新课标下对数量关系教学的理性认识

彭永新

《数学课程标准》（2011年版）指出：“数学就是研究现实中数量关系和空间形式的一门科学。”那么数量关系是什么呢？通常所说的数量关系，多是指生产、生活中具体的数量关系，如“单价×数量=总价”等。实际上，四则运算意义本身就包含着经过高度抽象的、最基本的数量关系。在数学教学中，我们常常将数量关系作如下划分：从抽象程度来分，可分为基本数量关系（四则运算意义及其逆运算关系）和现实情境中的具体数量关系；从复杂程度来分，可分为简单数量关系和复合数量关系；从问题背景来分，可分为常见的数量关系和特殊的数量关系，等等。由此可见，数量关系的呈现变化多端，又无处不在，它既是数学基础知识的重要组成部分，又是借此培养学生逻辑思维能力和孕育数学思想方法的载体。下面，笔者结合教学实践粗浅地谈谈当下课堂教学中如何把握数量关系的教学。

一、充分认识数量关系作为数学基础知识教学的重要性，为学生对实际问题的解决产生顿悟打下坚实的基础

我们知道，任何问题的解决，都需要丰富而扎实的基础知识。笔者认为，要使学生获得的数学知识能真正地用来解决问题，关键是要引导学生在数量关系的学习构建过程中既掌握丰富的数量关系知识，又掌握数量关系知识的纵横联系，形成一个有机联系的知识组块，从而为学生对实际问题的解决产生顿悟打下坚实的基础。当下，随着新课改的不断深入，我们发现相当一部分学生对解决问题仍然感到畏难，遇到实际问题总感到手足无措，一个重要原因就是学生对数量关系知识的掌握苍白无力，对数量关系的理解不到位。这与我们教师自身对数量关系的理解不到位、不清楚不无关系。

根据笔者多年的教学经验，小学阶段数量关系的教学是随着年段的升高逐步深化并螺旋上升的。低年段结合四则运算意义的教学，先后出现总分关系的各种形式和两个量比较大小，这些都是数量关系学习的基础。针对本阶段学生形象化思维占主导地位的特点，教学时应结合具体问题情境，充分利用直观演示包括画线段图和有关操作，丰富低年级学生对数量关系的感知和体验，沟通数量关系与四则运算之间的对应联系。而中年段则应一方面继续引导学生丰富对数量关系的感知、体验，在加深理解的基础上，逐步进行提炼和抽象，用数学语言和符号构建数量关系式这一数学模型，如时间×速度=路程、单价×数量=总价、工效×工作时间=工作总量等。另一方面，还要引导学生积累分析复合数量关系的经验，运用变式练习和对比分析，让学生体会到分析的关键是找出隐含的中间问题，形成一定的分析方法和思路。到了高年段则需要在巩固的基础上拓展对基本数量关系的认识（特别是引入分数、比的概念），沟通各种数量关系之间的联系，促进知识网络的完善和方法能力的提升。

从上面的分析可以看出，数量关系的教学是一个相互联结不可分割的整体，具有连续性和系统性，需要我们在各年段教学时切实把握并加以落实。而现行新课标教材在内容安排上为避免传统应用题教材“一题一类型”、过于依赖数量关系的题型模式，故意打破题型套路，强调以学生的生活经历为基础，紧密联系四则运算的意义来分析、理解具体问题情境中的数量关系，并运用所学知识解决问题。这可能会误导一部分老师以为新课改弱化了对数量关系的理解、建构和掌握。笔者认为，学生在解决问题的过程中，从意识到问题的存在，到发现问题、寻找解题策略、确定解题思路、对解题过程进行反思，整个问题解决过程中处处都体现着数量关系知识的作用。这些丰富的知识背景可以使学生在面临实际问题时，能对问题及解决问题所需的知识作出适宜的解释，获得新颖独特的问题解决方法。那种脱离数学基础知识的系统教学，将会使学生对数量关系知识的理解掌握变得支离破碎，从而直接导致解决问题能力的弱化，这是需要警醒的。

二、加强对数量关系建构过程的教学，促进学生建立起良好的数量关系知识结构

关于数量关系的教学，课标明确要求“探索并理解简单的数量关系”，“使学生经历从实际问题中抽象出数量关系，并运用所学知识解决问题的过程”，等等。这表明课标并不是忽略数量关系的教学，而是强调从数学建构的角度看待数量关系的教学，把小学阶段数量关系的教学看作一个整体，按照学生年段特征整体梳理、不断衍生，在理解的基础上运用数学分类和概括的手段，凸显必要的数量关系模式，逐步做到深刻体验、及时抽象、合理分类、落实到位，最终形成良好的认知结构。

当下，有的老师片面理解课标要求，只讲体验、感知，不谈概括与分类，这要值得注意。比如，六年级教学“分数乘除法计算”之后，教材逐步安排了丰富的题材内容，创设了一些复杂的情景问题，其目的不仅仅是巩固理解分数乘除法的意义，巩固对分数乘除计算方法的掌握，更重要的是通过加强数量关系知识的训练，提高学生分析问题、解决问题的能力。有这样一道练习：“一辆汽车行■千米耗油■升，行1千米耗油多少升？用1升汽油可行多少千米？”就本题的解答，不少学生对汽车耗油量与行驶路程之间的数量关系往往容易混淆，怎么处理这一难点？笔者以为，可以借助时间与路程之间的关系来类推理解。比如，将题目改为：“一辆汽车行■千米用去■小时，行1千米需要多少小时？1小时可行多少千米？”让学生进行比较两种题材之间的共性联系，帮助学生发现耗多少油行驶多少路程可以理解为用多少时间行驶多少路程，这样可以帮助学生建立起耗油量与行驶路程之间的数量关系，即“耗油量÷路程=1千米的耗油量”“路程÷耗油量=1升油所行驶的路程”。同时使学生掌握数量间的相互联系，即已知“一辆汽车行■千米耗油■升”，既能求出行1千米耗油多少升，又能求出用1升汽油可行多少千米。对这样的分析，有一些教师会提出异议：认为现在新课标反对过多地使用名词术语，反对机械地套用模式，现在再提出“耗油量÷路程=1千米的耗油量、路程÷耗油量=1升油所行驶的路程”这样的数量关系，是否违背新课标精神？对此，笔者认为学生的数学学习过程，总是从学生的生活经验和客观事实出发，在解决现实问题的过程中学习理解和建构数学模型，再进行解释与运用。这其中，名词术语和数量关系的产生与运用，其实就是一个数学模型的建构过程，是学生在不断的数学学习过程中逐渐加深理解与运用拓展的过程。

三、重视数量关系隐含的策略化知识教学，尤其要注重数学思想方法的教学

学生学习数量关系的价值是什么，笔者认为，不仅仅是为了“解答应用题”，更在于能在解答应用题中学会创造性地解决问题。这就要求学生在学习数量关系知识的过程中储存有关如何学习和如何思考的策略性知识。而这种策略性知识往往是和事实性知识结合在一起的，需要我们在课堂教学中有意识地渗透、传授，以帮助学生获得大量的有关解决问题的一般的和特殊的策略性知识。比如，分类法、替换法、倒退法、假设法等，它们既是解决问题的基本手段，又是数学思想的直接体现，这其中观察、分析、猜想、综合、归纳、类比、抽象、概括等数学思维方法是思考的一般方法，而数形结合思想、函数与方程思想、分类思想、化归与转化思想等则是高层次的数学思想方法，具有观念性的作用。所有这些策略性知识的传授都可以与数量关系的学习与运用结合起来，成为一个有机的整体。

当前，我们对具体的思维方法的训练较为注意，但对数学思想的体现则显得不足，学生虽然也能运用一些具体方法来解决一些相应的问题，但一旦情景发生变化，特别是面对综合性问题时，学生就不知道如何用它，这是造成应用题教学老大难的重要原因。比如，以往的教材在讲解归一问题时，强调不变的多，说明变化的少。学生的思维只沿着解答这个问题一步一步推理，当遇到反归一应用题还要再举例讲解，把内在联系的问题分解得支离破碎，因而学生也只是一题一例模仿着例题做习题。现行的教材则指导学生用列表的方法整理条件，在列表的过程中分析数量关系，寻找解决问题的方法。这种思想方法一旦为学生所掌握，其作用远比解一两道类似的题目大得多，如果学生掌握了这种列表找对应关系的方法，解题能力会大大提高。

笔者认为，在数量关系的教学中，只有让学生掌握数学思想方法才能真正达到融会贯通，只有掌握了深层次的数学思想，才算是掌握了数学知识的核心，而这正是数量关系教学中贯彻素质教育、提高学生数学观念的关键所在。