数学基本活动经验：一种不可或缺的数学素养

周卫东

《数学课程标准》（2011年版）在落实“双基”的基础上，又增加了“两基”（数学基本活动经验、数学基本思想方法），提出了“四基”的要求，其中把学生积累数学活动经验也作为课堂教学的目标之一。学生数学活动经验是学生个人经验中的重要组成部分，是学生学习数学、提高数学素养的重要基础之一，它的产生和形成过程实质上是学生经历数学活动、得到深度体验的过程。回顾、反思日常的课堂教学，我们相对忽视了对学生数学学习过程本身的重视，忽略了促使学生生动活泼地学习和发展的长效性目标，学生学习的经验主要被解题经验所替代，学生数学活动经验单一和不足已是一个不争的事实，探寻根源，可能有如下原因。

一是知识和技能的双重挤压。长期以来，以“双基”教学为主要特征的课堂教学理念深深扎根在教师心中。分数至上的教学观，让老师不愿把时间浪费在“积累数学活动经验”这种对提高考试成绩帮助不大的低效行为上。他们更多地注重对学习结果的关注，相对忽视了对数学学习过程本身的重视。在考试指挥棒的影响下，检测的都是显性的知识点，新的“双基”没法考或很少考，因此不去关心什么是基本活动经验、怎样去实施活动经验的教学。如教学“推导圆的面积公式”时，在常态课中往往是学生眼巴巴地看老师（或课件）演示剪拼圆，有的甚至直接出示面积公式，这样大大减少甚至取消了活动时间。得出结论后，通过大量的巩固、变式及提高练习，提高解题技能。

二是教师专业素养的缺失。教师对基本活动经验的认识不足、理解不透，心有余而力不足，无法真正将其作为数学课堂教学关注的目标。因此，往往是手握“旧船票登上新客船”，学生的“伪经历”“被经历”现象时有存在，浮华的形式主义做法屡见不鲜。学生模仿了“经历”的“形”，未真正领略其“神”，没有真正的经历，缺乏积累活动经验的时机，丢失了积累活动经验的热情。另外，课程目标的变化让一部分有惰性的教师措手不及，对于新课程提出的基本活动经验还很陌生，更谈不上在平时的教学中去关注了。

杜威认为“一盎司经验胜过一吨理论”，《数学课程标准》的修订，改“两基”为“四基”，把“积累基本数学活动经验”作为教育目标提出，是基于动态的数学观，把数学看成是人类的一种活动，是一种充满情感、富有思考的经历体验和探索活动。

什么是数学活动经验呢？数学基本活动经验可以这样理解：指在数学目标的指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，形成和积累的过程性知识。

数学基本活动经验有三个要素。第一，是数学的。所从事的活动要有明确的数学目标。第二，是经验的。经验包含双重意义，一是经验的事物，二是经验的过程。第三，是活动的。主要指对数学材料的具体操作和探究活动。

数学基本活动经验有两个层面。从静态上看，它是一种从属于学生自己的主观性知识，是学生经过数学学习后对整个数学活动过程产生的认识，包括体验、感悟、经验等，虽然这只是学习个体主观上粗浅的、感性的认识，或者是不那么严格的隐性认识，但这种经验是有意义和价值的。从动态上看，它是过程，是经历。“数学的智慧并不表现在经验的结果上，也不表现在思考的结果上，而表现在经验的过程上，表现在思考的过程上。”积累数学基本活动经验更关注过程的教学，“经历过程”不仅仅是让学生经历知识产生的过程、知识的呈现方式，而且更是指探究的过程、思考的过程、抽象的过程、预测的过程、推理的过程、反思的过程等，从而积累观察、操作、猜想、归纳推广等活动经验。

在新课程背景下如何开展有效的数学活动，让学生在真正的经历中积累数学活动经验，成为当前数学教学中亟待研究与解决的问题。

世界上的很多经验是不可传递的，只能靠亲身经历。如包饺子，你不亲手包是不可能会包的；盖房子，不论怎么讲，你不亲自参与是不可能会盖房子的。所以必须让学生亲自参与，在这个过程中最重要的是帮助孩子理清如何去提出问题，如何去思考、分析问题，如何去反思，帮助学生逐渐积累这方面的经验。

一、引导学生经历充分的、多样化的体验，积累探究性经验

探究性学习的数学体验从何而来？是教师启发、诱导就能得到的吗？笔者以为，体验是置身特定情境下的感受，它一定是学生真切的、发自内心的感受。积累探究经验不是通过简单的活动和思考就可以完成的，它更强调的是一种严谨的追求、丰富的体验和真切的感受。因此，创设的特定情境应该“大气”，学生经历的活动应该“开放”。在这开放性的活动中，学生打开视野，拓宽思路，多方位、多角度地获取多样化的信息，才能积累丰富的探究经验。如教学“三角形面积计算”时，每桌学生准备两个信封，一个信封里装有四个不同的三角形（等腰和不等腰的锐角三角形各一个，直角三角形、钝角三角形各一个），另一个信封里装有两个完全一样的三角形（或锐角三角形，或直角三角形，或钝角三角形）。然后围绕“利用信封中的这些材料剪拼、加工成一个我们学过的图形”的要求，自由操作，自主探究，开放的环节赢得了丰富的课堂回报。生1：把三角形沿着两边的中点剪开，然后再拼成一个平行四边形。生2：先找到三角形两边的中点，然后沿两个中点分别作底边的垂线，再沿垂线剪下两个小的直角三角形，然后补在上面的三角形上就成了一个长方形。生3：把两个相同的锐角三角形拼成一个平行四边形。生4：把两个相同的直角三角形拼成一个长方形。生5：把两个相同的钝角三角形拼成一个平行四边形。

从这个单元的教材编排体系来看，这节课具有承上启下的作用，“承上”就是巩固从一个图形上（上一节课教学的是平行四边形的面积计算）割补的方法，“启下”是要学习用两个图形拼成一个学过的图形的推导方法（下一节课将学习梯形的面积计算）。其次，从学生的思维角度来看，这是两种完全不同的思维方式，它可以培养学生从不同的角度思考问题。材料的丰满、丰富，使得学生的探究更具价值，学生经历了如何割、拼图形，获取了怎样转化的活动经验，积累了探究活动“拒绝特殊”、要有一般性的经验。

探究经验的获得应该是一个不断猜想、验证、思辨的过程。学生在探究中多次尝试、思考、追问，体会越来越深，所积累的活动经验更科学、更丰富。

二、引导学生经历数学对接生活的过程，把生活经验转化为数学经验

学生在上学前、在校外已经接触、遇到过数学，积累了一些原始、初步的经验。他们对于新知识的认识和理解，有时需要沟通生活中已有的活动经验，需要有丰富的生活经验作背景，让生活经验和数学经验有效对接，使得日常生活经验数学化、数学活动经验生活化。因此，我们要善于捕捉生活中的数学现象，挖掘数学知识的生活内涵，将数学与生活密切联系，让学生亲身经历将生活经验转化为数学活动经验的过程，使学生充分积累数学化的活动经验。

学生有着很多日常数学或生活数学的体验，所以我们要基于学生的生活现实，基于学生的生活经验，把这些生活经验直接拿来或通过类比对接进行数学化处理，把生活经验作为促进学生进行数学思考的催化剂，以生成新的数学活动经验。生活经验用于帮助经历、体验新知识的形成过程，不仅简单、明了，而且生动形象，促进学生的经验从一个水平上升到更高水平，实现经验改造或重组。

三、引导学生经历操作与思考的过程，积累有效操作的活动经验

“智慧自动作发端”，动手操作是学生学习的重要途径和方法，通过动手操作把抽象的知识转变成看得见、讲得清的现象。学生动手、动脑、动口参与到获取知识的全过程，使操作、思维、语言有机结合，学生的体验才会深刻、牢固，获得的操作经验才会积极、有效。

比如，教学“平行四边形的面积计算”，在探索平行四边形的面积计算公式时，传统教学是引导学生动手操作，沿平行四边形的高剪下一个三角形或梯形，移到另一侧，拼成长方形，再引导观察、比较，推导出公式。其实，对于五年级学生而言，这样的操作似乎太顺利，太平实了。学生在中年级已学习了平移、平行四边形的认识、用七巧板拼平行四边形，并且在学习“平行四边形的面积计算”之前，教材有目的地安排了准备课“面积是多少”（苏教版教材第十册第10页），此时学生已有了相应的图形认知和平移、割补的活动经验，所以对于转化平行四边形并不陌生。如果一开始就让学生动手剪拼平行四边形，就弱化了学生的想象能力，也缺乏挑战性。实际教学中，先让学生在这一过程中进行动态的想象，借助表象在头脑中进行剪和拼的操作，再用手比划出剪移后的样子，试着用语言描述出长方形和原先的平行四边形之间的关系，接下来再把头脑中的思维过程通过实际操作外显出来，进行验证确认，如发现错误再进行纠正。

此案例中，在有了清晰可调度的表象积累后，学生再开展丰富的想象活动，进行表象操作，在更高层次上体验知识的形成过程。学生在这富有挑战性的活动中，所积累的迁移的经验、证明的经验、想象的经验也因个体的强烈感受而充满了活力，更具考验性、前瞻性。

在教学实践中，许多操作是为操作而操作，学生没有进行深刻的体验和深入的探究，缺少数学思考，就不会获得丰富、深刻的经验。因此，学生的动手操作不仅仅是直观、形象的“手指运动”，而且是充满着丰富、生动的思维活动，学生经历着具体问题数学化、数学问题具体化的过程，使得操作经验与思考经验、策略性经验有机融合，从实践与创新的过程中积累活动经验。

四、引导学生经历抽象概括的过程，积累建立数学模型的经验

抽象概括是形成概念、得出规律的关键性手段，也是建立数学模型最为重要的思维方法。学生充分地观察、思考、比较、发现后，获取了丰富的感性经验，再引导从许多数学事实或数学现象中舍去个别的、非本质的属性，而抽象出共同的本质属性，构建现实问题的数学模型。学生经历了抽象概括的过程，积累了如何建立数学模型的经验。

抽象概括，舍去了与数无关的具体情节，把反映数学问题的本质特征抽取出来，用关系式概括，形成数学模型。其实，许多数学问题貌似不同的数学情景的背后，往往具有相同的思维模型。因此，抽象、概括可以加深学生对事物本质的把握，形成一般化的认识，构建数学模型，积累了具体问题抽象化、形式化的经验。

五、引导学生经历反思推广的过程，积累情感、思想性经验

数学活动经验是属于学生自己的，带有明显的个性特征；就学习群体而言，活动经验又具有多样性。因此，数学活动经验的积累需要学生的自我反思、交流、总结，帮助学生经验显化，变“隐而不露”为“显山露水”。在反思中，感悟思考、探究的经验以及具体操作经验，并设置新的冲突，促进认知的触角不断拓展，这种经历促使学生形成善于推广、举一反三的数学活动经验，让学生获得一种思想的熏陶。同时总结自己在活动中成功或失败的经历，交流对数学的严谨性、数学美的感受，能有效促进情绪体验的发展。

比如，教学“平行四边形的面积计算”时，在课的总结环节，教师可以这样引导：这节课我们研究了平行四边形的面积计算，回忆一下，我们是怎样研究的，中间你有没有遇到什么困难，又是怎样克服的？（学生反思、交流）学生纷纷发言：生1：我一开始是用数方格的方法计算面积，但太繁了，后来就觉得应该研究更简便的方法。生2：我一眼就看出了从平行四边形中剪下一个三角形，平移到另一边，就转化成了长方形。这样通过长方形面积得出平行四边形面积就方便多了。生3：只要沿着高剪开就能转化为长方形，所以不一定是剪三角形，也可以剪梯形。生4：我把平行四边形转化成长方形后，在比较两个图形的联系时，误以为长方形的长和宽分别相当于平行四边形的两条边，后来在同桌的帮助下发现错了，看来以后学习中还是要细心观察。

接着课件再次回顾将平行四边形转化成长方形的过程。“下节课我们学习三角形的面积计算，你准备怎么研究？”问题的提出将本节课学生积累的活动经验进行提炼，推广运用到以后的学习中去。

我们的教学目标不能仅限于一节课，而应有长远的眼光，立足使学生终身受益。在平时的数学学习过程中，要引导学生检查自己的思维活动，反思自己是怎样发现、解决问题的，运用了哪些基本的思考方法、技能技巧，有什么好的经验和方法……使学生对数学的理解从量的积累到质的飞跃，这种经历生成的思想经验才是最具价值的。同时，越是复杂的数学活动越需要积极的情感意志相伴，这种体验性成分也是学生基本活动经验不可或缺的组成部分，它对于良好人格的塑造具有不可替代的作用。

“世界上有很多东西是不可传递的，只能靠亲身经历，你只能让学生在实际操作中磨炼，自己去感悟，去积累、反思。”翻开我们的数学课本，无处不在地体现了“经历”这一指导思想，走进我们的数学课堂，无时不有地蕴含了基本活动经验的积累。课堂教学需要学生有内涵的亲身经历，从而获得最具数学本质的、最具价值的数学活动经验，建构数学模型。著名教育家陶行知作了这样一个比喻：我们要有自己的经验做根，以这经验所发生的知识做枝，然后别人的知识才能接得上去，别人的知识方才成为我们知识的一个有机体部分。因此，学生在亲历中体验，在体验中累积，才能让经验的“根”更深、让智慧的“叶”更茂。