系数矩阵成一等比矩阵的线性方程组解的存在性

张 莉，刘兴祥，任旭娇

（延安大学数学与计算机学院，陕西延安716000）

系数矩阵成一等比矩阵的线性方程组解的存在性

张 莉，刘兴祥，任旭娇

（延安大学数学与计算机学院，陕西延安716000）

主要讨论了系数矩阵成行（列）一等比矩阵的线性方程组解的存在性问题。

线性方程组；一等比矩阵；系数矩阵

1 预备知识

定义1.1形如a，aq，aq2，…，aqn，…的数列称为一等比数列。

定义1.2［1］设A＝（aij）∈Pm×n，若A的每一行（列）元素均成一等比数列，则称A为数域P上的行（列）一等比矩阵。

2 主要结果

2.1 增广矩阵成行一等比矩阵的线性方程组的解

定理2.1设含有s个方程t个未知量的线性方程组的增广矩阵成行一等比数列。若系数矩阵的秩为m，则

（i）当m＞t时，线性方程组（1）无解。

（ii）当m＝t时，线性方程组（1）有唯一解，其解为

（iii）当m＜t时，线性方程组（1）与x1＋x2y＋ x3y2＋…＋xnyn－1＋（－1）yn＝0同解。

证明：设矩阵A＝（aij）m×n为行一等比矩阵，则其有形式：设线性方程组中的每一个方程的系数依标号成一等比数列。

要判断线性方程组（1）是否有解，只需判断线性方程组（1）的系数矩阵A与增广矩阵¯A的秩的关系，且A和¯A的形式如下：

由于初等变换不改变矩阵的秩，故有

此时，q1，q2，…，qm两两互不相等。只需讨论m，n的大小关系即可。

（1）当m＝n。该线性方程组所含方程个数与未知量个数相同，且A2的行列式

符合范德蒙行列式［2］的转置形式。由范德蒙行列式知｜A2｜≠0，则rank（A2）＝m。又m＜n＋1。故可从矩阵¯A2中取出m行m列的子式

给行列式D2加上一行一列，将其构造成m＋1阶的范德蒙行列式，则有

行列式D2是行列式P中的元素z的余子式。根据多项式的根与系数关系知z的系数为（－1）m－1，其中∑表示依数1，2，3，…，m而取m－1个数k1，k2，k3，…，km－1的组合求和［4］。有

行列式D3是行列式P中的元素z2的余子式。根据多项式的根与系数关系知z2的系数为（－其中∑表示依数1，2，3，…，m而取m－2个数k1，k2，k3，…，km－2的组合求和。则

同理可得｜Ai｜＝

∑表示依数1，2，3，…，m而取m－i＋1个数k1，k2，k3，…，km－i＋1的组合求和。

综上可得

（2）当m＞n，在m行n列系数矩阵A2中可取一个n行n列的子式

即rank（A2）＝n，在中可取一个n＋1行n＋1列的子式，

故rank（A2）≠rank（），线性方程组（1）无解。

（3）当m＜n。在系数矩阵A2中可取一个m行m列的不为零的子式

即rank（A2）＝m。在中也可取一个m行m列的子式，

故rank（A2）＝rank（）＝m，线性方程组（1）有解。当m＜n时，线性方程组（1）的系数矩阵的秩m小于线性方程组（1）所含未知量个数n，故线性方程组（1）有无穷多解。线性方程组（1）可表示为：

该线性方程组与以y为系数，xi（i＝1，2，…，n）为未知数的方程x1＋x2y＋x3y2＋…＋xnyn－1＋（－1）yn＝0（1*）同解

2.2 增广矩阵成列一等比矩阵的线性方程组的解

定理2.2设含有m个方程n个未知量的线性方程组

（i）当m≥n＋1时，线性方程组（2*）无解，那么，线性方程组（2）也无解。

（ii）当m＜n＋1，线性方程组（2*）有解，那么，线性方程组（2）也可能有解。

证明：设A＝（aij）m×n为列一等比矩阵，则其有形式：，设线性方程组中的每一个方程的系数依标号成一等比数列。

令yj＝ajxj（j＝1，2，…，n＋1），xn＋1＝－1。那么线性方程组（2）等同于齐次线性方程组：0（i＝1，2，…，m）（2*），其中yj＝ajxj（j＝1，2，…，n＋1），xn＋1＝－1。这个齐次线性方程组永远有解。因为它有y1＝0，y2＝0，…，yn＋1＝0这一组零解。只需讨论齐次线性方程组（2*）的非零解。首先观察齐次线性方程组的（2*）系数矩阵

假设q1，q2，…，qn＋1两两互不相等。

（1）当m≥n＋1。在系数矩阵A中可取一个n＋1行n＋1列的n＋1阶子式

即rank（A）＝n＋1。此时，系数矩阵A的秩n＋1等于方程组所含未知量个数，方程组有唯一解，因此，齐次线性方程组（2*）的解只能是零解，即y1＝y2＝…＝yn＋1＝0。又yn＋1＝－an＋1≠0，所以当m≥n＋1时，线性方程组（2）无解。

（2）当m＜n＋1。在系数矩阵A中可取出m行m列的m阶子式，即rank（A）＝m。齐次线性方程组（2*）有非零解。在这些非零解中，所有符合yn＋1＝－an＋1的解都是线性方程组（2）的解。

［1］朱磊，吕晓，谭武杰.系数矩阵成一等差矩阵的线性方程组［J］.延安大学学报（自然科学版），2013，32（2）：16－19.

［2］张禾瑞，郝鈵新.高等代数（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2009.

［3］袁旭华，杨海文，赵海耀.几种类Vandermonde行列式的计算［J］.延安大学学报（自然科学版），2006，25（1）：13－16.

［4］马军，杨作威.范德蒙行列式的应用［J］.沧州师范专科学校校报，2007，23（1）：47－48.

［5］徐杰.范德蒙行列式的应用［J］.科技信息，2009，（17）：192－193.

［责任编辑 毕 伟］

情形4 由x≡1（mod2，u2≡1（mod8），从而由x＋2＝u2得出x≡7（mod8），代入x2－2x＋4＝61v2得到5v2≡7（mod8），显然这是不可能的，故该情形下（10）式无解。

综合以上4种情形的分别解述，得到不定方程x3＋8＝61y2仅有整数解（x，y）＝（－2，0）。

参考文献：

［1］曹玉书.关于不定方程x3±8＝3Dy2［J］.黑龙江大学学报（自然科学版），1992，19（2）：1.

［2］罗明.关于不定方程x3±8＝7y2［J］.重庆师范学院学报（自然科学版），1995（1）：29－31.

［3］王镇江，佟瑞洲.关于丢番图方程x3＋1＝13y2，xy≠0［J］.黑龙江大学学报（自然科学版），1991（4）：48－50.

［4］罗明.关于不定方程x3＋1＝14y2［J］.重庆交通学院学报，1995（3）：112－115.

［5］鲁伟阳，高丽等.关于不定方程x3－1＝301y2整数解的讨论［J］.云南民族大学学报（自然科学版），2013，22（4）：264－265.

［6］罗明.关于不定方程x3＋1＝7y2［J］.重庆师范学院学报（自然科学版），2003，20（1）：5－7.

［7］曹珍富.丢番图方程引论［M］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1989.

［8］WALK.D.T.On the Diophantine Equation mX2－nY2＝±1［J］.Amer.Math.Monthly，1967，74：504－513.

［责任编辑 毕 伟］

On the Integer Solutions of Diophantine Equation x3＋8＝61y2

WANG LONG
（Yanan Campus Shaanxi Radio and TV University，Yanan 716000，China）

This paper proves that the Diophantine equation x3＋1＝122y2has only integer solution（x，y）＝（－1，0），and then proves that the Diophantine equation x3＋8＝61y2has only integer solution（x，y）＝（－2，0）by using recurrent sequence，congruence，quadratic remainder.

diophantine equation；recurrent sequence；congruence sequence；integer solution

O151.21

A

1004－602X（2014）03－0006－05

10.13876/J.cnki.ydnse.2014.03.006

2014 07 04

张 莉（1989—），女，陕西铜川人，延安大学在读硕士研究生。