分数阶随机Duffing系统的Hopf分岔*

侯璟 马少娟 沈琼

(北方民族大学信息与计算科学学院，银川 750021)

引言

分数阶微积分理论与非线性动力学理论相结合，推动了分数阶动力学系统的产生及发展，使分数阶动力学系统成为非线性科学领域中又一热点研究课题.目前，分数阶动力学系统的研究已经引起越来越多研究者的兴趣，更多的研究涉及到了分数阶Rucklidge电路系统［1］，分数阶哈密顿系统［2］，分数阶盐岩流变本构模型［3］，分数阶系统特性识别［4］等多个领域.Duffing系统作为一个典型的非线性动力学系统，研究分数阶Duffing系统是研究其他复杂动力学系统的基础，众多学者对分数阶Duffing系统的动力学行为进行了全面地研究.文献［5］研究分数微分型阻尼的分数阶值较小时，Duffing振子将出现倍周期分岔并导致混沌;在不同外激励频率下，分数阶微分型Duffing振子呈现出对称形破缺、分岔、混沌等强烈的非线性现象;在一定参数范围内与经典Duffing振子相比较，分数微分型Duffing振子在较小的激励下即可进入混沌.曹军义等［6］讨论了分数阶阻尼的阶数在0.1～2.0之间Duffing系统依次进入不同的运动区，由混沌运动区存在的周期运动进入混沌运动的倍周期过程比较明显，结果证实阻尼的分数微分阶数对系统的动力学特性影响比较大.Matouk［7］研究了改进的分数阶自治Var Del Pol-Duffing系统的稳定性，并对系统的混沌及同步现象提出了一种有效的控制方法.文献［8］将Duffing方程和Van der Pol方程耦合在一个分数阶微分方程中，利用Riemann-liouville分数阶倒数和Adomian分解法求得此方程的解析近似解.文献［9］载极低的总分数阶0.2的情况下，成功地获得了改进的两个非耦合分数阶Duffing系统的混沌同步.以上成果都是关于确定性系统的，随机因素在动力学系统中无处不在，关于随机分数阶动力系统的研究还是比较少的.陈林聪和朱位秋［10］对分数阶阻尼Duffing振子在谐和和白噪声作用下的随机稳定性进行研究.随机参数对分数阶动力学系统的研究还未有文献报道.对分数阶随机Duffing系统的研究还是比较少的.鉴于此，本文运用正交多项式逼近法研究了含有随机参数的分数阶Duffing系统，分析了随机参数对分数阶Duffing系统的Hopf分岔的影响.

1 分数阶随机Duffing系统的等价确定性系统

Duffing系统的自治形式为

由分数阶稳定性定理知［11］时，系统(1)是渐近稳定的.

含有随机参数的分数阶Duffing系统

其中b为确定性参数，a为随机参数.设a可表示成

Laguerre多项式的三项递推关系为

根据随机函数的正交多项式原理［12］，系统(3)的随机响应可以写成Fourier展开的级数逼近形式

其中Li(u)为第i个Laguerre多项式，M为所取多项式的最大个数.

将(4)式和(7)式代入(3)式，得

其中Xi(t)为定义线性组合Li(u)的系数，可由Maple计算出来.含有随机变量的项可以化为

现将(9)式和(10)式代入(8)式，得

在(11)式两端依次Lj(u)=(j=0，1，Λ)，然后关于随机变量u取期望，可以得到一个等价的确定性系统

其中，由逼近理论知y-1和ym+1均为零.

当N→∞时，在均方收敛的意义下方程组(12)与原分数阶随机系统(3)是等价的.但由于理论分析和数值模拟比较困难，本文选取M=2，则方程组(12)可以改写为

原分数阶随机Duffing系统的逼近随机响应可以近似地表示为

分数阶随机Duffing系统的集合平均响应为

当δ=0时，分数阶随机Duffing系统退化为确定性系统

定义等价确定性系统的初始条件为x0=x0(0)，y00=y(0).本文中随机强度δ和激励幅值的取值比较小，因此等价的确定性系统(13)与确定性系统(17)有相同的初始条件，即x0=x(0)，y0=y(0)，xi=yi(0)=0，(i=1，2).等价的确定性系统(13)的初始条件取为

2 分数阶随机Duffing系统的Hopf分岔分析

如果动力系统是结构不稳定的，则任意小的适当扰动都会使系统的拓扑结构发生突然的质的变化，这种质的变化成为分岔［13-14］.按研究对象划分，分岔可分为静态分岔和动态分岔.在动态分岔中，较为重要的是由于定点稳定性突然变化而出现极限环的Hopf分岔.通过两个引理［15-18］可以求出的系统 发生分岔的临界值.分数阶随机Duffing系统与等价确定性系统 都有一个零平衡点，本文仅考虑等价确定性系统在零平衡点处的Hopf分岔，在且系统 在此平衡点的Jacobian矩阵如下

该矩阵的特征方程为f(λ)=a0λ6+a1λ5+a2λ4+a3λ3+a4λ2+a5λ+a6=0，其中ai(i=0，1，Λ，6)是特征方程的系数，可由Maple计算得出.根据引理，计算Hurwitz行列式

令b=-1利用Maple软件求得Δ5=0共有9个不重复的参数关系式

将式(20)中各个关系式分别代入Δ4，Δ3，Δ5'()和ai(i=0，Λ，6)，满足Δ4≠0，Δ3≠0，Δ5')≠0和ai＞0(i=0，Λ，6)关系式是

选取δ=0.1，将式(21)代入系统的特征方程，可得到系统(13)的所有特征值

显然系统(13)除了有一对共轭纯虚根外，其他特征值有负实部.当系统的分岔参数为=-0.1355027459时，等价的确定性系统(13)在零平衡点处发生Hopf分岔.

3 数值模拟

分别选取分数阶阶数p=0.88和q=0.85.当系统(17)的参数b=-1=0时，确定性分数阶Duffing系统在(0，0)点发生Hopf分岔，如图1所示.当参数=-0.2＜=0时，系统的轨线收敛到(0，0)点，如图1(a)所示;当=0.4＞=0时，系统的轨线收敛到一个闭曲线上，形成极限环，如图1(b)所示.取δ=0.1时分岔参数为=-0.1355027459.当=-0.2＜，等价的确定性系统(13)的集合平均响应和样本响应的轨线一致收敛到(0，0)点，分别如图2(a)和(b)所示，图2(c)和(d)为系统发生Hopf分岔前集合平均响应和样本响应的时间历程图.当=0.4＞，等价的确定性系统(13)的集合平均响应和样本响应的轨线一致收敛到(0，0)点，分别如图3(a)和(b)所示，图3(c)和(d)为系统发生Hopf分岔后集合平均响应和样本响应的时间历程图.从图1～3中可以看出在分岔参数变化的过程中，分数阶随机Duffing系统发生Hopf分岔.改变分数阶的阶数p=1.1和q=1.1=0.4＞时，等价的确定性系统(13)的集合平均响应和样本响应的轨线一致收敛到(0，0)点，分别如图4(a)和(b)所示.从图中可以很明显地看出，改变系统的阶数后等价的确定性系统(13)没有产生极限环，而是收敛到(0，0)点，也就是说没有发生Hopf分岔.

图1 确定性分数阶Duffing系统的Hopf分岔相轨图(a图为分岔前，b图为分岔后)Fig.1.The Hopf bifurcation phase of fractional-order uncertainty Duffing system(a is before bifurcation，b is after bifurcation)

图2 等价的确定性Duffing系统Hopf分岔前的相轨图和时间历程图Fig.2 Phase and time history of the certainty equivalent Duffing system as before Hopf bifurcation

图3 等价的确定性Duffing系统Hopf分岔后的相轨图和时间历程图Fig.3 Phase and time history of the certainty equivalent Duffing system as after Hopf bifurcation

图4 改变阶数后，等价的确定性Duffing系统的相轨图Fig.4 Phase of the certainty equivalent Duffing system as changed order

4 结论

对于含有随机参数的分数阶Duffing系统，正交多项式逼近法提供了一种有效的分析方法.把分数阶随机Duffing系统扩展为等价的确定性系统，对其分析动力学行为.本文主要研究了分数阶随机Duffing系统的Hopf分岔.运用Laguerre正交多项式逼近法将含有随机参数的分数阶Duffing系统转化为等价的确定性系统，然后通过数值计算求得其响应.利用两个引理计算出等价的确定性分数阶Duffing系统发生Hopf分岔行为的临界值，并使用Matlab软件设计程序验证理论分析结果.

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