数学认识信念

摘 要：视点结构教学理论告诉我们，理想的教学是教学科学、技术、艺术三位一体. 教学艺术的基础和前提，是教学的科学与技术，科学、技术与艺术带给课堂的就是准确、高效和美感. 这些是课堂教学的终极目标. 本文从影响学生数学认识信念的角度，论述教师应该如何构建自身的教学，帮助学生建立正确的数学认识信念，形成美的感受.

关键词：信念；科学；技术；艺术

数学认识信念最早是由Schoenfeld （1985）在其著作中提出，他认为数学认识信念系统是一个人的数学观，是个体处理数学和数学任务时持有的观点. 多数学者认为数学信念是学生认知成分与情感成分的交叉. 笔者认为影响学生数学信念的因素有很多，除了学生自身因素外，也少不了教师的参与. 教师的数学认识信念和教学中所营造的环境，对树立学生的认识信念起到至关重要的作用.

首先来看教师的数学认识信念对学生的影响. 例如，在教学中，教师认为数学应该是严谨的，任何结论都应该经过严格的证明和实际的检验，那么学生在处理问题时就会谨小慎微，不会随意得出结论，不会对定理、推论等条件进行擅自改变，但是带来的负面影响是：学生进行猜想、推理的能力就会下降，甚至不能接受推理是数学发现的重要手段，认为推理就是瞎猜. 又如，教师认为数学是抽象的学科，训练的是学生的逻辑思维，不认为数学可以解决现实生活中的问题，因此在教学中把课本中凡是与实际相关的例题全部都替换掉，觉得这样的问题是浪费时间，计算量还大，那么学生看到了教师的这种行为，自然就会认为实际应用题没有任何价值，还是多做一些“纯”数学问题来的实在，久而久之，学生对数学的认识信念自然产生了偏差. 这也是很多人认为“自己不是学数学的料”的重要原因. 因此，作为教师，我们自己就要先树立对数学的正确认识，这样才能反应在我们的教学中，从而对学生产生重大影响.

其次来看教师在教学中营造的环境对学生的影响. 例如，教师认为学好数学就要建立在大量练习的基础上，尤其高三题海战术是必须的，大量印发练习卷子，购买练习册，那么学生就会感受到这种紧张的空气，疲于进行大量的练习，缺少总结归纳，缺少变式应用，完全陷在题海中，自信心备受打击，产生了害怕学数学的情绪；而如果教师在教学中能将所讲知识的背景、产生的源泉、解决的问题处理清楚，对内容进行归纳整理，将方法梳理，从一个问题出发，讲好讲透，而不是大量的留练习和作业，那么学生也会受到感染，寻本溯源，养成科学的态度、严谨的学风，而不是片面地对数学问题进行认识，知道一个数学结论就如获至宝，赶紧看它能用于解什么样的题.

正是由于教师对数学的认识与营造的教学环境可以对学生产生重大影响，因此教师应该重新认识数学，也要重新评价我们的教学. 那么，我们究竟应该如何评价自己的教学呢？视点结构教学理论告诉我们，衡量教学的根本标准就是准确、有效、美感. 准确指教学的科学性，所讲的知识必须正确清晰，目标定位合理；有效指教学的技术性，要让学生听得清楚明白，教师教学过程的方法、言语、思维、管理等行为，有助于学生理解知识和达到目标；美感指教学的艺术性，在科学准确和技术有效基础上，形象生动，重组创新，富有感染力和感召力.

教学必须是科学的. 科学性是教学活动得以实施的大前提. 教学包括内在逻辑与外在形式，笔者认为内在逻辑就是科学，外在形式就是技术与艺术，没有科学做基础，技术与艺术是空洞的，甚至只是花架子. 北京从2007年开始实施新课程，教师面临的最大问题就是教材内容的变化和教学实施方法上的变化. 如果不能把教材读懂、读透，就是丧失了知识的科学性，如果教师对知识的理解产生偏差，即失去了对数学的正确认识，那直接影响的必然是学生对数学的认识. 以上说的是知识层面上的问题.接下来看态度层面上的问题，每一次课程改革都会对教师的心理产生重大的影响，多少有些排斥，这和人的习惯分不开，人们总是不接受改变，教师的这些情绪会带到教学工作中，继而对学生学习新课程的态度和方法产生影响. 因此，作为教师，要从心里接收它，适应它. 这种适应体现在科学层面和技术层面上.

没有课堂教学的科学性，课堂教学即使再技术、再艺术，也只会偏离中心更远.那么如何在最短的时间内，将知识理解正确呢？笔者认为最重要的方法就是提炼知识结构的流程图，找到核心知识，然后向外拓展延伸. 所谓核心知识，多数情况是指概念，而概念一定要放在一个系统中去理解，才能体现科学性，其结构如下图：

其意思是，从一个概念（视点）的内涵出发，沿着概念的关键词向各个方向逻辑地延伸，从而在知识和知识、事实与事实之间建立起有机联系（即逻辑结构），深刻感知、理解事物本质，形成抽象思维与形象思维等融合交叉的思维方式，进而获得丰富而深刻的体验和美观体验的教学过程. 这与新课程数学教学所提倡的逻辑思考方法是一致的：

按照这种画流程图的方法，教师可以在最短的时间内掌握新课程的内涵与外延，从而进入状态. 我们说，教学一定是科学地教，然后才是艺术地教！但都得合逻辑地教.什么是逻辑？它本质上就是关系，而教学逻辑就是教学的关系. 因此，流程图所反映出来的逻辑体系是教学的大前提. 教师在头脑中构建了数学知识的逻辑体系，无论讲授任何数学知识，也都只是所形成的知识体系中的一部分. 所以说，构建知识体系，形成逻辑，体现科学性，是教学工作的出发点，知识体系的建立，也是教师数学认识信念形成的开始. 我们的教学，就是靠这样的认识信念对学生产生影响的.

此外，笔者认为对数学的认识信念也体现在教师对教材的处理上. 这考验了教师对知识的理解与认识所达到的程度. 用高中数学中“函数”这个概念举例. 这个知识在初中教材和高中教材中都有定义. 初中的定义是：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.高中的定义是：设A，B是非空数集，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数. 也就是说，函数的本质其实就是四个字：对应关系. 在高中的教学过程中，笔者发现大多数学生只有看到类似y=x2这样的关系式才认为这是函数，具体问谁是函数，学生的回答是“y是函数，y是x的函数”. 这就是学生对数学概念的错误认识. 其实y不是函数，x更不是函数，y与x的对应关系才是函数，它是抽象的，是看不见摸不到，但却能体会到的. 造成这种对数学概念错误认识的原因，就是教师对教材的处理出现了问题. 我们应该如何处理教材？是用教材教，还是教教材？这需要教师去判断，教材并不是科学的权威，我们也不是不能挑战它. 笔者认为，求函数的解析式不重要，画图也不重要，理解什么是函数才是最重要的.无论初中还是高中，我们对于“函数”这个概念的教学就抓住四个字——“对应关系”即可. 这就是教师的智慧所在，这才是尊重知识科学性的体现.

再举一个例子，在高中数学的教学中，有一个知识点是“命题的否定”. 很多的书都说命题的否定就是条件不变，否定结论，这也缺乏科学性. 我们的教材上只讲了全称命题与特称命题的否定，没有具体讲解命题的否定. 所以在处理这个问题上，教师就不要举这样的例子去迷惑学生，其实命题的否定就是对整个命题的否定，不是简单的条件不变，否定结论，我们应该尊重科学的严谨性，不能按照“想当然”去延伸知识，错误的拓展延伸还不如不拓展、不延伸. 总之，科学性是一切教学活动的前提，是基石. 不讲究科学，就无法构建正确的数学认识.

其次，教师的教学必须是技术的. 无论传统课程还是新课程，都必须从教师头脑中的知识细节转化为教学操作行为细节，最后再转化为学生一点一点发展的事实. 这就是教学的技术性. 教学的技术性，就是要让学生听得清楚明白，教师教学过程方法、言语、思维、管理等行为，都要有助于学生理解知识和达到目标. 我们说，教师讲授相同的、具有科学性的知识，为什么学生的接受程度会有差异呢？可能有些人会认为，这和学生的智力水平和认知水平是分不开的. 这一点当然是正确的. 但是我们有没有想过，其实教师的教学行为，会对学生的认知产生重大的影响？举一个物理中的例子，教师讲授的内容是“什么是力”，首先教师说：今天学习物理学的一个最基本的概念“力”，力是两个物体或两个以上物体的相互作用. 与此同时，教师拍了一下手，告诉学生这就是力. 接下来在黑板上写关键词：两个物体（或两个以上物体）、相互作用. 我们说评价课堂教学的三个指标就是准确、高效、美感，也就是刚刚谈到的科学性、技术性和艺术性. 在这个案例中，教师的讲解对学生有误导作用：就是两个物体要接触，但力的发生并不需要接触（例：磁场、重力），因此带给了学生错误的认识，干扰学生今后学习. 知识虽然准确，具有科学性，但是操作不准确，即教学行为不是有效的，换句话说就是技术层面产生错误，而这个错误所埋下的隐患会等待时机爆发. 所以说，知识精准，操作有效，是生动美感（教学艺术、自由创造）必须的前提. 作为教师，我们要想让课堂达到艺术、达到美感，除了解决科学性的问题，技术性的问题也是必不可少的，它是科学性与艺术性之间不可或缺的桥梁. 教师教学的技术性，归根到底就是教师所营造的教学环境，而环境因素影响的就是学生学习信念的形成.

下面我们从微观的角度看待教学的技术性. 技术包括语言（有声和无声）、行为、板书、组织形式等因素. 举两个例子. 第一，记得刚刚参加工作时，听完师父的课，笔者将知识、例题等内容完全复制，尝试去模仿出一节相同的课，但结果却是笔者没有讲完这节课，而师父却很轻松，甚至中间还有很多空闲的时间讲完了这节课. 从学生的学习效果来看，笔者的学生掌握的也不是很精准. 课后，笔者对这节课进行了反思，觉得这节课上的很累，不停地说，最后还是没有“叨唠”完. 而笔者的这种行为，使学生觉得学数学很难，原本很简单、明确的知识，被笔者讲的复杂，让学生从心里产生一种抵触的情绪，甚至觉得数学是永远也学不好的，所以说教学操作的技术确实对学生的认识信念产生影响. 从技术层面，我们可以这样评价这节课，那就是知识具有科学性，即准确；操作行为不具有技术性，即无效.此外，由于赶着上课，就更谈不到形象生动，具有感染力和号召力，因此谈不到艺术性，即美感. 所以说，对于新教师，在把握教材知识的科学性基础上，尤其要好好学习如何使教学行为具有技术性. 师父曾这样评价：我们上课的差别在于语言的准确性，阐述同样一个问题，我用了一句话，而你用了三句话，却还没有说清. 后两句话完全是对第一句话进行修饰、补充. 如果你能够在第一句话就把问题的关键词、关键点阐述清楚，时间自然也就节省了，而学生对于你言简意赅的这一句话会更加记忆深刻，关注点也有指向性. 他们知道应该记住什么. 所以说，这就是课堂技术. 再举一个例子，前段时间对于是否应该用多媒体来代替板书有过不少的争论. 其实，无论我们在技术层面如何操作，其最终目的都是达成课堂教学目标，极左与极右都是不对的，还是应该根据课堂教学的内容而定. 比如，如果讲授三角函数的图象和性质，就适用多媒体，讲授立体几何的证明就适合用板书. 对于板书，还有一种说法就是在讲授新课时，不要擦黑板，因为它擦去的就是学生的记忆，所以说不擦黑板也是技术处理的一种手段，它与学生的认知程度也是分不开的. 总之，教学技术性是为教学科学性服务的，无论我们如何处理问题，都要以科学性为根本目标.

最后，我们说教学应该是艺术的.艺术，换言之就是美的. 美是感性和理性的结合. 可能有些数学教师认为，数学是科学严谨的一门学科，以掌握知识、指导实践为目的，对学生树立正确的数学学习信念能有什么帮助呢？其实这种认识是不正确的. 通过对学生的调查问卷显示，学生的学习动力来源与教师的行为是分不开的. 每个学生对课堂都有美的追求，如果上每一节数学课都能获得美的体验，这对他们形成数学的正确认识是大有益处的.

那么什么是教学的艺术呢？教学艺术的实质和核心是坚持教学的逻辑性，即科学性. 这是因为：第一，知识的系统性是学校教育知识传授的主要特点；第二，认识事物的顺序是由具体到抽象的；第三，逻辑一定要建立在感官知觉的基础上，感官知觉则不必一定走向逻辑；第四，现实的要求. 此外，教学技术也是实现审美化教学的重要保障. 作为教师，我们的教学外在审美要形象、生动、丰富，内在逻辑要简洁、缜密、雅致，这是审美化教学的重要标志，即要熟练掌握基本的教学逻辑技术，也要掌握教学要素的技术. 换言之，艺术搭起了感性与理性之间的桥梁，如图：

通过对教学科学性、技术性与艺术性的阐述，我们可以这样说，理想的教学是教学科学、技术、艺术三位一体的. 教学艺术的基础和前提，在教学的科学与技术. 科学、技术与艺术带给课堂的就是准确、高效和美感，这些是课堂教学的终极目标. 如果我们每一个数学教师都能做到科学、技术与艺术，那么我们的课堂必然会准确、有效和美感. 对于学生而言，学习数学就不再是难以完成的任务，他们会建立正确的数学认识信念，形成美的感受.