数学建模中优化问题的计算机解法

张建生

【摘 要】优化问题是数学建模中最常见的问题，本文全面系统的阐述各种类型优化问题的MATLAB解法，包括无约束优化问题、有约束优化问题、线性优化问题、二次优化问题等。

【关键词】数学建模；优化问题；计算机求解；MATLAB语言

最优化问题就是求最大（小）值问题，是数学建模中最常见的问题，几乎每个建模问题都离不开优化。数学建模是用来解决实际问题，而在现实生产生活中，每个人、每个单位都希望自己所从事的事情能达到最化化。数学建模中的优化问题主要有四种类型，即无约束的优化问题、有约束的优化问题、线性优化（规划）问题和二次化化（规划）问题。

一、无约束最优化（fminunc）

命令 利用函数fminunc求无约束函数最小值

函数 fminunc

格式 ：

x = fminunc（fun，x0） %返回给定初始点x0的最小函数值点

x = fminunc（fun，x0，options） % options为指定优化参数

[x，fval] = fminunc（…） %fval最优点x处的函数值

[x，fval，exitflag] = fminunc（…） % exitflag为终止迭代的条件，与上同。

[x，fval，exitflag，output] = fminunc（…） %output为输出优化信息

二、有约束的最优化（fmincon）

有约束的多元函数的最优化的标准形式为：

min f（x）

s.t C（x）<=0

Ceq（x）=0

A*x<=b

Aeq*x=beq

lb<=x<=ub

其中：x、b、beq、lb、ub是向量，A、Aeq为矩阵，C（x）、Ceq（x）是返回向量的函数，f（x）为目标函数，f（x）、C（x）、Ceq（x）可以是非线性函数。函数 fmincon

格式：

x = fmincon（fun，x0，A，b）

x = fmincon（fun，x0，A，b，Aeq，beq）

x = fmincon（fun，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub）

x = fmincon（fun，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub，nonlcon）

x = fmincon（fun，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub，nonlcon，options）

[x，fval] = fmincon（…）

[x，fval，exitflag] = fmincon（…）

[x，fval，exitflag，output] = fmincon（…）

[x，fval，exitflag，output，lambda] = fmincon（…）

[x，fval，exitflag，output，lambda，grad] = fmincon（…）

参数说明：fun为目标函数，它可用前面的方法定义；

x0为初始值；

A、b满足线性不等式约束 ，若没有不等式约束，则取A=[ ]，b=[ ]；

B、Aeq、beq满足等式约束 ，若没有，则取Aeq=[ ]，beq=[ ]；

C、lb、ub满足 ，若没有界，可设lb=[ ]，ub=[ ]；

D、nonlcon的作用是通过接受的向量x来计算非线性不等约束 和等式约束 分别在x处的估计C和Ceq，通过指定函数柄来使用，

如： x = fmincon（@myfun，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub，@mycon）

先建立非线性约束函数，并保存为mycon.m：function [C，Ceq] = mycon（x）

C = … % 计算x处的非线性不等约束 的函数值。

Ceq = … % 计算x处的非线性等式约束 的函数值。

lambda是Lagrange乘子，它体现哪一个约束有效。

output输出优化信息；

grad表示目标函数在x处的梯度；

hessian表示目标函数在x处的Hessiab值。

三、线性规划问题（linprog）

min f（x） x属于R

s.t： A*x<=b；

Aeq*x=beq；

lb<=x<=ub；

其中f、x、b、beq、lb、ub为向量，A、Aeq为矩阵。

函数 linprog

格式：

x = linprog（f，A，b） %求min f s.t 线性规划的最优解。

x = linprog（f，A，b，Aeq，beq） %不等式约束 ，若没有不等式约束 ，则A=[ ]，b=[ ]。

x = linprog（f，A，b，Aeq，beq，lb，ub）%指定x的范围 ，若没有等式约束 ，则Aeq=[ ]，beq=[ ]

x = linprog（f，A，b，Aeq，beq，lb，ub，x0） %設置初值x0

x = linprog（f，A，b，Aeq，beq，lb，ub，x0，options） % options为指定的优化参数

[x，fval] = linprog（…） % 返回目标函数最优值，即fval= f

[x，lambda，exitflag] = linprog（…） % lambda为解x的Lagrange乘子。

[x， lambda，fval，exitflag] = linprog（…） % exitflag为终止迭代的错误条件。

说明：若exitflag>0表示函数收敛于解x，exitflag=0表示超过函数估值或迭代的最大数字，exitflag<0表示函数不收敛于解x。

四、二次规划（quadprog）

标准型为：

Min Z= XTHX+cTX

s.t. AX<=b

VLB≤X≤VUB

用MATLAB软件求解，其输入格式如下：

1.x=quadprog（H，C，A，b）；

2.x=quadprog（H，C，A，b，Aeq，beq）；

3.x=quadprog（H，C，A，b，Aeq，beq，VLB，VUB）；

4.x=quadprog（H，C，A，b， Aeq，beq ，VLB，VUB，X0）；

5.x=quadprog（H，C，A，b， Aeq，beq ，VLB，VUB，X0，options）；

6.[x，fval]=quaprog（...）；

7.[x，fval，exitflag]=quaprog（...）；

8.[x，fval，exitflag，output]=quaprog（...）；

参考文献：

[1]孙祥、徐流美、吴清. MATLAB7.0基础教程. 清华大学出版社. 2005年

[2] 林雪松、周婧、林德新. MATLAB7.0应用集锦. 机械工业出版社. 2006年

[3]邱李华. MATLAB7及工程问题解决方案. 机械工业出版社. 2006年