浅谈排列组合问题的解题策略

摘 要：排列组合问题是高考的必考题，其思考方法独特，求解思路灵活，联系实际生动有趣，但题型多样，不易掌握. 本文就排列组合问题中常用的解题方法进行了归类整理.

关键词：排列；组合；解题策略

排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，也是容易失分的题. 笔者以近年来的高考真题为例，介绍几种常用的解题方法和策略.

[⇩] 分类法和分步法

[⇩] 特殊元素和特殊位置优先策略

例2 （2006全国Ⅰ）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有_____种.（用数字作答）

解析 甲、乙二人的排法有特殊要求，优先排这两个特殊的元素. 甲、乙排法有A种，其余5人安排有A种方法，所以共有AA=2400种，故应填2400.

[⇩] 插空法和捆绑法

对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可. 相反的，对于局部“小整体”的排列问题，可先将局部元素“捆绑”在一起看做一个元，与其余元素一同排列，然后再对这几个元素进行全排列，即“松绑”. “相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”.

例3 （2013全国大纲版理）6个人排成一行，其中甲、乙二人不相邻的不同排法共有_____种. （用数字作答）.

解析 先把其他4人排列有A种，再将甲、乙二人插入其中的5个“空”，有A种插入方法，即得不同的排法共有AA=480种，故填480.

例4 （1996年全国文）6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同的排法有（ ）

A. 720种 B. 360种

C. 240种 D. 120种

解析 把甲、乙两人视为一人，这样6个人看做5个人，5个人的排法有A种，甲、乙两人还有顺序问题，所以排法为AA=240种，故选C.

[⇩] 选排问题先选后排策略

解排列组合混合问题，先选后排是最基本的指导思想.

例5 （2013北京理）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是____.

解析 先选出给同一人的2张连号券，有12，23，34，45四种选法，再对4个人全排列，故共有4A=96种分法.

[⇩] 定序问题用除法

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.

例6 （2006江苏）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法.

解析 同色球不加以区分，先全排列，再消去各自的顺序即可，因而将这9个球排成一列共有=1260种不同的方法，故填1260.

[⇩] 元素相同问题隔板策略

对于相同元素的分组这类典型问题，可用“隔板”法求解.

例7 某学校要从高三的6个班中派9名同学参加市中学生外语口语演讲，每班至少派1人，则这9个名额的分配方案共有_____种.

解析 将9个名额视为9个相同的小球排成一排，然后在9个小球的8个空位中插入5块木板，每一种插法对应着一种方法，故共有不同的方法为C=56种，故应填56.

[⇩] 复杂排列组合问题构造模型法

例11 马路上有编号为1、2、3、…、9九盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，则满足条件的关灯方案有_____种.

解析 一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型、排队模型、装盒模型可使问题变得容易解决. 此问题看似复杂，其实可以把当做一个排队模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C=10种方法，所以满足条件的关灯方案有10种，故应填10.

由于排列组合问题考查思维灵活，因而这里所介绍的适用不同要求的各种方法并不是绝对的，对于同一问题有时会有多种方法，这时要认真思考和分析，灵活选取最佳方法.