时变系数下耦合KdV和Burgers方程组的孤波解*

高翔 化存才 胡东坡

(云南师范大学数学学院，昆明 650092)

引言

在所有的非线性现象中，对孤立子的研究是非线性科学的重要内容之一.自孤立子被发现以来，人们对孤立子的研究就一直未间断过.随着对孤立子研究的不断深入和一些理论与方法的产生，它已经广泛地运用到物理学中的许多领域中，因此对孤波的研究就具有重要的意义和价值.在孤立子理论中，孤子方程的求解一直受到物理学家和数学家的关注.随之产生了许多著名的非线性发展方程的求解方法，如Bäcklund变换［1］，逆散射法［3］，Hirota双线性方法［4］，齐次平衡法［6］，双曲函数展开法［8］，Jacobi椭圆函数展开法［6］等.

目前，从国内外对KdV方程和Burgers方程的研究现状来看，一些文献都是针对单个KdV方程和单个Burgers方程求精确解进行研究.如文献［7］应用行波法，齐次平衡法和Jacobi椭圆函数展开法求解KdV方程，不仅获得了该方程的准确周期解及孤波解，而且给出了若干新的精确解析解.文献［8］将扩展的tanh-函数法应用于(2+1)维的非线性偏微分方程，获得了(2+1)维Burgers方程的一些新的精确解.近十多年来，人们更多的关注变系数KdV与Burgers方程的研究，拓展了椭圆函数展开法，获得了一些结果，如文献［9-11］.

本文将研究时变系数下线性项对称耦合KdV和Burgers方程组，非线性项对称耦合KdV和Bur-gers方程组，非线性项非对称耦合KdV和Burgers方程组，在Jacobi椭圆函数展开法和双曲正切函数展开法的基础上，运用扩展的Jacobi椭圆函数展开法和扩展的双曲函数展开法，分别求出了一些孤波解，包括类孤立波解、类冲击波解和类三角函数周期解.

1 方法介绍

考虑(1+1)维含时间扰动的非线性发展方程

其中P是关于未知函数u及其各阶导数的适当函数.我们利用双曲正切函数展开法寻找如下形式的解［12］:

其中T(ξ)=tanh(ξ).ai(t)(i=0，1，…，m)，ξ=x-X(t)，X(t)均为待定的随时间变化的函数.双曲正切函数T(ξ)满足方程:

步骤1:通过平衡方程(1)中最高阶导数项和非线性的阶数，可以确定m的值，称m为孤立波解的阶数;

步骤2:将阶数确定的(2a)，代入(1)，合并T的同次幂，并令系数为零，可以得到一个关于待定函数ai(t)(i=0，1，…，m)，ξ的超定的非线性微分代数方程组;

步骤3:利用吴文俊代数消元法，并借助数学软件Maple求解该代数方程组，确定待定函数ai(t)(i=0，1，…，m)，ξ的非平凡值.返回原来的变量最终可以得出方程(1)的孤立波解:

根据不同的需要，我们除了求双曲正切函数形式的解之外，在双曲正切函数展开法和Jacobi椭圆函数展开法的基础上，运用扩展的双曲函数展开法和扩展的Jacobi椭圆函数展开法，还可以求如下两种形式的解:利用扩展的双曲函数展开法寻找如下形式的解:

记S=sec h(ξ)，T和S满足以下关系式:

利用扩展的Jacobi椭圆函数展开法寻找如下形式的解:

其中F为Jacobi椭圆函数，且F满足下面的辅助常微分方程:

其中，μ，η，λ，F(ξ)不同的对应取值见下表1:

表1 μ，η，λ，F(ξ)的对应取值Table 1 The corresponding values ofμ，η，λ，F(ξ)

将解形式由(2a)替换为(2b)或(2c)时，确定u的步骤同上.

本文考虑三类如下具有时间变系数耦合形式的方程组:

并且假设这三类耦合方程组(3)分别具有如下形式的解:

其中ξ=x-X(t)，X(t)为待定的随时间变化的函数，变系数待定.

通过齐次平衡法，分别平衡方程组中的非线性项和线性最高阶导数项，从而确定m，n的值.因为我们得到的m，n都是分数，所以我们将通过数学变换，把分数转化为整数来讨论，并且通过它们之间的关系式和取极限形式获得了在不同情形下的一些孤波解.

2 方法应用

2.1 时变系数下线性项对称耦合KdV和Burgers方程组的解

考虑如下方程组:

其中α1(t)，α2(t)为对流项系数，β1(t)，β2(t)分别为色散项与扩散项的系数.

对于方程组(5)，我们采用双曲正切函数展开法［13］求解，同时结合数学变换求得了该方程组的两组孤波解.

作行波变换:

假设它有如下形式的解:

其中，X(t)为待定的随时间变化的函数.

将行波变换(6)代入方程组(5)中得到如下形式的常微分方程组(ODE):

根据齐次平衡法，分别平衡方程组(7)中两个方程的线性最高阶导数项和非线性项的阶数，有

令:

平衡(10)中最高阶线性项和非线性项导数的阶数得:

将p，q的值代入(11)中可得:

将w，k代入方程组(10)化简得:

利用关系式T'=1-T2化简，并令T及T的各阶导数的同次幂项系数为零，可得到如下代数方程组:

利用吴消元法［13］并结合Maple求解代数方程组(15)、(16)得到如下两组解:

情形一 a0(t)为未定常数，a1(t)=为积分常数(c2为任意常数).

于是，方程组(10)的解为:

所以，方程组(5)的解为:

其中:

情形二 a0(t)为未定常数，a1(t)=-为积分常数)为任意常数).

于是，方程组(10)的解为:

所以，方程组(5)的解为:

其中:

2.2 时变系数下非线性项对称耦合KdV和Burgers方程组的解

考虑如下方程组:

把方程(21)的行波解设为:

其中，ξ=x-X(t)，X(t)为待定的随时间变化的函数.

将行波变换(22)代入方程组(21)中得到如下形式的常微分方程组:

根据齐次平衡法，分别平衡方程组(23)中两个方程的线性最高阶导数项和非线性项的阶数，有

m，n都是分数阶.再作变换:

经计算得:

故有

重复上面的计算过程，可得到如下代数方程组为:

为了得到更多类型的孤波解，我们将按μ，η，λ取不同的值，分以下三种情形讨论，可得到方程组(29)、(30)的解.

情形一

此时可得方程组(21)的解为:

此时可得方程组(21)的解为:

情形二

当μ=r2，η=-1-r2，λ=1，F=snξ时，得出如下三组解:

此时可得方程组(21)的解为:

当r→1时，snξ→tanhξ，cnξ→sec hξ，可得到其相应的类冲击波解为:

当时r→0，snξ→sinξ，cnξ→cosξ，可得到其相应的类三角函数周期型解:

其中:ξ=x-c(c为未定常数).

+c1，(c1为任意常数，c2为未定常数)，其中:

此时可得方程组(21)的解为:

当r→1时，snξ→tanhξ，cnξ→sec hξ，可得到对应的类冲击波解为:

其中:

当r→0时，snξ→sinξ，cnξ→cosξ，可得到其相应的类三角函数周期型解:

其中:

t+c1(c1为任意常数，c2为未定常数)，

其中

此时可得方程组(21)的解为:

当r→1时，snξ→tanhξ，cnξ→sec hξ，可得到其相应的类冲击波解为:

其中:

当r→0时，snξ→sinξ，cnξ→cosξ，可得到其相应的类三角函数周期型解

其中:

情形三

当μ=-r2，η=2r2-1，λ=1-r2，F=cnξ，得出如下两组解:

此时，我们得到(21)的解为

其中:ξ=x-c3(c1，c3为未定常数，c2为任意常数).

2.3 时变系数下非线性项非对称耦合KdV和Burgers方程组的解

考虑如下方程组:

其中α1(t)，α2(t)为对流项系数，β1(t)，β2(t)分别为色散项与扩散项的系数.

采用扩展的Jacobi椭圆函数展开法和扩展的双曲函数展开法来讨论时变系数下非线性项非对称耦合KdV和Burgers方程组(44)的孤波解.令:

其中ξ=x-X(t)，X(t)为待定的随时间变化的函数.

通过一系列的计算化简，为得到更多类型的孤波解，我们分别令μ，p，λ取不同的值，可得到以下三种情形下的解.情形一

a0(t)为未定常数，a1(t)=0，b0(t)为未定常数，为积分常数).

此时，方程组(44)的解为:

情形二

当μ=r2，η=-1-r2，λ=1时，此时F=snξ可得如下两组解:

X(t)=-β1(t)(-η+6μ)t+c4(c1为待定常数，c2，c3，c4为任意常数).

此时，方程组(44)的解为:

当r→1时，snξ→tanhξ，cnξ→sec hξ，dnξ→sec hξ，可得相应的类冲击波解:

当r→0时，snξ→sinξ，cnξ→cosξ，可得到其相应的类三角函数周期型解:

其中:ξ=x+β1(t)t+c4.

此时，方程组(44)的解为:

当r→1时，snξ→tanhξ，cnξ→sec hξ，dnξ→sec hξ，可得到相应的类冲击波解:

当r→0时，snξ→sinξ，cnξ→cosξ，可得到其相应的类三角函数周期型解:

其中:ξ=x+β1(t)t+c4.

情形三

当μ=-r2，η=2r2-1，λ=1-r2时，此时F=cnξ，可得到如下两组解:

(1)a0(t)=c1，a1(t)=0，b0(t)=c2，b1(t)=0，X(t)=c4(c1，c2为未定常数，c3，c4为任意常数).

此时，方程组(44)的解为:

根据关系式可得到相应的类冲击波解为:

其中:ξ=x-c4.

(2)a0(t)=c1，a1(t)=c2，b0(t)=-2c3e-4β2(t)t，

此时，方程组(44)的解为:

当r→1时，snξ→tanh(ξ)，cnξ→sec hξ，可得到相应的类孤立波解:

其中:ξ=x-β1(t)t+c4.

当r→0时，snξ→sinξ，cnξ→cosξ，可得到相应的类三角函数周期型解:

根据关系式可得到相应的类冲击波解为:

其中:ξ=x+β1(t)t+c4.

3 结论

通过求解三类时变系数下耦合KdV和Burgers方程组的孤波解，我们可以得出以下结论:

(1)在2.1中的两组解中，因为a0(t)为待定常数，所以波速X(t)是常数，则波的速度在传播过程中不发生改变，即所得的孤波解为常速波解.

(2)在2.2中，由行波解中的X(t)可确定除了情形二中的第1组解和情形三中的第1组解外，其余的所有解都跟时间有关，因此均为变速解.

(3)在2.3中，除了情形三中的第一组解为常数解外，其余各组解中的X(t)都是随时间t变化的函数，即为变速解.

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