浅析函数与方程思想及其应用

薛文佳，朴勇杰

摘要：函数与方程思想在数学学习中是一种十分重要的思想。本文阐述了函数与方程思想的定义，主要论述了交轨法、判别式法、构造函数与方程法及换元法四种有关函数与方程思想的解题方法以及在例题中的应用，以供读者参考。

关键词：函数；方程；解题方法

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）02-0102-02

Analysis of Functions and Equation Ideology and its Application

XUE Wen-jia，PIAO Yong-jie*

（Department of mathematics，College of Science，Yanbian University，Yanji 133002，China）

Abstract：In the process of learning mathematics，function and equation ideology is an important idea.The paper mainly illustrates the definition of the function and equation，introduces four solutions of the problems of function and equation，for instance，track intercross，discriminant method，the construction of function and equation，and substitute method as well as the application of them for readers.

Key words：function；equation；solution approach

一、引言

函数与方程思想体现出的是数学知识、能力、及其本质，同时它也体现了数学的学科特点。函数与方程思想在中学数学解题中是最基本的思想，所以对于中学数学的学习，十分有必要加强这种思想方法的训练，不断地提高学生思维的灵活性。

函数思想即为把问题中的量分化为变量和常量，并把这些量用字母表示出其相互关系，再利用函数的性质解决问题；而方程思想是把问题中的量分化为已知量和未知量，并把这些量用字母表示出其关系，利用方程、不等式的性质解决问题。总之一句话，函数与方程思想就是把数学问题都利用函数与方程去解决问题。

二、函数与方程思想的应用

在本文，我们将通过四种方法具体阐述函数与方程思想在解决数学问题中的重要应用。

（一）交轨法

交轨法也是方程组法的几何解释，在列成的方程组中每一个方程均表示一条轨迹，要求这些轨迹的“交”也就是求方程组的解。利用交轨法的解题步骤一般为先把问题化归为求一个“点”；再把已知条件分成几部分，使得每一个条件都形成一个轨迹；最后利用几何法或代数法求得轨迹的“交点”。

例1：A1，A2是椭圆■+■=1=1的长轴的两个端点，P1，P2是垂直于A1，A2的弦的两个端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程。

解：设交点P（x，y），A1（-3，0），A2（3，0），P1（x0，y0），P2（x0，-y0）A1，P1，P共线，则有■=■ ①

A2，P2，P共线，则有■=■ ②

①②联立，解得x0=■，y0=■

代入①得到轨迹方程■-■=1

评论：本例题是交轨法在解析几何中的典型应用，动点的约束分为两部分，即得到①②构成的方程组，解开得到的即为交点的轨迹方程。此题也是典型的条件组问题，是高考的重点。

（二）判别式法

判别式法就是利用方程的系数来判断根的情况，在解决问题时，将问题转化为二次方程，再利用判别式法和方程的性质解决问题。

例2：（1979年高考题）若（z-x）-4（x-y）（y-z）=0，

求证：x，y，z成等差数列。

解析：分两种情况

（1）当x=y时，由张定条件易得z=x，因此x=y=z，所以x，y，z成等差数列。

（2）当x≠y时，构造判别式为Δ=（z-x）2-4（x-y）（y-z）的一元二次方程：

（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0 ③

Δ=（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，

∵方程③有相等的实根t1=t2

又直接观察可知方程③有根t=1

∴t1=t2=1由违达定理得■=t1t2=1，

∴x-y=y-z，即x，y，z成等差数列。

评论：此题虽是早年的高考题，但其体现出判别式法的本质。本题也是构造方程的例子，利用Δ构造方程，然后解决问题。需要注意的是二次方程的二次系数不能为零，故本题应分类别解答。

（三）构造函数与方程

构造函数与方程的思想就是根据问题给出的条件和结论所具有的特点，构造出条件和结论的函数与方程，借助函数或方程去解决问题。

例3：（上海高考）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为函数f（x）的不动点。

已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-1（a≠0）

（1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；

（2）若对于任意实数b，函数f（x）恒有一个不动点，求a的值。

解析：（1）依题意得x02-x0-3=x0，endprint

∴x02-2x0-3=0，∴x0=-1或x0=3

∴函数的不动点为-1或-3。

（2）由函数f（x）恒有一个不动点可知ax2+（b+1）x+b-1=x

即ax2+bx+b-1=0，

于是Δ=b2-4a（b-1）=0

b2-4ab+4a=0恒成立，

∴Δ=（-4a）2-4×4a=0

∴a（a-1）=0，∴a=0或a=1

评论：本题中的新情境——不动点，其实质是方程f（x）=x的根。构造函数ax2+（b+1）x+b-1=x这是利用变量相对的观点来构造辅助函数，从中也可以看到数学的自由思考特点。

（四）换元法

在问题解决过程中，引入一个或几个新“元”代换问题中的旧“元”，这样便使关于新元的问题能够得到解决；再将新元的结果带回原题，即可得出旧元问题的结果，这种方法叫做换元法。

常用的三角代换：

（1）二次根式的三角代换（a>0）

■—代换：x=acosθ或x=asinθ

■—代换：x=atanθ或x=acotθ

■—代换：x=asecθ或x=acscθ

（2）二次曲线的三角代换：

x2+y2=r2—圆代换：x=rcosθy=rsinθ

■+■=1—椭圆代换：x=acosθy=bsinθ

（3）万能置换：

■-■=1—双曲线代换：x=asecθy=btanθ

■，■，■—代换：x=tan■

例4： 求函数y=■+■的值域

解析：由（■）2+（■）2=1，且0≤x≤1

做代换■=cosθ■=sinθ，0≤x≤■

∴y=cosθ+sinθ=■sin（θ+■）

■≤θ+■≤■

∴1≤y≤■，即函数值域是[1，■]。

评论：此题为典型的圆代换，这类换元是根号里面的整体换元，代换时要注意换元后的取值范围，确保前后一致。

总之，函数与方程思想所涉及的知识点多面广。它不仅是中学数学学习中十分重要的思想，也是各地高考的重点。学生如能熟练地利用一些函数与方程思想去解题，将会起到事半功倍的效果，也会常有“柳暗花明又一村”“一览众山小”的情况出现。因此，我们要掌握函数与方程思想在解题中的各种方法和要点，要重视和学会运用各种方法去分析问题、转化问题达到最后的解决问题。

参考文献：

[1]张同君.中学数学解题研究[M].长春：东北师范大学出版社，2002.

[2]燕培雄.一元二次方程的根的判别式及其应用[J].中学生数理化（教与学），2011，（9）：59.

[3]于江洪.点击函数与方程思想[J].中学生数理化（高中版），2011，（5）：9-10.

[4]曹庆.浅谈换元法在求解某高中数学问题中的应用[J].都是家教：上半月，2011，（12）：226-227.

[5]罗国浩.浅谈数学思想在不等式中的应用[J].教师，2009，（23）：34-35.

作者简介：薛文佳，女，数学教育专业研究生。通信作者：朴勇杰，男，教授，理学博士，从事数学教育和非线性分析。endprint

∴x02-2x0-3=0，∴x0=-1或x0=3

∴函数的不动点为-1或-3。

（2）由函数f（x）恒有一个不动点可知ax2+（b+1）x+b-1=x

即ax2+bx+b-1=0，

于是Δ=b2-4a（b-1）=0

b2-4ab+4a=0恒成立，

∴Δ=（-4a）2-4×4a=0

∴a（a-1）=0，∴a=0或a=1

评论：本题中的新情境——不动点，其实质是方程f（x）=x的根。构造函数ax2+（b+1）x+b-1=x这是利用变量相对的观点来构造辅助函数，从中也可以看到数学的自由思考特点。

（四）换元法

在问题解决过程中，引入一个或几个新“元”代换问题中的旧“元”，这样便使关于新元的问题能够得到解决；再将新元的结果带回原题，即可得出旧元问题的结果，这种方法叫做换元法。

常用的三角代换：

（1）二次根式的三角代换（a>0）

■—代换：x=acosθ或x=asinθ

■—代换：x=atanθ或x=acotθ

■—代换：x=asecθ或x=acscθ

（2）二次曲线的三角代换：

x2+y2=r2—圆代换：x=rcosθy=rsinθ

■+■=1—椭圆代换：x=acosθy=bsinθ

（3）万能置换：

■-■=1—双曲线代换：x=asecθy=btanθ

■，■，■—代换：x=tan■

例4： 求函数y=■+■的值域

解析：由（■）2+（■）2=1，且0≤x≤1

做代换■=cosθ■=sinθ，0≤x≤■

∴y=cosθ+sinθ=■sin（θ+■）

■≤θ+■≤■

∴1≤y≤■，即函数值域是[1，■]。

评论：此题为典型的圆代换，这类换元是根号里面的整体换元，代换时要注意换元后的取值范围，确保前后一致。

总之，函数与方程思想所涉及的知识点多面广。它不仅是中学数学学习中十分重要的思想，也是各地高考的重点。学生如能熟练地利用一些函数与方程思想去解题，将会起到事半功倍的效果，也会常有“柳暗花明又一村”“一览众山小”的情况出现。因此，我们要掌握函数与方程思想在解题中的各种方法和要点，要重视和学会运用各种方法去分析问题、转化问题达到最后的解决问题。

参考文献：

[1]张同君.中学数学解题研究[M].长春：东北师范大学出版社，2002.

[2]燕培雄.一元二次方程的根的判别式及其应用[J].中学生数理化（教与学），2011，（9）：59.

[3]于江洪.点击函数与方程思想[J].中学生数理化（高中版），2011，（5）：9-10.

[4]曹庆.浅谈换元法在求解某高中数学问题中的应用[J].都是家教：上半月，2011，（12）：226-227.

[5]罗国浩.浅谈数学思想在不等式中的应用[J].教师，2009，（23）：34-35.

作者简介：薛文佳，女，数学教育专业研究生。通信作者：朴勇杰，男，教授，理学博士，从事数学教育和非线性分析。endprint

∴x02-2x0-3=0，∴x0=-1或x0=3

∴函数的不动点为-1或-3。

（2）由函数f（x）恒有一个不动点可知ax2+（b+1）x+b-1=x

即ax2+bx+b-1=0，

于是Δ=b2-4a（b-1）=0

b2-4ab+4a=0恒成立，

∴Δ=（-4a）2-4×4a=0

∴a（a-1）=0，∴a=0或a=1

评论：本题中的新情境——不动点，其实质是方程f（x）=x的根。构造函数ax2+（b+1）x+b-1=x这是利用变量相对的观点来构造辅助函数，从中也可以看到数学的自由思考特点。

（四）换元法

在问题解决过程中，引入一个或几个新“元”代换问题中的旧“元”，这样便使关于新元的问题能够得到解决；再将新元的结果带回原题，即可得出旧元问题的结果，这种方法叫做换元法。

常用的三角代换：

（1）二次根式的三角代换（a>0）

■—代换：x=acosθ或x=asinθ

■—代换：x=atanθ或x=acotθ

■—代换：x=asecθ或x=acscθ

（2）二次曲线的三角代换：

x2+y2=r2—圆代换：x=rcosθy=rsinθ

■+■=1—椭圆代换：x=acosθy=bsinθ

（3）万能置换：

■-■=1—双曲线代换：x=asecθy=btanθ

■，■，■—代换：x=tan■

例4： 求函数y=■+■的值域

解析：由（■）2+（■）2=1，且0≤x≤1

做代换■=cosθ■=sinθ，0≤x≤■

∴y=cosθ+sinθ=■sin（θ+■）

■≤θ+■≤■

∴1≤y≤■，即函数值域是[1，■]。

评论：此题为典型的圆代换，这类换元是根号里面的整体换元，代换时要注意换元后的取值范围，确保前后一致。

总之，函数与方程思想所涉及的知识点多面广。它不仅是中学数学学习中十分重要的思想，也是各地高考的重点。学生如能熟练地利用一些函数与方程思想去解题，将会起到事半功倍的效果，也会常有“柳暗花明又一村”“一览众山小”的情况出现。因此，我们要掌握函数与方程思想在解题中的各种方法和要点，要重视和学会运用各种方法去分析问题、转化问题达到最后的解决问题。

参考文献：

[1]张同君.中学数学解题研究[M].长春：东北师范大学出版社，2002.

[2]燕培雄.一元二次方程的根的判别式及其应用[J].中学生数理化（教与学），2011，（9）：59.

[3]于江洪.点击函数与方程思想[J].中学生数理化（高中版），2011，（5）：9-10.

[4]曹庆.浅谈换元法在求解某高中数学问题中的应用[J].都是家教：上半月，2011，（12）：226-227.

[5]罗国浩.浅谈数学思想在不等式中的应用[J].教师，2009，（23）：34-35.

作者简介：薛文佳，女，数学教育专业研究生。通信作者：朴勇杰，男，教授，理学博士，从事数学教育和非线性分析。endprint