基于稳健估计的沉降预测方法*

彭仪普，伍绍浩，张莹超

(1.中南大学 土木工程学院，湖南 长沙410075;2.中南大学地球科学与信息物理学院，湖南长沙410083)

现代科技的不断进步为获取高质量、高精度、高可靠性的测量数据提供了重要的保障，但由于仪器设备可能出现的不稳定性和人员操作的不规范等因素的影响，导致在大量数据中仍然有粗差的存在。在使用曲线拟合法［1－6］进行沉降数据预测时，由于不同算法自身特点，对所处理的数据也有特殊要求:双曲线［1］中，需要将实测数据绘制(t－t0)与(t－t0)/(St－S0)的关系图，再拟合直线，求斜率与斜距，再求沉降量;Asaoka法，需要将等时距处理后的数据绘制Si－Sj关系图，再拟合直线，求斜率与斜距，再求沉降量。这些拟合过程多采用基于最小二乘估计的拟合方法，一旦原始数据中包含粗差，对参数的估计则与实际情况严重不符，进而对预测的沉降值产生严重偏差。为了将含有粗差的测量数据进行合理地处理，本文将稳健估计引入到沉降监测数据的预处理中，有效地解决了粗差对沉降预测结果的影响。

1 常用曲线拟合法

1.1 双曲线法

双曲线方程为:

式中:St为时间t时的沉降量;S0为初期沉降量(t=0);a和b为将荷载不再变以后的实测数据经过回归求得的系数。

将式(1)变换为

由实测数据绘制(t－t0)与(t－t0)/(St－S0)的关系图，如图1。再拟合直线，求得斜率与斜距，进而求得沉降量。

图1 双曲线法求a和b方法Fig.1 Hyperbola method for a and b

1.2 Asaoka 法及其求解步骤

日本学者 Asaoka(1978年)［7］提出一种基于一维固结理论的沉降预测方法，解出沉降量S可以由以下微分方程表示:

式中:S 为总沉降量;a1，a2，…，an，C 均为常数。

在沉降预测时，一般仅取一阶方程:

当观测时间等距时，对上式离散化，可以解得:

式中:Si为沉降量;β0和β1为待定参数。

取恒载期的等时距沉降观测序列{S1，S2，…，Sn}作Si－Si－1拟合直线，如图2。从而求出截距β0和斜率β1，进而求出最终沉降值:

图2 Asaoka法图解示意图Fig.2 Plot of Asaoka’s method

2 稳健估计

最小二乘估计是基于观测值的特定分布为正态分布，但当观测值混入粗差时，未知参数估计值会受到严重影响，稳健估计就是针对最小二乘估计这一缺陷提出的［8］。稳健估计基本可分为3类:M估计，L估计和R估计。M估计是一种广义的极大似然估计，易于实施，因此本文拟采用M估计，由 Huber［9］提出。

2.1 稳健估计基本原理

设有参数向量X是未知的非随机量，为了估计X，进行了n次观测，得到了观测向量L的观测值l，由极大似然估计有:

则由极大似然估计有:

M估计的估计方法有许多种，其中应用最广泛的是选权迭代法，其模型如下:

误差方程:

权函数矩阵:

估计准则:

其中:pi(vi)= ρ′(vi)/vi

其计算步骤为:

(1)建立误差方程

(3)由V(1)确定各观测权函数p(i)(v)，再解算法方程，作类似迭代计算，直至前后2次解的差值符合限差要求为止，最后结果为:

2.2 几种常用的权函数

M估计的估计方法有许多种，其中应用最广泛的是选权迭代法，选权迭代法其权函数的选取有许多种方法，比较常用的有:(1)Huber法;(2)一次范数最小法(L1估计);(3)P范最小法(LP估计);(4)丹麦法;(5)Hampel法;(6)IGG法(周江文法)等［10－13］。由前面的讨论可知，稳健估计有异于普通最小二乘估计的关键之处在于权函数的选取。限于篇幅，本文仅对Huber法做简要介绍。

Huber给出的ρ函数和Ф函数分别为:

式中:c为常系数，一般取c=2σ，对应的权函数为:

3 实例分析

某铁路采用高标准的无砟轨道铺设，选取的路基沉降监测地段为CFG桩复合地基加固，路堤填高5～6 m［14］，采用其中一个断面沉降板观测数据进行沉降分析，监测数据见表1。为了验证稳健线性拟合的有效性，在原始数据第76期加入－3 mm，第284期，加入+5 mm的粗差，对比分析最小二乘拟合与稳健线性拟合处理后结果差异情况。其中，稳健线性估计的选权迭代法采用Huber法。

表1 沉降板观测数据Table 1 Measured settlements

3.1 基于稳健线性拟合的双曲线预测

在使用双曲线法对沉降数据进行预测时，需要将实测数据绘制(t－t0)与(t－t0)/(St－S0)的关系图，再拟合直线，求得斜率与斜距，进而求得沉降量。从数据拟合过程、预测结果、拟合过程的参数3个方面进行分析。最小二乘线性拟合与稳健线性拟合过程对比如图3。

图3 双曲线法系数a和b拟合过程对比Fig.3 Comparison of coefficients a and b by hyperbolic method

从图3可以看出:在无粗差的情况下，最小二乘线性拟合与稳健线性拟合的拟合直线基本重合，说明二者预测效果基本一致;在含粗差的情况下，稳健线性拟合的直线基本不受粗差的影响，直线任然能很好地拟合绝大部分数据点。

表2为原始数据无粗差、含粗差情况下，通过最小二乘拟合与稳健线性拟合后的每期预测结果。通过表2可看出:在无粗差的情况下，最小二乘线性拟合与稳健线性拟合的结果相对于实测值，仅在第90 d和第104 d相差接近1 mm，其他各期均小于0.5 mm。且二者的差值均在0.01 mm内，可见二者在无粗差的情况下预测结果基本一致。

表2 无粗差、含粗差时各期预测值与实测值差值对比Table 2 Comparisons between predicted values and measured values for each period with gross errorwithout gross error

加入粗差后，最小二乘线性拟合后预测结果与稳健线性拟合预测后结果均存在波动，且越靠近粗差时，波动越明显。而稳健线性拟合后预测结果波动性较小，相对平缓。这一趋势在预测值与实测值残差对比图中也得以体现，如图4。

图4 含粗差时各期预测值与实测值残差图Fig.4 Difference values between predictive values and measured values with gross error

表3为最小二乘线性拟合、稳健线性拟合计算的最终沉降值。由数据发现，前者计算结果受粗差影响较大，前后相差达2.79 mm;后者受粗差的影响极小，前后相差仅0.95 mm。可见稳健线性拟合法预测沉降值能很好的抵御粗差。

3.2 基于稳健线性拟合的Asaoka法预测

由于Asaoka法不能用来分析沉降过程，因此在此仅讨论对最终沉降值的影响。限于篇幅，本文采用线性插值做等时距处理。对不同时间间隔的求解过程如图5所示。

由图5和表4可知:

(1)当数据点中无粗差时，采用最小二乘线性拟合求解的各最终沉降值存在差异，最大差值约为0.75 mm(Δ=45 d与Δ=5 d时);而采用稳健线性拟合求解的各最终沉降值相差不大，最大仅为0.29 mm，但存在小于最终实测值的情况。

表3 双曲线法拟合系数与最终沉降值Table 3 Hyperbolic method fitting coefficients and the final settlement values

(2)当数据点中存在粗差时，采用最小二乘线性拟合求解的各最终沉降值差异较大，最大差值达4.92 mm;而稳健线性拟合求解的各最终沉降值无较大差异。

(3)对比表4中数据，当数据点中存在粗差时，最小二乘线性拟合求解的最终沉降值与无粗差时求得的最终沉降值相差较大;而采用稳健线性拟合求解的最终沉降值与无粗差时求得的结果相差不大，这表明稳健线性拟合具有很好的抵抗粗差的能力。

(4)当Δ＞45 d时，采用最小二乘线性拟合与稳健线性拟合的结果基本一致，这主要是因为随着时间间隔的增大，得到的数据点减少，稳健线性拟合的优越性无法体现。

图5 Asaoka法求解对比Fig.5 Comparison of settlement predicted by Asaoka’s method

表4 最小二乘线性拟合、稳健线性拟合相关数据分析Table 4 Analysis of relevant data by least square linear fitting and by robust linear fitting

4 结论

(1)在使用曲线法进行预测时，当沉降数据混入粗差后，采用最小二乘拟合法进行数据处理时，可能导致预测结果失真;而稳健线性拟合法能很好的抵抗粗差，进行数据处理则受粗差的影响极小，能得到与实际情况相吻合的结果。

(2)在采用Asaoka法中，使用稳健线性拟合法对等时距数据进行处理时，选取的时间间隔不宜太大。取样间隔过大易导致需拟合的数据点过少，稳健线性拟合法的抵抗粗差优越性无法体现。

(3)由于不同预测方法原理不同，预测的最终沉降量可能小于实测数据。因此，需使用多种方法计算，选择较好的预测结果。

［1］潘林有，谢新宇.用曲线拟合的方法预测软土地基沉降［J］.岩土力学，2004，25(7):1053－1058.

PAN Linyou，XIE Xinyu.Observational settlement prediction by curve fitting methods［J］.Rock and Soil Mechanics，2004，25(7):1053 －1058.

［2］陈善雄，王星运，许锡昌，等.路基沉降预测的三点修正指数曲线法［J］.岩土力学，2011，32(11):3355－3361.

CHEN Shanxiong，WANG Xingyun，XU Xichang，et al.Three－point modified exponential curve method for prediction subgrade settlement［J］.Rock and Soil Mechanics，2011，32(11):3355 －3361.

［3］梅国雄，宰金珉，殷宗泽，等.沉降_时间曲线呈_S_型的证明_从一维固结理论角度［J］.岩土力学，2004，25(1):21－23.

MEI Guoxiong，ZAI Jinmin，YIN Zongze，et al.Proof of s－t curve appearing“S”shape based on one－dimensional consolidation theory［J］.Rock and Soil Mechanics，2004，25(1):21 －23.

［4］杨涛，李国维，杨伟清.基于双曲线法的分级填筑路堤沉降预测［J］.岩土力学，2004，25(10):1552－1555.

YANG Tao，LI Guowei，YANG Weiqing.Settlement prediction of stage constructed embankment on soft ground based on the hyperbolic method［J］.Rock and Soil Mechanics，2004，25(10):1552 －1555.

［5］王星运，陈善雄，余飞，等.曲线拟合法对路基小变形情形适用性研究［J］.岩土力学，2009，30(9):2763－2769.

WANG Xingyun，CHEN Shanxiong，YU Fei，et al.Study of applicability of curve fitting methods in small settlement of subgrade［J］.Rock and Soil Mechanics，2009，30(9):2763－2769.

［6］陈善雄，王星运，许锡昌，等.铁路客运专线路基沉降预测的新方法［J］.岩土力学，2010，31(2):478－488.

CHEN Shanxiong，WANG Xinyun，XU Xichan，et al.New method for forecasting subgrade settlement of railway passenger dedicated line［J］.Rock and Soil Mechanics，2009，30(9):2763－2769.

［7］Asaoka Akira.Observational procedure of settlement prediction［J］.Soils and Foundations，1978，18(4):87 －101.

［8］李志俊，彭仪普.客运专线CPⅢ测量有关技术分析［J］.铁道科学与工程学报，2011，8(2):123－128.

LI Zhijun，PENG Yipu.Technical analysis of the CPIII surveying to the passenger dedicated railway line［J］.Journal of Railway Science and Engineering，2011，8(2):123－128.

［9］Huber P J.Robust estimation of a location［M］.Ann Math Statist，1964.

［10］刘大杰，陶本藻.实用测量数据处理方法［M］.北京:测绘出版社，2000:52－58.

LIU Dajie，TAO Benzao.Practical method for surveying data processing［M］.Beijing:Surveying Press，2000:52－58.

［11］李浩军，唐诗华，黄杰.抗差估计中几种选权迭代法常数选取的探讨［J］.测绘科学，2006，31(6):70 －72.

LI Haojun，TANG Shihua，HUANG Jie.Discussion for the selection of constant in selecting weight iteration method in robust estimation［J］.Science of Surveying and Mapping，2006，31(6):70 －72.

［12］陶本藻.稳健估计的应用问题［J］.地矿测绘，2000(1):1－3.

TAO Benzao.Application problem of robust estimation［J］.Geological Mining Surveying and Mapping，2000(1):1－3.

［13］陈西强，黄张裕.抗差估计的选权迭代法分析与比较［J］.测绘工程，2010，19(4):8 －12.

CHEN Xiqiang，HUANG Zhangyu.Analysis and comparison of the selecting weight iteration method in resistance robust estimation［J］.Engineering of Surverying and Mapping，2010，19(4):8 －12.

［14］郑建国，潘烈，丁吉峰，等.Asaoka法中时间间隔取值范围的应用研究［J］.工业勘察，2012(5):15－18.

ZHENG Jianguo，PAN Lie，DING Jifeng，et al.Study on application of asaoka’s method in time interval value scope［J］.Geotechnical Investigation and Surveying，2012(5):15－18.