高考函数问题的题型与解题方法
2014-03-18李嘉
李嘉
一、函数的概念型问题
本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对。应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导。其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合。
（一）深化对函数概念的认识
1.对函数单调性和奇偶性定义的理解
例3.下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R），其中正确命题的个数是 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误。
奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确。
若y=f（x）既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f（x）=0，但不一定x∈R，如例1中的（3），故④错误，选A。
三、函数综合应用
1.准确理解、熟练运用，不断深化有关函数的基础知识
例4.已知函数f（x），x∈F，那么集合{（x，y）|y=f（x），x∈F}∩{（x，y）|x=1}中所含元素的个数是。（ ）
A.0 B.1 C.0或1 D.1或2
分析：这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言。从函数观点看，问题是求函数y=f（x），x∈F的图象与直线x=1的交点个数（这是一次数到形的转化），不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的。这里给出了函数y=f（x）的定义域是F，但未明确给出1与F的关系，当1∈F时有1个交点，当1不属于F时没有交点，所以选C。
2.掌握研究函数的方法，提高研究函数问题的能力
函数、方程、不等式是相互联系的。对于函数f（x）与g（x），令f（x）=g（x），f（x）>g（x）或f（x） 例5.方程lgx+x=3的解所在区间为（ ） A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，+∞） 分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象（如图2）。它们的交点横坐标，显然在区间（1，3）内，由此可排除A，D。至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较与2的大小。当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2<1，因此x0>2，从而判定x0∈（2，3），故本题应选C。 （作者单位：江西省吉安市永新县禾川中学）
一、函数的概念型问题
本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对。应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导。其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合。
（一）深化对函数概念的认识
1.对函数单调性和奇偶性定义的理解
例3.下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R），其中正确命题的个数是 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误。
奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确。
若y=f（x）既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f（x）=0，但不一定x∈R，如例1中的（3），故④错误，选A。
三、函数综合应用
1.准确理解、熟练运用，不断深化有关函数的基础知识
例4.已知函数f（x），x∈F，那么集合{（x，y）|y=f（x），x∈F}∩{（x，y）|x=1}中所含元素的个数是。（ ）
A.0 B.1 C.0或1 D.1或2
分析：这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言。从函数观点看，问题是求函数y=f（x），x∈F的图象与直线x=1的交点个数（这是一次数到形的转化），不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的。这里给出了函数y=f（x）的定义域是F，但未明确给出1与F的关系，当1∈F时有1个交点，当1不属于F时没有交点，所以选C。
2.掌握研究函数的方法，提高研究函数问题的能力
函数、方程、不等式是相互联系的。对于函数f（x）与g（x），令f（x）=g（x），f（x）>g（x）或f（x） 例5.方程lgx+x=3的解所在区间为（ ） A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，+∞） 分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象（如图2）。它们的交点横坐标，显然在区间（1，3）内，由此可排除A，D。至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较与2的大小。当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2<1，因此x0>2，从而判定x0∈（2，3），故本题应选C。 （作者单位：江西省吉安市永新县禾川中学）
一、函数的概念型问题
本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对。应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导。其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合。
（一）深化对函数概念的认识
1.对函数单调性和奇偶性定义的理解
例3.下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R），其中正确命题的个数是 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误。
奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确。
若y=f（x）既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f（x）=0，但不一定x∈R，如例1中的（3），故④错误，选A。
三、函数综合应用
1.准确理解、熟练运用，不断深化有关函数的基础知识
例4.已知函数f（x），x∈F，那么集合{（x，y）|y=f（x），x∈F}∩{（x，y）|x=1}中所含元素的个数是。（ ）
A.0 B.1 C.0或1 D.1或2
分析：这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言。从函数观点看，问题是求函数y=f（x），x∈F的图象与直线x=1的交点个数（这是一次数到形的转化），不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的。这里给出了函数y=f（x）的定义域是F，但未明确给出1与F的关系，当1∈F时有1个交点，当1不属于F时没有交点，所以选C。
2.掌握研究函数的方法，提高研究函数问题的能力
函数、方程、不等式是相互联系的。对于函数f（x）与g（x），令f（x）=g（x），f（x）>g（x）或f（x） 例5.方程lgx+x=3的解所在区间为（ ） A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，+∞） 分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象（如图2）。它们的交点横坐标，显然在区间（1，3）内，由此可排除A，D。至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较与2的大小。当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2<1，因此x0>2，从而判定x0∈（2，3），故本题应选C。 （作者单位：江西省吉安市永新县禾川中学）
