨光电门（2套）、GK-1光电门试架（3个）.笔者就在王淑贤提出的用光控数字毫秒计测量周期方法的基础上，对其进行改进，以减小其装置在下盘质量分布不均匀方面的影响.首先介绍周期测量装置的设计与操作：

1）取一块镜片，裁取长度为60mm，宽度为10cm（宽度要大于所待测环的高度）的平面镜3片；

2）将3片平面镜，按图1所示对接在一起（镜面朝外），形成一个三角形镜面体；

3）将一组同心圆用A4纸打印出来，粘到三线摆的下盘上，使同心圆的圆心与下盘圆心重合；

4）将三角形镜面体放在三线摆的下盘上，使三角镜面体的三个镜面均与下盘上其中一个圆相切；

5）将光电门的光线发射装置和光线接收装置分开，利用反射定理调解光线发射装置和光线接收装置的位置，使光线发射装置发射的光线可以被光线接收装置接收到（注意光线发射装置和光线接收装置要保持相平）.

图1 三角形镜面体图示

这样就用光控的方法解决了三线摆实验中关于周期测量要与摆的转动周期相同步的问题，并且用光电计时器计数来代替人工手动用计时器计数，从而可以提高该实验的精度和实验的效率.

在实验的过程中，下盘的转角要求不能超过5°.而5°恰好就是一个圆周（也就是360°）的这个角度是很小的.针对此种情况，张显余和常效奇指出激光射在随三线摆下盘转动的镜面上，由反射光点摆动控制摆动角度，克服了下盘转动的角度不易确定的弊病，使实验精度有所提高［8]；笔者在他们的基础上设计了一个相似的角度控制装置，并提出了相应的操作方法，可将下盘旋转时的角度精确地控制在5°以下.该角度控制装置的设计与操作如下：

图2 角度控制装置示意图

1）如图2所示，在距三线摆下盘上的一面平面镜距离为1m处放置一块长45cm、宽20cm的硬纸板，用铁架台固定住；

2）硬纸板的板面要与镜面平行，硬纸板背面放一激光光源，在硬纸板正中间开一窄缝使激光束通过窄缝可以垂直打在平面镜上；

3）在硬纸板上的两侧画上对称线，对称线到窄缝距离为17.63cm.图3解释取这样一个距离的原因.

由图3可得出，对称线到窄缝的距离：

至此为止，影响周期测量精确度的四个主要的因素已考虑了两项.若将放上被测物体前后下盘的转轴保持不变，则被测物与摆的转轴要重合这一项，也就迎刃而解了.固定转轴装置设计与操作如下：

1）找出三线摆实验仪下盘的中心，并在其中心开一个直径为2mm的小孔；

2）在下盘的轴线上加一个光电门.

这样就用光控装置解决了三线摆实验中关于固定转轴方面的难题，从而提高了该实验的精度.

图3 光路图示

1.2 装置改进后的实验操作步骤

（1）仪器调平.将气泡水准仪放在悬挂了下盘的支架上，调节三线摆底座的两个螺钉，使上盘处于水平状态.再将三角镜面体放在盘上，然后将水准仪也放在下盘上，调节三根悬线的长度使下盘水平（选线长度L约50cm）.

测出仪器各参数：L，R，r，Mo，M，a1，a2，a3，b1，b2，b3，而

其中，ai和bi分别是上下盘上三线的孔距.

（2）光控装置调解.将周期测量装置和定轴装置的光电门初始状态，调整在光线发射装置发射的光线可以被光线接收装置接收到的状态；将角度控制装置的激光器发出的光调整到刚好又能从窄缝原路返回的状态.

（3）测量下盘的转动惯量.使三线摆保持静止，然后轻轻转动上盘带动下盘转动（角度控制装置的反射光点在5°刻度线之间摆动）.测出10次完全摆动周期的时间t，测10次，求出平均周期To.

（4）测量某一圆环的转动惯量.将待测圆环置于下盘上，使两者中心轴重合，按照上面的步骤测出T，计算出I，并与理论值比较，求出其百分差（R1，R2分别是待测圆环的内半径和外半径）.

2 系统误差及数据处理分析

2.1 系统误差分析

2.1.1 三线摆测量过程中的误差

在实验过程中，只要有测量，则测量误差的出现就不可能被避免，误差当然就是来源于各个参数的测量过程.

可以通过求转动惯量I分别对T，Mo，M，r，R，H这些参数的一阶偏导数，来获得相对应的各个参数的灵敏度.

由此可得，其误差上限为

得到I相对于各个参量的偏导表达式后，将一组参数值代入式子中，就可以得到相对应的变量的灵敏度了.如果取这样一组实验测量参数：M＝0.47305kg，M′o＝0.32410kg，R＝0.06498m，r＝0.02458m，H＝0.444m，T＝1.73s.结果如表1所示.

表1 灵敏度误差分析表

由表1可知，在这个实验中，对实验结果影响较大的因素是上盘和下盘的半径、下盘和被测物体的质量、转动周期所引起的误差.累计各参数的J误差，可得因此，对测量结果的误差可控制在9.031%左右.

1）周期测量误差分析.在这个实验中，周期计时对实验结果的影响很大.周期测量结果对物体转动惯量I的影响如表2所示.相对误差：

为了减小实验误差，一般每次实验要10个周期计时一次，如果光控的精度为0.01s，则10个周期的误差0.01s.这样就得出，每个周期的误差为0.001s，可改进实验的精确度.

表2 时间测量误差对结果的影响

2）圆盘半径测量误差分析.三线摆的圆盘半径的误差对实验结果的影响也是很大的，圆盘半径的误差对刚体转动惯量I的影响如表3所示.表3中Ei为相对误差，其值为：

表3 圆盘半径误差对结果的影响

2.1.2 三线摆系统理论误差

在推导过程中，公式是在忽略下盘上升高度、圆盘的平动动能，且等处理后得到的.既然有忽略，那么就必然会引起系统的误差.下面就对以上三种因近似而带来的误差进行分析.

表4 H对系统误差的影响

表5 下盘摆角对系统误差的影响

3）圆盘平动动能的影响.当三线摆下盘在来回转动时，下盘也会上下运动，其质心的竖直方向的速度为：

则对应的动能为：

则下盘在转动过程中，转动动能与平动动能的比值为：

如表6所示，下盘的平动动能在总的机械能中所占的比例，跟下盘的转角θ和上下盘之间的距离H有着密切的关系.

表6 平动动能影响（%）

2.2 数据处理

表7记录了下圆盘的待测圆环的主要参数.

表8是实验改进前的测量数据.

表7 实验参数测量表／mm

表8 改进前实验数据表

排除表8中的不可用项，由表7和表8可得：

表9是实验改进后的测量数据.由表7和表9数据可得：

表9 改进后实验数据表

2.3 结果与讨论

实验装置改进后，所得的实验数据更加稳定，不易出现错误，实验测量结果的精度提高了18倍之多.并且，改进后光控计时只需计10个周期即可达到较理想的测量效果，相比改进前的需要用秒表手动计时50个周期，节省了近5倍的时间，从而使实验的效率提高了近5倍.另外，笔者在对该实验进行误差分析中，得出了通过增加三线摆摆长、控制下盘的摆角，可以减小因近似而产生的误差；保证下盘定轴摆动，可以限制因测量而产生的误差；在同一三线摆上测量与刚体高度相似、质量相同、形状规则并且质量分布均匀的复杂刚体的转动惯量时，需要与理论结果进行比较，并且对测量结果进行修正.

3 结论

笔者首先阐述了三线摆实验的意义与现状、原理与内容，接着提出了周期测量、摆角控制和固定转轴装置的改进，其次基于对三线摆实验的误差分析得出了减小误差的几种优化方案，最后分别比较了实验改进前后所得实验结果的精确度和实验效率，得出实验改进后实验精确度提高了18倍之多，效率提高了近5倍的结论.但是，正如在对该实验误差进行分析部分所提出的那样，引起该实验误差的因素有很多，笔者只是针对几个对该实验精度影响较大的方面，进行优化设计来减小这个实验的误差.因此，要想对该实验进行更全面地探究，则要继续为之不懈地努力.

［1]董英伟.三线摆测刚体的转动惯量问题讨论［J].天津职业技术师范学院学报，2001，11（3）：35-37.

［2]盛忠志，易德文，杨恶恶.三线摆法测刚体的转动惯量所用近似方法对测量结果的影响［J].大学物理，2004，23（2）：44-46.

［3]药树栋.三线摆测物体转动惯量的误差分析［J].内蒙古电大学刊，2006，81（5）：105-106.

［4]葛宇宏，葛志利.三线摆摆线质量对转动惯量精确测量的影响［J].力学与实践，2012，34（1）：50-54.

［5]单金德，李志源.改进三线摆实验仪［J].大学物理实验，1994，7（4）：36-37.

［6]王淑贤.对三线摆测物体转动惯量实验的改进［J].大学物理实验，1996，9（2）：43-45.

［7]李建设，柳闻鹃.微机在三线摆实验中的应用［J].物理与工程，2003，13（5）：20-21.

［8]张显余，常效奇.三线摆测量转动实验的改进［J].鞍山师范学院学报，1989（3）：61-63.