微积分证明题中的常数变易法

顾晓伟

（苏州健雄职业技术学院现代港口与物流管理系，江苏太仓215411）

顾名思义，常数变易法就是将某一常数换成变量，引入辅助函数证题的方法.此法在证明等式和不等式时有普遍应用.请看以下几例：

故当 x＞a 时,f(x)单调增加.又 f(a)=0,所以当 x＞a 时,f(x)＞f(a),

(x2+a2)(ln x-ln a)＞2a(x-a).从而当 b＞a＞0 时,有(b2+a2)(ln b-ln a)＞2a(b+a).即：

例 2 设 b＞a＞e,求证:ab＞ba.

[证明]考察 F(x)=x ln a-a ln x,a≤x＜+∞,F(x)在[a,+∞）可导,F(a)=0,

所以 F(x)在[a,+∞）单调上升,即 b＞a＞e 时有 F(b)＞F(a)=0,即 b ln a＞a ln b，

因此 b＞a＞e 时,ab＞ba.

例 3 设 f(x)在［0,+∞）连续.又 f(0)=0,f″(x)＜0(∀x＞0),求证:对∀x1＞0,∀x2＞0,f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2).

[证明]考察函数 F(x)=f(x)+f(x1)-f(x1+x),由 f′(x)＜0(∀x＞0)知 f′(x)在x＞0 单调减少,故 f(x)＞f(x1+x)，即 F′(x)=f′(x)-f′(x1+x)＞0(∀x＞0),所以 F(x)在 x＞0 单调上升,又 F(0)-f(0)=0,故 F(x)＞0(x＞0).因此∀x2＞0,∀x1＞0,有 F(x2)=f(x2)+f(x1)-f(x1+x2)＞0,即 f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2).

例 4 设函数 f(x)在［0,1］连续,在（0,1）内可导,且 f(0)=0,0＜f′(x)＜1

例5 设f(x),g(x)均在［a,b］上连续,证明柯西不等式:

亦即：

例6 设f(x)连续，证明：

[分析]本题可用分部积分法或二重积分法证明。但若将a当作变量，由于当a=0时等式两边相等（均为零），只需检验二边的导数相等.事实上，左边导数为而右边导数为.两者相等，故原式成立.