体上四阶特殊线性群同态的一个性质

钟 梅

(嘉应学院 数学学院，广东 梅州 514015)

0 引言

设F，K表示体，In是体上n阶的单位阵，ChF表示体F的特征，Eij表示除第i行第j列的元素为1，其它元素均为0的矩阵，SLn(F)、GLn(F)分别表示F上的n阶特殊线性群、一般线性群.且记

Jij=In-2Eii-2Ejj，1≤j

Tij(x)=In+Eij(x)，1≤i，j≤n，i≠j，x∈F；

Sij=In-Eii-Ejj+Eij-Eji，1≤i

ipA=PAP-1，∀A∈SLn(F)，P∈GLn(F)．

线性群同态一直以来受到一些学者的关注，是矩阵代数研究的重要课题.文献[1]于1990年在一定条件下确定了域上二阶特殊线性群的同态形式.文献[2]于1995年研究了特征相同的两个域F和K的的单同态σ:SLn(F)→SLn(K)和σ:GLn(F)→GLn(K).文献[4]研究了域上二维特殊线性群的同态.文献[5～6]研究了特征等于2时体上三阶四阶特殊线性群的同态形式.文献[7]研究了特殊线性群到同阶射影一般线性群的非平凡同态，得到了有关基础域的特征的一个结论.文献[8]研究了体上三阶特殊线性群的非平凡同态，得到了有关基础体的特征的一个性质.本文在此基础上，得到了体上四阶殊线性群的非平凡群同态的一个类似的性质.

1 主要结论及其证明

引理1．1 设F，K为体，φ∶SL4(F)→SL4(K)是非平凡群同态，若ChF≠2，ChK=2，且∃P∈GL4(K)，使ip(J12)=T12(1)，则∃P1∈GL4(K)，使

ip1φ(J12)=T12(1)，

证明由已知∃P∈GL4(K)，使ipφ(J12)=T12(1)．经计算有

若VUV-1=T12(1)，则令P1=(I2⊕V)P，可推出，存在a1，a2，b1∈K，使

由S12与J12交换且平方为J12，知有

再由[S12，J13]=J12，有

ip1φ(J12)=T12(1)，

引理得证.

引理1．2 设F，K为体，φ：SL4(F)→SL4(K)是非平凡群同态，若ChF≠2，ChK=2，且∃P∈GL4(K)，使

其中a，b，a1，b1∈K.

证明略

定理1．3设F，K为体，|F|>2，n≥3，φ：SL4(F)→SL4(K)是非平凡群同态，则ChF≠2⟹ChK≠2.

证明下面用反证法证.

假设ChK=2，由对合的性质，∃P∈GL4(K)，使

(1)若ipφ(J12)=T12(1)，由引理1．1，则∃P1∈GL4(K)，使

ip1φ(J12)=T12(1)，

又Ay为对合，有y1=1，Y2=I2，于是

Ip1φ(T12(y))=ip1φ(Ay)·ip1φ(J13)=

类似可得到c=0，与φ非平凡矛盾.

qy=0或qy=1.

特别有

类似又得到ip1φT12(y)=I4，与φ非平凡矛盾.

由于T12(1)与J12交换，则ip2T12(1)为下述形状：

综上，ChK≠2．

[1] CHEN Y． Homomorphisms of two dimensional linear groups [J]．Comm Alg，1990，18(7):2383-2396.

[2] ZHA J G．Determziation of Homomorphisms between linear groups of the same degree over division rings [J]．J．Lond Math．Soc．，1995，53(2):479-488．

[3] 刘国华，胡建华．域上二维特殊线性群的同态 [J]．上海理工大学学报．2010，32(2)：115-120．

[4] 钟梅． 体上三阶特殊线性群的同态 [J]．嘉应学院学报：自然科学，2006，24(3)：9-11．

[5] 钟梅． 体上四阶特殊线性群的同态 [J]．嘉应学院学报：自然科学，2007，25(6)：8-12．

[6] 生玉秋，闫闯．线性群同态的一个结论 [J].齐齐哈尔大学学报，2008，24(3):50-53．

[7] 钟梅． 体上三阶特殊线性群的同态的一个结论 [J]．嘉应学院学报，2012，30(2)：15-16．

[8] 华罗赓，万哲先．典型群 [M]．上海：上海科技出版社，1963．