浅谈数学概念的教与学

何成达

摘 要：历史表明，重要的数学概念对数学发展的推动作用是不可估量的，数学概念是数学的重要组成部分，又是其基础和基本技能的核心，清晰的数学概念是思维的前提，又是判断推理的基础。阐述在教学中如何让学生更有效地学习数学概念。

关键词：数学概念；了解；明確；巩固

数学概念是思维的细胞，是感性认识飞跃到理性认识的结果，数学概念是学生形成正确数学观的重要理论依据。由于概念本身具有的严密性、抽象性和确定性，因此在新课程理念下的数学概念教学，应充分调动学生参与课堂教学活动，使学生经历观察、分析、类比、猜想、归纳、抽象、概括、推广等思维活动，通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学概念的产生和发展过程。据此对数学概念的学习应足够重视。教学中怎样才能使学生更有效地学好数学概念呢？

一、使学生了解数学概念产生的背景，领略大师之智慧

很多数学概念的形成都有相关背景。如牛顿对力学的研究促进了微积分的发明，在解代数方程的过程中产生了虚数，功的计算就是向量数量积的物理背景。众所周知，丰富多变的现实世界和实际生活也是数学概念的来源之一。很多数学概念在生活中就有原型，如出租车、手机计费问题就是函数的实例。学生通过对概念的历史背景、专业背景、生活背景的了解，认清数学家发明、发现的动因，触及隐藏在概念中的数学家们的思想方法，领略大师们的智慧和闪亮之处。激发学生认知内驱力，激活学生的思维或兴趣，创造性地发挥学生潜能。

二、明确概念的内涵和外延，辨明相关概念之间的关系

概念的内涵是反映在概念中的对象的本质属性，外延是具有概念所反映本质属性的对象。挖掘新概念的内涵与外延是学习概念的必有过程。有些概念由于其内涵丰富多样、外延广泛，表述抽象，应用多变，逻辑性强，很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高。概念教学中要以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念。然后联系实际，研究概念发生的条件范围，剖析其中隐含的各种关系，联想有关的实物、图形，掌握本质属性，加深对概念的理解，明确其内涵。同时不能忽略对概念的外延学习，要认清概念所反映对象的各种类型，进而辨析各种类型之间的关系，寻找它们之间的区别与联系，这样才能系统地掌握概念，对概念有一个整体把握。中学教材中有许多概念具有相似的属性，对于这些概念的教学，教师可先引导学生研究已学过的概念属性，然后构建新知识生成的空间，引导学生去感受、去类比、去体验，让教学知识在积极的教学体验、比较中形成。在寻找新旧概念之间联系的基础上掌握概念。数学中有许多概念都有着密切的联系，如平行线段与平行向量、平面角与空间角、方程与不等式、映射与函数等等，在教学中应善于寻找、分析其联系与区别，有利于学生掌握概念的本质。概念精细化是完善概念教学的保证。在概念形成的基础上，对所学概念进行适当拓展，有时甚至会做出某种推论，这个过程被认知心理学家称为“精致”。在数学学习中，“精致”的实质是对数学概念的内涵与外延进行尽量详细的“深加工”。对“概念要素”进行具体界定，以使学生建立更清晰的概念表象，获得更多的概念例证，恰当地组合正例和反例，加强辨析。正例适应学生学习概念的初始阶段，比较有利于学生区分、鉴别和概括概念的本质属性；反例提供了最有利于辨别的信息，适当使用不但会使学生对概念的理解更精确，而且可以排除无关特征的干扰，对概念的细节把握更加准确，预防不必要的混淆，从而达到学生对概念更透彻地理解和认识。

三、重视同一概念的多种表达方式，多角度认识概念

同一概念往往有不同的表述方式，可用语言文字表达，也可用数学符号表述，也可用图象、表格等形式表述。文字表达的数学概念精练、简明、准确，所以对有些数学概念的辨析要“咬文嚼字”。数学符号表达的概念，简洁明了，易记易用；图形表示的概念直观、形象，便于观察、联想。比如，等差数列的文字定义为：一个数列从第二项起每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列是等差数列。符号表达式为：an-an-1=d（d为常数，n≥2）。或者2an=an+1+an-1

（n≥2）。再如，二次函数的表达式有：一般式、顶点式、交点式。函数概念有两种定义，一种是初中给出的定义，是从运动变化的观点出发，其中的对应关系是将自变量的每一个取值，与唯一确定的函数值对应起来；另一种是高中给出的定义，是从集合、对应的观点出发，其中的对应关系是将原象集合中的每一个元素与象集合中唯一确定的元素对应起来。从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，而函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，函数可用图象、表格、公式等表示，所以高中用集合与对应的语言来刻画函数，抓住了函数的本质属性，更具有一般性。认真分析两种函数定义，其定义域与值域的含义完全相同，对应关系本质也一样，只不过叙述的出发点不同，所以两种函数的定义，本质是一致的。当然，不同表述方法各有优点。因此，学习数学概念时，掌握同一概念的多种表示方法，从多角度认识概念，以便在解决具体问题时灵活选用，提高应用概念的能力。

四、尝试使用相关概念解决有关问题，巩固、加深对概念的理解

很多学生对概念的学习只停留在概念的记忆上，而忽略了对

概念的理解和应用。只有在应用过程中，大脑才能高速运转，才能不断地分析、综合，对获取的信息不断地加工、整理，进而进行判断推理。通过应用既能加深对概念的理解，又能提高分析解决问题的能力。数学概念形成之后，通过具体例子，说明概念的内涵，认识概念的“原型”，引导学生利用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用，是数学概念教学的一个重要环节，此环节操作的成功与否，将直接影响学生对数学概念的巩固以及解题能力的形成。在实际教学中，一定程度上存在着为概念而概念的想法，把数学中的概念与定理、公式和基本训练割裂开来，甚至对立起来。有的教师认为讲清概念，就是讲清课本中的一些定义或者名词、术语，满足于使学生记住，甚至熟背这些定义或者名词、术语。虽然在定理、公式教学中，必须涉及有关概念，但并不自觉，更不能有意识地使学生加深对概念的理解。学生对学习数学概念的目的不明确，产生学而无用的想法，这也是学生对数学概念的掌握不能巩固，不善于应用的一个主要原因。因此，运用数学概念解决问题是概念巩固、升华的过程。

五、总结提炼，使概念系统化

不会总结，就不会进步。只有不断总结，才能使所学概念条理化、系统化，使其内容更为精炼，更容易记忆和掌握。数学的概念是很抽象的，要使学生掌握它，并灵活应用，绝不是一件简单的事。如果忽视了概念系统化和精细化工作，学生就只能一知半解，不成体统。学生获得某些概念需要经过从局部到整体、由浅入深的过程，一下子就求全求深，学生反而不能掌握，造成概念模糊。只有在学习、应用过程中不断体会、总结、提炼，才能使概念系统化。比如，基本初等函数是函数的下位概念。我们可总结提炼为一张概念图来表示函数的概念系统。

总之，中学数学新课标提出了与时俱进地认识“双基”的基本理念，而概念教学是“双基”教学的重要组成部分，通过概念教学使学生认识概念、理解概念、巩固概念、应用概念，这是数学教学的根本目的。只有真正使学生在参与过程中产生内心的体验和创造，才能达到认识数学思想的目的。

参考文献：

[1]曹才翰，章建跃.中学数学教学概论[M].北京师范大学出版社，1990-01.

[2]章建跃，陶维林.概念教学必须体现概念的形成过程：“平面向量的概念”的教学与反思[J].数学通报，2010（01）.

编辑 张珍珍